对角矩阵

③
③式减②式得
a1 (1 k )1 a2 (2 k ) 2 ak 1 (k 1 k ) k 1 0
由归纳假设， 1 , 2 , k 1 线性无关，所以
ai (i k ) 0, i 1,2, , k 1.
但 1 , 2 , , k 互不相同，所以 a1 a2 ak 1 0.
即
A i i i , i 1,2, , n. ai P
设 a11 a2 2 ak k 0,
以 k 乘①式的两端，得
①
a1k1 a2k 2 ak k k 0.
②
又对①式两端施行线性变换 A ，得
a111 a22 2 ak k k 0.
三、可对角化的条件
1.(Th.7)设 A 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
则A 可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量. 证明.
A 2.(Cor.1)设 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
若 A 在域 P 中有 n 个不同的特征值.则A 可对角化 证明.
3.
(Cor.2) 在复数域C上的线性空间中，
证明.
二、几个引理
3.(Th.9) 设A 为线性空间V的一个线性变换，
1 , 2 , k是 A 的不同特征值，而 i 1 , i 2 , iri 是属于
特征值 i 的线性无关的特征向量，i 1,2,, k ,
则向量 11 , , 1r1 , , k 1 , , krk 证明. 线性无关.
的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）
对于特征值－4，求出齐次方程组
7 2 1 x1 0 2 2 2 x 2 0 3 6 3 x 0 3 1 2 的一个基础解系: ( , ,1) 3 3
将之代入①，得 ak k 0.
k 0, ak 0
故 1 , 2 , , k 线性无关.
A 证明：首先， 的属于同一特征值 i 的特征向量
的非零线性组合仍是 A 的属于特征值 i 的一个特征 向量.
设 a1111 a1r11r1 ak 1 k 1 akrk krk 0, ④
为V的一组基，A 在这组基下的矩阵为A.
步骤:
1° 求出矩阵A的全部特征值 1 , 2 , , k .
2° 对每一个特征值 i ，求出齐次线性方程组
i E A X 0,
i 1.2.k
的一个基础解系（此即 A 的属于 i 的全部线性无关 的特征向量在基 1 , 2 , , n下的坐标）.
即基 1 , 2 , 3 到 1 ,2 ,3 的过渡矩阵为
1 0 1 T 0 1 0 , 1 0 1 1 0 0 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 1
例2. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使
3 2 1 T 1 AT 为以角矩阵. 这里 A 2 2 2 3 6 1

