随机Hopfield神经网络渐进行为的变互式凸组合方法

2. 模型建立与解决
随机 Hopfield 神经网络描述为下面的非线性积分型微分方程：
dx ( t ) = −Cx ( t ) + AG ( x ( t ) ) + BG x ( t − τ ( t ) ) + J dt + σ t , x ( t ) , x ( t − τ ( t ) ) dω ( t ) , x ( v ) ϕ ( v ) , v ∈ ( −τ D , 0] =
Φ11 ∗ ∗ ∗ ∆ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 Φ 22 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 e − βτ D U Φ 33 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 e − βτ D S e − βτ D S Φ 44 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Φ15 −τ D R1 0 0 Φ 55 ∗ ∗ ∗ ∗
T
(
)
(
)
(1)
其中，连接权矩阵 A，B，C 为适当维数的已知常数矩阵， = x (t ) x1 ( t ) , , xn ( t ) ∈ R n 是神经元的状态 T T 函数： G ( x ( t ) ) = G1 ( x1 ( t ) ) , Gn ( xn ( t ) ) 是神经元的激励函数向量， J = [ J1 , , J n ] 是神经网络的常 值外 部 输入 ， σ ( t ) = σ ij ( t )
(5)
定理 2.6：对于常值 a > 0 ，如果存在正定矩阵 P = diag ( p1 , p2 , , pn ) ,
Di = diag ( Di1 , Di 2 , , Din ) ， i = 1, 2, , Q1 , Q2 , R1 , R2 , M 1 , M 2 , S ，使得下面的线性矩阵不等式成立，
70
收稿日期：2014年4月1日；修回日期：2014年4月30日；录用日期：2014年5月6日
随机 Hopfield 神经网络渐进行为的变互式凸组合方法
摘
要
本文通过构造合适Lyapunov-Krasovskii泛函，采用变互式凸组合方法、自由权矩阵方法、随机分析技 巧、线性矩阵不等式(LMI)方法，研究了一类随机Hopfield神经网络的随机一致最终有界性、随机吸引子 的存在性以及均方指数的稳定性。 我们得到了随机Hopfield神经网络的新的结果和时滞依靠的充分条件。 最后，应用MATLAB数值模拟检验来得到了理论的有效性。
T
(
)
n× n
是噪 声强 度矩 阵 ， ω ( x ( t ) ) = ω1 ( x1 ( t ) ) , , ωn ( xn ( t ) )
T
是定义 在由
始条件 x ( v ) = ϕ ( v ) ， −τ D < v ≤ 0 ，初始值函数0] 上取值于 R n 的随机过程 ϕ ( v ) 的全体，并且 ϕ ( v ) 是 F0 可测的，满足
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2014, 3, 70-77 Published Online May 2014 in Hans. /journal/aam /10.12677/aam.2014.32011
min = fi ( t ) ∑ fi ( t ) + max ∑ gi , j ( t ) ， ∑α g (t )
i
i, j
1
(4)
i≠ j
从而有
∆ fi ( t ) gi , j ( t ) m = g i , j : R R, g j , i ( t ) g i , j ( t ) ≥ 0 . g t f t ( ) ( ) j i, j
(3)
>0， 定义 2.3 [7]： 系统(1)是随机一致最终有界的， 如果对任意的 ρ > 0 ， 有 t′ t′( ρ ) > 0 ， 存在常值 B =
当 t ≥ t0 + t ′ ， t0 > 0 ， ϕ < ρ ,系统(1)的解 x ( t , t0 , ϕ ) 满足
, E x ( t , t0 , ϕ ) < B
Keywords
Hopfield Neural Networks, Boundedness, Mean Square Exponential Stability, Reciprocally Convex Approach
随机Hopfield神经网络渐进行为的 变互式凸组合方法
陈无及，李青松
长沙理工大学数学与计算科学学院，长沙 Email: 510392044@
Reciprocally Convex Approach to Asymptotic Behavior of Stochastic Hopfield Neural Networks
Wuji Chen, Qingsong Li
College of Mathematic and Computing Science, Changsha University of Science and Technology, Changsha Email: 510392044@ Received: Apr. 1 , 2014; revised: Apr. 30 , 2014; accepted: May 6 , 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
{
}
假设 2.2：若 σ ( t , ⋅, ⋅) : R + × R n × R n → R n×m , (σ ( t , 0, 0 ) ) =0 满足 Lipschtiz 条件，并且存在适当维数的任 意矩阵 Π i , ( i = 1, 2 ) ，使得
