高中数学3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例

x12 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
()
A.指数函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
2.(2014·大连高一检测)某工厂今年1月,2月,3月生产某产品 分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了预测以后每个月的产量, 以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与 月份数x的关系,模拟函数可选用二次函数或指数型函数y=mnx +p(其中m,n,p为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,请 问选择以上哪个函数作为模型较好?并说明理由.
11%gx，x 4 000.
如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所
以稿费应在800～4 000元之间,
所以(x-800)×14%=420,所以x=3 800.故选C.
2.(1)当0<x≤10时，
f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9，
【拓展延伸】解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择 模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号 语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际问题的结论.
【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题 中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问 题即可获解. (2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表 格中的数据先列式,然后进行比较.
(3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学 模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点 图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型, 问题即可顺利解决.
【解题指南】1.画出散点图,根据图象选择函数模型. 2.根据所给函数模型,代入1月、2月、3月数据求出具体模型, 利用两种模型模拟4月份的数据,再与4月份实际数据比较可作 出选择.
【自主解答】1.选C.画出散点图,如图所示.
观察散点图,可见各个点接近于一条直线,所以可用一次函数表 示.
2.设y1=f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则有
故其在该区间上递增，最大值为f(10)=59,，显然在16<x≤30
上，f(x)递减，f(x)<59，因此开讲后10分钟达到最强的接受
状态，并维持6分钟.
(2)当0<x≤10时，令f(x)=55，得x=6；
当16<x≤30时，令f(x)=55，得x= 17 1；因此学生达到55的接受
3
能力的时间为 17 1 6 111 13，教师来不及在学生达到最佳接
0.1x2 2.6x 43,0 x 10,
f x 59,10 x 16,
3x 107,16 x 30.
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能持续多长时间? (2)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,教师能 否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?
8
答案：10
【规律总结】指数型函数模型在生活中的应用 (1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长 率问题常可以用指数型函数模型表示.通常可以表示为 y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式. (2)增长率问题多抽象为指数函数形式,当由指数函数形式来确 定相关的量的值要求不严格时,可以通过图象近似求解.用函数 的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围,是数学常用的 方法之一.
增长速度越来越快.故选指数型函数.对于y=5×2x,经检验x=1
时y=5×2=10,x=2时,y=5×22=20,x=3时y=5×23=40,x=4时
y=5×24=80,x=5时y=5×25=160.与表中数据基本一致.故选C.
【拓展类型】分段函数模型 1.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过800元的不纳税;超过 800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000 元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元, 则这个人应得稿费(扣税前)为( ) A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 818元
【变式训练】 某海滨城市现有人口100万人,如果年平均自然增长率为1.2%. 解答下面的问题: (1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人). (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).
【解析】(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2% =100×(1+1.2%), 2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2, 3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)3,…… x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N). (2)10年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)10 =100×1.01210≈112.7(万人).
3
3
受状态时就结束讲授.
【规律总结】分段函数模型应用的两个注意点 (1)分段对待:分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律 不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来, 再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值. (2)原则:构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、 不重不漏.
第x天
1234 5
被感染的计算机数量y(台) 10 20 39 81 160
则下列函数模型中能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y
与x之间的关系的是( )
A.y=10x
B.y=5x2-5x+10
C.y=5×2x
D.y=10log2x+10
【解析】选C.由监测数据可知被感染的计算机数量y随着x增大
O 10
,单位是
m/s,其中O表示燕子的耗氧量.
(1)当燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多
少?
【解题指南】1.可由该动物在引入一年后的数量为100只,即 x=1,此时y=100,代入y=alog2(x+1)中,可解得a. 2.(1)v=0时,求O的值.(2)O=80时,求v的值. 【自主解答】1.选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得, 100=alog2(1+1),解得a=100,所以x=7时, y=100log2(7+1)=300.
(2)降低解题难度,经过适当的假设就都可以有能力建立数学模 型,并且得到相应的解. 一般情况下,是先在最简单的情形下组建模型,然后通过不断地 调整假设使模型尽可能地接近实际,从而得到更满意的解.
【变式训练】 (2014·宁波高一检测)某种计算机病毒是通过电子邮件进行传 播的,下表是某公司前5天监测到的数据:
2.通过研究学生的行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于
教师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时,学生的兴趣
急增;中间有一段不太长的时间,学生的学习兴趣保持较理想的
状态,随后学生的学习兴趣开始分散.分析结果和实验表明,用
f(x)表示学生掌握和接受概念的能力,x表示提出和讲授概念的
时间(单位:分)可以用公式:
【规律总结】对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型:有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式, 然后根据实际问题再求解. (2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或 给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数 值回答其实际意义.
类型 三 拟合型函数模型的应用 1.今有一组数据,如表所示:
和桶2的水相等,则再过
分钟桶1中的水只有 a 升.
8
【解题指南】1.经过100年,镭的质量变为原来的1-4.24%,再考
虑x年是多少个100年.
2.根据t=5时建立关于n的方程,再由 a 列式求解.
8
【自主解答】1.100年后，镭的质量变为原来的1-4.24%=
0.957
6，故质量为1的镭经过x年后的剩留量为
(3)设x年后人口将达到120 万人，即可得到100×(1+1.2%)x
=120， x

