三角函数最值问题的十种常见解法-6.18

三角函数最值问题的十种常见解法

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和三角函数图像，而且还会用到三角函数的多种恒等变化。同时，在三角函数的最值问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；

常用公式

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±； tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ±±=m 。

2. 辅助角公式

sin cos ),sin a x b x x ϕφφ+=+=

= 3．二倍角公式 αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

22tan tan 21tan α

αα=-。

4．半角公式

sin 2α

=

cos 2α=

tan 2α= （sin 1cos tan 21cos sin α

αααα

-==+） 5. 万能公式

2

2222tan

1tan 2tan 222sin ,cos ,tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααα

αα

-===

++-

题型一：sin y a x b =+或cos y a x b =+型函数

策略：转化为一次函数

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法，即利用sin 1x ≤或cos 1x ≤便可求解，max min ,y a b y a b =+=-+。

评析:①必须注意字母a 的符号对最值的影响;②必须注意自变量x 对最值的影响。

例1：求函数2cos 1y x =-的值域

巩固：求sin()cos 6y x x π=-，(,)43x ππ∈的值域

题型二：sin cos y a x b x =+型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。22sin sin cos cos y a x b x x m x n =+++型亦可以化为此类。

策略：转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角公式)

观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.

例2：求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .

巩固：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,

0π上的最大值和最小值.

点评：这类题目解决的思路是把问题划归为B x A x f ++=)sin()(ϕω的形式，一般而言，B A x f mzx +=)(，B A x f +-=min )(.但若附加了x 的取值范围，最好的方法是通过图像加以解决. 题型三：转化二次函数(配方法)

y =a sin 2x +b sin x +c （或y =a cos 2

x +b cos x +c ），型，可令t =sin x （t =cos x ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.

例3：求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.

巩固：已知向量m =(sin A ,cos A ),n

=1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.

（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.

题型四.：引入参数转化（换元法）

对于一些比较复杂的复合三角函数，直接运用三角公式转化比较困难。针对题型结构特点，可以通过变量替换，将原来的三角问题转化为代数问题。这样就将比较复杂的函数转化为更容易求最值的代数函数求解。 对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，利用x x x x cos sin 21)cos (sin 2

±=±建立x x cos sin ±与x x cos sin 之间的关系，通过换元将原函数转化。但是，在换元过程中一定要注意新变量的取值范围与原函数定义域的关系。

例4：求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.

巩固1

：已知sin sin x y +=

，求cos cos x y +的值域。

巩固2：已知圆22:(2)1C x y ++=，(,)P x y 为圆C 上任意一点.

（1）求

21

y x --的最值.（2）求2x y -的最值.

题型五.：利用基本不等式法

对于一些满足均值不等式特征结构的三角函数，可以运用均值不等式来解决此种类型的三角函数最值问题。均值不等式的一般形式：

n n n n n n n a a a a a a n a a a n a a a n a a a +++⋅≥≥+++≥++ΛΛΛΛΛ2121212122221 （其中n a a a ,,,21Λ为正数，Λ3,2,1=n ）

在运用均值不等式时，必须注意函数式中各项的正负，需要各项满足正值时方可使用，在解题时应加以论述说明；然后应该注意不等式中等号成立的条件、需要合理的拆添项，凑常数，以及不等式中和的最值与积的最值，

例5：已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+

的最小值.

巩固：若),0(π∈x ，求2

sin

)cos 1(x x y +=的最大值。