T T T T T trace σ ( t , x, y ) σ ( t , x, y ) ≤ x Π1 Π1 x + y Π 2 Π 2 y
δ− j ≤
记
Gj ( x) − Gj ( y) x− y
≤δ+ j , ∀x, y ∈ R, x ≠ y
(2)
− + − + δ n− + δ n+ δ1 + δ1 δ 2 + δ 2 − + − + − + δ δ δ δ δ = Ω1 diag δ = Ω , , , , diag , , , . 1 1 2 2 2 n n 2 2 2
0， {ω ( s ) : 0 ≤ s ≤ t} 形成的自然流 {Ft }t ≥o 的完备空间 ( Ω, F , P ) 上的 n 维布朗运动，并且满足 Ε {dω ( t )} = Ε dω 2 ( t ) = dt . 时变时滞 τ ( t ) = τ 1 ( t ) , ,τ n ( t ) 是有界的，且满足： 0 ≤ τ d ≤ τ ( t ) ≤ τ D . 对于系统的初
st th th
Abstract
In this paper, the problems of stochastic uniformly ultimate boundedness, the existence of stochastic attractor and mean square exponential stability for stochastic Hopfield neural networks are studied by constructing proper Lyapunov-Krasovskii functional, utilizing the reciprocally convex approach, the free-weighting matrix method, some stochastic analysis techniques and linear matrix inequalities technique (LMI). We deduce novel results and delay-dependent sufficient conditions for stochastic Hopfield neural networks. Finally, numerical simulations are given on MATLAB to verify the effectiveness of the gained results.
([ −τ , 0] , R ) ，其中 L ([ −τ , 0] , R ) 表示定义在
n D
−τ D ≤ s ≤ 0
sup E ϕ ( s ) < ∞ ，E 定义
2
b F0
n
D
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随机 Hopfield 神经网络渐进行为的变互式凸组合方法
为概率 P 的期望.
+ 假设 2.1：对任意的 i = 1, 2, , n ，存在常值标量 δ − j 和 δ j ，使得激励函数 G ( ⋅ ) 满足 G ( 0 ) ≠ 0 及
0 0 0 0 0 Φ 66 ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 Φ 77 0 0
PB 0 0 0 0 0 0 Φ88 0
− ZC 0 0 0 ZA < 0 0 0 ZB Φ 99
其中， E = x ( t , t0 , ϕ )
−τ M ≤ s ≤ 0
sup E xi ( t + s, t0 , ϕ ) ， ϕ ∈ Lb F0
([ −τ , 0]; R ) 。
n D
定义 2.4 [6]：非空闭集 A ⊂ R n ， Λ = 使得
{ϕ ∈ L
t →∞
b F0
称为系统(1)的解 x ( t ; ϕ ) 的随机吸引子， E ϕ (s) ≤ B
}
0, lim sup inf x − y =
y∈ A
其中 ϕ ∈ C [ −τ D , 0] , R n
(
)
i 1 i α i α i > 0, ∑ α i = i =1
引理 2.5 [8]： 若 f1 , f 2 , , f N : R m R 是开集 D ∈ R m 中的正值， 则开集 D 中的变互式凸组合 fi 满足：
关键词
Hopfield神经网络，有界性，均方指数稳定，变互式凸组合方法
1. 引言
人工神经网络是一种模仿生物神经网络的结构和功能的数学模型或计算模型，是一个普遍存在的非 线性系统。近年来，由于其良好的信息处理能力和非线性映射能力，被广泛的应用到模式识别、图像处 理、语音处理、DNA 片段选择、数据挖掘、自动目标识别和优化等各个领域，并取得了令人瞩目的成果 [1]-[3]。自从 1982 年，Hopfield 第一次提出了 Hopfiele 神经网络并且用 LC 电子电路进行了模拟，与此 同时与 Hopfield 神经网络有关的动力学行为得到了学者们的广泛关注。 由于时滞在工程和现实生活中不可避免，因此研究时滞 Hopfield 神经网络具有一定的学术价值和实 际应用。通常神经网络的很多应用都建立在神经网络的动力学行为上，包括稳定性、有界性、吸引子的 存在性、周期解、收敛性、同步、混沌等[4] [5]。我们知道当非线性系统有一个平衡点的时候研究是相对 容易的，但是如果神经网络的激活函数无界可能没有平衡点或者有多个平衡点时，研究系统的平衡点的 稳定性将比较困难。虽然在[6]中，作者利用 Lasalle 不变理论研究了细胞神经网络的随机一致有界，而一 致最终有界性和吸引子的存在性作为动态系统的一种基本性质，值得我们研究。因此在本文中，我们利 用变互式凸组合的方法研究了随机 Hopfield 神经网络的随机一致最终有界性和随机吸引子的存在性、以 及特殊情况下的均方指数稳定性。