log1.012
120 100

log1.0121.2

lg 1.2 lg 1.012

15.28.
所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.
类型 二 对数函数模型的应用
1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为
【拓展延伸】数据拟合过程中假设的作用 一般情况下数学建模,是离不开假设的,假设的作用主要表现在 以下几个方面: (1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用, 通常初步接触一个问题,会觉得围绕它的因素非常多,经仔细分 析筛选,发现有的因素并无实质联系,有的因素是无关紧要的, 排除这些因素,问题则越发清晰明朗,在假设时对这些因素就不 需考虑.
【解题指南】1.根据题意列出所得稿费的分段函数,确定420元 所对应的函数解析式解方程. 2.由所给分段函数的解析式,分别求其最大值,再进行比较.
【解析】1.选C.设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段
0，0 x 800,
函数，由题意，得 y x 80014%，800 x 4 000,
f 1 a b c 1,
a 0.05,
f

2

4a

2b

c

1.2,
解得
b 0.35,
f 3 9a 3b c 1.3,
c 0.7.
所以f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3. ①
g1 mn p 1,
2.(1)由题意，当燕子静止时，它的速度v=0，所以，0

5log
2
O 10
，
解得：O=10,则燕子静止时的耗氧量是10个单位.
(2)由耗氧量O=80得：v

5log2
80 10

5log2
8

15
m
/
s
.
【延伸探究】 题1中,若引入的此种特殊动物繁殖到500只以上时,将对生态环 境造成危害,那么多少年时,必须采取措施进行预防? 【解析】500=100log2(x+1),解得x=31. 所以31年时,必须采取措施,进行预防.
y 0.957
x
6 100 .
答案：y

0.957
x
6 100
.
2.当t＝5时，由ae－5n＝a－ae－5n，得e5n＝2.
设经过t分钟后桶1中的水变为 a 升.由ae－n t＝ a ，
8
8
t
t
得ent＝8.由ent＝ e5n 5 25 =8得t＝15(分钟).
于是，再过10分钟桶1中的水只有 a 升.
食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)
的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只, 则第7年它们发展到( )
A.300只
B.400只
C.600只
D.700只
2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发
现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2
第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例
类型 一 指数函数模型的应用实例
1.已知镭经过100年,质量便比原来减少4.24%,设质量为1的镭
经过x年后的剩留量为y,则y=f(x)的函数解析式为
.
2.如图,开始时桶1中有a升水,t分钟后剩余的水符合指数衰减
曲线y1=ae-n t,那么桶2中水就是y2=a-ae-n t,假设过5分钟后桶1
设y2=g(x)=mnx+p,则有
g

2

mn 2

p

1.2,
g 3 mn3 p 1.3，
ห้องสมุดไป่ตู้m 0.8,
解得 n 0.5, 所以g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35. ②
p 1.4,
比较①,②知,g(4)=1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故 选择y=-0.8×0.5x+1.4作为模型较好.