计科0902班胡家威复杂网络理论及其关键节点发掘的意义

大学生科研训练

调查报告

报告题目：复杂网络理论及其关键节点发掘的意义

学生学号：07

学生姓名：胡家威

专业班级：计科0902班

摘要近年来，随着复杂网络研究热潮的兴起，特别是很多实际网络所抽象出来的复杂网络，表现出了与以往图理论不同的特性，如小世界特性、无尺度特性等。如何在复杂网络环境下，发掘重要性节点已经成为复杂网络研究的一个基本问题。本文简要介绍了复杂网络的基本概念，统计性质，结构模型以及分析复杂网络关键节点的发掘的意义。

关键字复杂网络，小世界网络，无标度网络

1.复杂网络的概念

复杂网络（Complex Network），具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络称为复杂网络（钱学森定义）。自然界中存在的各种各样的网络都可以称为复杂网络，复杂网络是由很多节点和连接这些节点的边组成的。其中，节点代表真实系统中不同的个体，而边则代表这些个体之间的联系。如果我们将系统内部的各个元素作为节点, 元素之间的关系视为连接, 那么系统就构成了一个网络, 例如神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络、计算机网络可以看作是计算机通过通信介质如光缆、同轴电缆等相互连接形成的网络, 类似的还有电力网络、社会关系网络、交通网

络等等。强调系统的结构并从结构角度分析系统的功能正是复杂网络的研究思路, 所不同的是这些抽象出来的真实网络的拓扑结构性质不同于以前研究的网络, 且节点众多, 故称其为复杂网络。

下面四幅图都是我们生活中常见的复杂网络：

2．复杂网络的统计性质

复杂网络的研究的不同之处是首先从统计角度考察网络中大规模节点及其连接之间的性质, 这些性质的不同意味着不同的网络内部结构, 而网络内部结构的不同导致系统功能有所差异。所以，我们先要了解复杂网络的统计性质。以下面的拓扑说明图来分析理解。

2.1 平均路径长度

网络研究中, 一般定义两节点间的距离为连接两者的最短路径的边的数目; 网络的直径为任意两点间的最大距离; 网络的平均路径长度L则是所有节点对之

间距离的平均值, 它描述了网络中节点间的分离程度。研究发现：大规模真实网络的平均路径长度远比想象中的小，这就是著名的“小世界效应”，因而就产生了后面的小世界网络模型。

2.2 聚集系数

聚集系数计算方法为: 假设节点i 通过k条边与其它k个节点相连接,如果这k个节点都相互连接, 它们之间应该存在k (k-1)/ 2条边, 而这k个节点之间实际存在的边数只有E的话, 则E与k (k- 1)/ 2 之比就是节点i 的聚集系数。显然, 只有在全连通网络(每个节点都与其余所有的节点相连接)中, 聚集系数才能等于1, 一般均小于1。

2.3 度分布

图论中节点i 的度k为节点i 连接的边的总数目, 所有节点i 的度k的平均值称为网络的平均度, 定义为 。网络中节点的度分布用分布函数p(k) 来表示, 其含义为一个任意选择的节点恰好有k 条边的概率, 也等于网络中度数为k 的结点的个数占网络结点总个数的比值。

2.4 介数

介数分为边介数和节点介数。节点的介数为网络中所有的最短路径中经过该节点的数量比例; 边的介数为网络中所有的最短路径中经过该边的数量比例。介数反映了相应的节点或者边在整个网络中的作用和影响力, 具有很强的现实意义。

2.5 鲁棒性和脆弱性

对网络中节点进行攻击，主要有两种策略：一是随机攻击；二是蓄意攻击某些重要节点。复杂网络由于度分布的不均匀性，导致面对不同的攻击策略，表现出不同的鲁棒性、抗毁性。面对随机攻击，即使多数节点失效、崩溃，整个网络仍然可以保持连通性。但是面对针对其中重要节点(比如，度很大的节点)的蓄意攻击，则网络就变得十分脆弱，几个“大”节点的失效就可能导致整个网络的崩溃。

3．网络结构模型

3.1 小世界网络模型

实证结果表明, 大多数的真实网络具有小世界性(较小的最短路径)和聚集性(相对较大的聚集系数)，然而, 规则网络虽具有聚集性, 平均最短路径却较大; 随机图则正好相反, 具有小世界性, 但聚集系数却相当小。1998年，Strogatz和Watts在“Nature”上发表文章，引入了小世界模型，用来描述完全规则网络到完全随机网络的转变。著名的“六度分离”理论证实了关系网络的小世界性。

3.2 无标度网络

尽管小世界模型能很好的刻画现实世界的小世界性和高聚集性, 但对小世界模型的理论分析表明其节点的度分布仍为指数分布形式。实证结果却表明对于大多数大规模真实网络用幂率分布来描述它们的度分布更加精确。（1999年Barabasi和Albert在“Science”上发表文章，指出许多现实复杂网络，包括Intemet、WWW以及新陈代谢网络等，它们的度分布函数都具有幂律形式）这类网络没有明显的特征长度，所以该类网络称为无标度网络。

3.3 其他网络模型

除了经典的小世界模型、无标度网络模型之外, 学者们也提出了一些其它的网络模型来描述真实世界的网络结构。例如：权重演化

网络模型，确定型网络模型，局域世界网络模型等等。

4．复杂网络关键节点发掘的意义

网络结构研究固然重要, 但其最终目的是通过研究结构来了解和解释基于这些网络之上的系统运作方式, 进而预测和控制网络系统的行为。复杂网络本质上的非同质拓扑结构，决定了网络中每个节点的重要程度是不同的。在复杂网络的各种基础研究工作中，对网络中节点的重要性进行评估，发掘网络中的重要节点，具有重要的实用价值。尤其对各种各样具体的网络，更可以有针对性地分析其性质，制定正确的策略和措施。例如：

1)在罪犯关系网络中，可以迅速定位犯罪团伙的头目，集中警力进行布控；

2)在电力网络中，对重要的断路器、发电单元等进行保护，可以有效防止由相继故障引起的大范围停电；

3)在搜索引擎的应用方面，可以把搜索到的正确结果根据其匹配和重要程度排序后返回给用户，

4)在大规模计算机网络中，可以根据服务器节点的重要程度进行有针对性的备份，既能保证网络的鲁棒性，又能有效地节省资源；

5)在传染病、病毒网络中，可以有针对性地先治疗、隔离病源，有效防止病毒的传播和扩散；

6)在谣言传播网络啪]中，可以发掘出始作俑者，避免“蝴蝶效应”；

7)在发掘复杂网络中的社区时，也可以通过发现重要节点来确定社区的中心等。

5.参考文献

1、赫南：《复杂网络中重要性节点发掘综述》