故其基础解系为： (1,0, 1) 所以， 3 1 3 是A 的属于特征值－1的线性无关的特征向量.
1 ,2 ,3 线性无关，故 A 可对角化，且
A 在基 1 ,2 ,3 下的矩阵为对角矩阵
1 0 0 0 1 0 ; 0 0 1
1 0 1 1 ,2 ,3 1 , 2 , 3 0 1 0 . 1 0 1
确定的,它们就是 A 的全部特征根(重根按重数计算).
1 , 2 , k 的特征向量，则1 , 2 , k 线性无关.
证：对k作数学归纳法.
当 k 1 时， 1 0, 1 线性无关. 命题成立.
假设对于 k 1 来说，结论成立. 现设 1 , 2 , k 为
A 的互不相同的特征值， i 是属于 i 的特征向量，
1
例1. 设复数域上线性空间V的线性变换A 在某组基
1 , 2 , 3 下的矩阵为
0 0 1 A 0 1 0 1 0 0
问A 是否可对角化. 在可对角化的情况下，写出
基变换的过渡矩阵.
解：A的特征多项式为
0 1 2 E A 0 1 0 1 1 1 0
解: A的特征多项式为
3 2 1 E A 2 2 2 3 6 1
12 16 2 4
3 2
得A的特征值是2、2、-4 .
对于特征值2，求出齐次线性方程组
1 2 1 x1 0 2 4 2 x 2 0 3 6 3 x 0 3
如果线性变换A 的特征多项式没有重根，则A 可
对角化. 证明.
4. A L(V ), 可对角化 dimVi n.
i 1
t
(n= di V , 1 , 2 , , t是A 的全部特征值) m 而
三、对角化的一般方法
设 A 为维线性空间V的一个线性变换， 1 , 2 , , n
Proof:
设 dimV0 m , 令 1 , 2 , , m 为 V 的基, A ( i ) i i .扩充基:
1 ,, m , m 1 ,, n
故
0
则
0 * A (1 , , m , m 1 , , n ) (1 , , m , m 1 ,, n ) 0 0 *
f A ( ) ( 0 ) g( ),
m
m 0 的重数.
返回
定理7
设A 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
则A 可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量. 证：设A 在基 1 , 2 , n下的矩阵为对角矩阵
1 2 n 则有A i i i , i 1,2, n.
矩阵，则称矩阵A可对角化.
二、几个引理 1. 设A L(V ), 是 A 的特征值, 则
dimV 0 的重数
即几何重数不超过代数重数. 证明.
2.(Th.8)设 A 为n维线性空间V的一个线性变换,
A 如果 1 , 2 , k 分别是 的属于互不相同的特征值
1 , 2 , k 的特征向量，则1 , 2 , k 线性无关.
1 , 2 , n 就是A 的n个线性无关的特征向量.
反之，若A 有 n 个线性无关的特征向量 1 ,2 , ,n ,
那么就取1 ,2 , ,n 为基，则在这组基下A 的矩阵
是对角矩阵.
定理8 设 A 为n维线性空间V的一个线性变换,
如果 1 , 2 , k分别是A 的属于互不相同的特征值
必有所有的 i 0, i 1,2, , k .
即 ai 1 i 1 airi iri 0. 而 i 1 , , iri 线性无关，所以有
ai 1 airi 0, i 1,2, , k .
故 11 , , 1r1 , , k 1 , , krk 线性无关.
6. 设 A 为n维线性空间V的一个线性变换，
若A 在某组基下的矩阵为对角矩阵
1 2 D n
则 1）A 的特征多项式就是
f ( ) 1 2 n
2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一

得A的特征值是1、1、－1. 解齐次线性方程组 1 E A X 0, 得 x1 x3 故其基础解系为： (1,0,1),(0,1,0) 所以， 1 1 3 , 2 2 是A 的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.
x1 x3 再解齐次线性方程组 1 E A X 0, 得 x 0 2
x2 x n 1 解：在 P[ x ]n中取一组基： x , 1, , , 2! ( n 1)! 则D在这组基下的矩阵为
0 0 A 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
于是
0 E A 0 0
所以A可对角化.
令Βιβλιοθήκη Baidu
2 1 1 3 T 1 0 2 0 1 13
则
2 0 0 T 1 AT 0 2 0 0 0 4
例子： 在P[ x ]n ( n 1)中, 求微分变换D的特征多
项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能 是对角矩阵（即D不可对角化）.
§7.5 对角矩阵
一、可对角化的概念
二、几个引理 三、可对角化的条件
四、对角化的一般方法
一、可对角化的概念
定义1：设A 是n 维线性空间V的一个线性变换，
如果存在V的一个基，使 A 在这组基下的矩阵为对
角矩阵，则称线性变换 A 可对角化.
定义2：矩阵A是数域 P 上的一个 n 级方阵. 如果
n 级可逆矩阵X ，使X 1 AX 为对角 存在一个 P 上的
3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n ，则
A 有n个线性无关的特征向量 1 ,2 , ,n , 从而 A
（或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个
n阶方阵T，则T可逆， T AT 是对角矩阵. 而且
T就是基 1 , 2 , , n 到基 1 ,2 , ,n 的过渡矩阵.
a11 , , a1r1 , , ak 1 , , akrk P .
令 i ai 1 i 1 airi iri , i 1,2, , k .
由④有， 1 2 k 0.
若有某个 i 0, 则 i 是A 的属于特征值 i 的 特征向量. 而 1 , 2 , k 是互不相同的，由定理8，
1 0 1 0 0 0 0

0 0 n 1
∴ D的特征值为0（n重）.
又由于对应特征值0的齐次线性方程组 AX 0
的系数矩阵的秩为n－1，从而方程组的基础解系 只含有一个向量，它小于P[ x ]n 的维数n（＞1）. 故D不可对角化 .