相关分析PPT课件

x(t)x(t)
x(t) x(t)
对于平稳随机过程：
x(t)
x(t)
x
x(t)
x(t)
x
故：
x(t)x(t)
Rx()x2 x2
相关系数 xy 可以描述两个随机变量之间的
线性程度， xy
公式中
2 x
和
2 x
都是常数，
Rx ( ) 可以描述两个随机过程之间的相关关系。
.
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相关系数与相关函数之间的比较
.
3
两个随机变量之间只能是概率相关关系 研究随机变量相关的目的： （1）从一个随机变量的取值，来推测另一个
随机变量的取值范围。 （2）相关函数是计算谱密度的重要依据。
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4
3.2 相关的数学表达－相关系数
设通过测试得到一组关于某两个随机变量x、y的 实际测试“数据对”，将每个数据对用直角坐标 平面上的一个点来表示。
xyE[(Xxx)y(Yy)] 其分子称为协方差或相关矩
.
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一般情况下，相关系数的绝对值小于1，即
xy <1
表明不能用一个信号精确表示另一个信号，但可以 用一个信号近似地表示另个信号，其近似程度用相 关系数来描述
.
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3.3 自相关函数
为描述随机过程两个不同时刻状态之间的联 系，引入自相关函数
如令随机变量
X X (t)
Y X (t )
则： x(t ) x(t )
E[ XY ] x y x y
E[ X (t) X (t )] x(t) x(t ) x(t ) x(t )
Rx ( ) x(t) x(t ) x(t ) x(t )
.
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Rx( ) x(t) x(t)
bE[Y]a[E X].yx y x yx
11
a
xy
y x
bE[Y]a[E X]yx y x yx
代入： yaxb
y
xy
y x
x y
xy
y x
x
xy 1
两式相同， 两个变量具 有线性的函 数关系
yy y
xy
来自百度文库
xx x
与此类似：要求 E[x2] 最小，则可得:
xx x
xy
yy y
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12
.
19
例：已知组成随机振动过程的样本函数几何，求不同时刻 之间的相关性。（理解相关函数概念）
1N
Rxx(t1,t1)N li m Ni1xi(t)xi(t)
.
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例:求正弦函数的自相关函数
解：该正弦函数的自相关函数为
式中
Rx
lim1 T T T 0
xtxt
dt
1
T0
T0 0
x02
sint
R(t1,t2)E[x1x2]
对于各态历经随机过程：(与时差有关)
R x()E [X (t)X (t )]
分析 xy 与 Rx ( ) 之间的关系
xy E [X ( x x )y Y (y) ]E [X ]x Y y xy
.
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xy E [X ( x x )y Y (y) ]E [X ]x Y y xy
相关系数是一个数。其缺陷：分子是两个 信号的内积，如sinx和cosx,从波形上看只 是相位不同，而相关系数为零（因为正弦 和余弦正交）。
引入相关函数，将原来两函数直接内积改 为一个函数和另一个函数的延迟作内积。 使描述两随机变量相关程度的方式由一个 数变为函数。
相关函数：不仅与两个波形的特点有关， 还与两个波形之间的相对移动值有关。全 面反映了两个波形的相似性。
E[(Xxx)2(Yy)]
均方值
均值
方差
.
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bE[Y]a[E X]
aE E [[X X2 ]Y ] E {[E X [X ]E ][Y 2 }]E[X (x)x2Y (y)
]
分母为方差
分子
随机变量X的离差与Y的离差乘积的数学期望 称为随机变量X与Y的相关矩，又成为协方差
E[(X x)(Y y)] E[XYyX xY xy] E[XY]yE[X]xE[Y]xy
要求 E[y2] 最小，则
E[y2]2aE[X2]2E[XY]2bE[X]0 a
E[y2] 2b2E[Y]2aE[X]0
b
.
8
E[y2]2aE[X2]2E[XY]2bE[X]0 a
E[y2]2b2E[Y]2aE[X]0 b
得到：
bE[Y]aE[X]
由以上（2）式
E[XY]E[X]E[Y] a E[X2]{E[X]}2
.
6
yaxb
yi yi(aix b)
E [ y2]E [Y {(aX b)2 } ] E [Y2a2X2b22aX 2Y bY 2ab]X E [Y2]a2E [X2]2a[E X]Y 2b[E Y]2ab [XE ]b2
.
7
残差的均方值：
E [ y2]E [Y {(aX b)2 } ] E [Y2a2X2b22aX 2Y bY 2ab]X E [Y2]a2E [X2]2a[E X]Y 2b[E Y]2ab [XE ]b2
第三章 随机振动的相关分析
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第三章 随机振动的相关分析
相关的含义 相关的数学表达－相关系数 自相关函数 互相关函数
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2
3.1 相关的含义
相关问题：研究两个变量之间的关系问题。
（1）如： yaxb 则x、y两者函数相关。
（2）对于两个随机变量而言，无法写出确 切的函数关系。
波形相似的直观比较
sint
dt
T0
为振动周期，T 0
2
令 t ，则 d t d 。于是
如： xy 1
yy y
xy
xx x
xx x
xy
yy y
两个变量具有线性的函数关系，
则有： yaxb
形式，
反之：如果两个变量间具有 yaxb 这样的函数关系，则相关系数
xy 1
.
证明略
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X、Y完全相关时： xy 1
X、Y完全不相关时： xy 0
xy 取值在正负1之间，绝对值越大，相关程度越强
a图中两个变量不相关； b图中两个变量相关
.
5
（b）图：需要讨论的是如何找到一个线性方程，使 它能最好的代表这组数据： 设此线性方程具有形式： yaxb 如何确定a、b使其能够最好地代表这组数据。
应用最小二乘法 任一数据的纵坐标 yi 与直线y＝a xi＋b 之差为 （残差），残差的均方值最小时，得到的直线 方程为最优方程。
E[XY]E[Y]E[X]E[X]E[Y] E[X]E[Y] E[XY]E[X]E[Y]
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bE[Y]a[E X]
aE E [[X X2 ]Y ] E {[E X [X ]E ][Y 2 }]E[X (x)x2Y (y)]
现定义 xy 为相关系数
xyE[(Xxx)y(Yy)]
a
xy
y x