平面问题有限元解法
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说明： f 是坐标的连续分布函数；
2021/2/23
弹性力学中的几个基本概念
(2) 面力 —— 分布在物体表面的力
f
ΔF lim
—— 面力分布集度（矢量）
ΔS ΔS0
z
ΔF
f z
ffif jfk
x
y
z
f p S f y
k
x
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
iO j
y
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
5. 基本假定
（1）连续性假定
整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。
作用： 使得σ、ε、u 等量表示成坐标的连续函数。
(x,y,z)
εε(x,y,z)
uu(x,y,z)
2021/2/23
弹性力学的内容及基本假定
（2）完全弹性假定
假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变 间成线性比例关系。
平面问题的有限单元解法
平面问题有限元解法
基本思想
有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个 且按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原 来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的 有限自由度问题求解的一种数值分析法。物体被离散后，通 过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分 析。
有限单元法的分析步骤如下： 物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
2021/2/23
有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体
节点
单元
确定单元形状、单元之间相互联结的 点
节点力
单元上节点处的结构内力
脆性材料—— 一直到破坏前，都可近似为线弹性的； 塑性材料—— 比例阶段，可视为线弹性的。
（3）均匀性假定
假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。
作用：
弹性常数（E、μ）等——不随位置坐标而变化； 取微元体分析的结果可应用于整个物体。
2021/2/23
弹性力学的内容及基本假定
（4）各向同性假定
2021/2/23
弹性力学中的几个基本概念
z
用矩阵表示：
x yx
xy y
xz yz
zx zy z
其中，只有6个量独立。
xy yx
yz zy 切应力互等定理
zx xz
x
zx
zy
z
yx xz
y yz x
zy
xy
zx
yz yx y
O
yz
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 切应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
应力的切向分量 —— 切应力
单位: MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
2021/2/23
ΔF n
P
(法线)
ΔA
弹性力学中的几个基本概念
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合
—— 称为一点的应力状态
x面的应力： y面的应力： z面的应力：
x,xy,xz
y,yx,yz z,zx,zy
2. 研究对象
一般弹性实体结构： 三维弹性固体、板状结构、杆件等
2021/2/23
弹性力学的内容及基本假定
3. 研究方法
由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析
4. 数学理论基础
—— 偏微分方程（高阶，二、三个变量） 数值解法：能量法（变分法）、差分 法、有限单元法等。
2021/2/23
弹性力学的内容及基本假定
假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
（5） 微小变形假定
假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移 远远小于物体的原来的尺寸。
作用：
建立方程时，可略去高阶微量； 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。
使求解的方程线性化。
（6） 无初应力假定 认为在受载前内部无应力。
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
2021/2/23
弹性力学中的几个基本概念
3. 形变
(1) 一点形变的度量
形变 —— 物体的形状改变 （1）线段长度的改变 ——用线（正）应变ε度量
（2）两线段间夹角的改变。 ——切应变γ度量 （切应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）
三个方向的线应变： x,y,z 三个平面内的切应变： xy,yz,zx
载荷
作用在单元节点上的外力
载荷
（集中力、分布力）
约束
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
2021/2/23
单元 节 点
节点力
弹性力学的内容及基本假定
1. 研究内容
内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、变 形、位移等分布规律。 任务：与材料/结构力学类似，研究构件弹性阶段 的应力和位移，校核弹性体的强度、刚度、稳定性 问题。
x
说明：f 是坐标的连续分布函数；
2021/2/23
弹性力学中的几个基本概念
2. 应力
(1) 一点应力的概念
(1) 物体内部分子或原子间的相互
内力
作用力; (不考虑)
(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
ΔF p lim
ΔA ΔA0
截面上P点的应力
应力矢量. ΔF的极限方向
应力分量 应力的法向分量 —— 正应力
2021/2/23
弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移。
1. 外力： 体力、面力
(1) 体力 —— 分布在物体体积内的力
ΔF
f lim ΔV ΔV0
—— 体力分布集度 （矢量）
ffif jfk
x
y
z
单位： N/m3 kN/m3
z
k iO j
f z
p
f V x
ΔF
f y y
x
zx xz
z
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm
u —— x方向的位移 分量； 位移分量： v —— y方向的位移 分量；
2021/2/23
w—— z方向的位移 分量。
x
w
P
S
u பைடு நூலகம்v
O
y
工程力学问题建立力学模型的过程中，一般 从三方面进行简化：
结构简化 如空间问题向平面问题的简化，向轴对称 问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。 受力简化 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效 力系等。 材料简化 根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。
z
C
z y
x P B
A
应变的正负：
O
y
线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
x
切应变： 2021/2/23 以直角变小时为正，变大时为负；
弹性力学中的几个基本概念
(2) 一点应变状态
注：
x yx
xy y
xz yz
zx zy z
其中
应变无量纲；
应变分量均为位置坐标的函数
xy yx yz zy
2021/2/23
弹性力学中的几个基本概念
(2) 面力 —— 分布在物体表面的力
f
ΔF lim
—— 面力分布集度（矢量）
ΔS ΔS0
z
ΔF
f z
ffif jfk
x
y
z
f p S f y
k
x
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
iO j
y
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
5. 基本假定
（1）连续性假定
整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。
作用： 使得σ、ε、u 等量表示成坐标的连续函数。
(x,y,z)
εε(x,y,z)
uu(x,y,z)
2021/2/23
弹性力学的内容及基本假定
（2）完全弹性假定
假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变 间成线性比例关系。
平面问题的有限单元解法
平面问题有限元解法
基本思想
有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个 且按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原 来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的 有限自由度问题求解的一种数值分析法。物体被离散后，通 过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分 析。
有限单元法的分析步骤如下： 物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
2021/2/23
有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体
节点
单元
确定单元形状、单元之间相互联结的 点
节点力
单元上节点处的结构内力
脆性材料—— 一直到破坏前，都可近似为线弹性的； 塑性材料—— 比例阶段，可视为线弹性的。
（3）均匀性假定
假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。
作用：
弹性常数（E、μ）等——不随位置坐标而变化； 取微元体分析的结果可应用于整个物体。
2021/2/23
弹性力学的内容及基本假定
（4）各向同性假定
2021/2/23
弹性力学中的几个基本概念
z
用矩阵表示：
x yx
xy y
xz yz
zx zy z
其中，只有6个量独立。
xy yx
yz zy 切应力互等定理
zx xz
x
zx
zy
z
yx xz
y yz x
zy
xy
zx
yz yx y
O
yz
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 切应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
应力的切向分量 —— 切应力
单位: MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
2021/2/23
ΔF n
P
(法线)
ΔA
弹性力学中的几个基本概念
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合
—— 称为一点的应力状态
x面的应力： y面的应力： z面的应力：
x,xy,xz
y,yx,yz z,zx,zy
2. 研究对象
一般弹性实体结构： 三维弹性固体、板状结构、杆件等
2021/2/23
弹性力学的内容及基本假定
3. 研究方法
由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析
4. 数学理论基础
—— 偏微分方程（高阶，二、三个变量） 数值解法：能量法（变分法）、差分 法、有限单元法等。
2021/2/23
弹性力学的内容及基本假定
假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
（5） 微小变形假定
假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移 远远小于物体的原来的尺寸。
作用：
建立方程时，可略去高阶微量； 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。
使求解的方程线性化。
（6） 无初应力假定 认为在受载前内部无应力。
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
2021/2/23
弹性力学中的几个基本概念
3. 形变
(1) 一点形变的度量
形变 —— 物体的形状改变 （1）线段长度的改变 ——用线（正）应变ε度量
（2）两线段间夹角的改变。 ——切应变γ度量 （切应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）
三个方向的线应变： x,y,z 三个平面内的切应变： xy,yz,zx
载荷
作用在单元节点上的外力
载荷
（集中力、分布力）
约束
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
2021/2/23
单元 节 点
节点力
弹性力学的内容及基本假定
1. 研究内容
内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、变 形、位移等分布规律。 任务：与材料/结构力学类似，研究构件弹性阶段 的应力和位移，校核弹性体的强度、刚度、稳定性 问题。
x
说明：f 是坐标的连续分布函数；
2021/2/23
弹性力学中的几个基本概念
2. 应力
(1) 一点应力的概念
(1) 物体内部分子或原子间的相互
内力
作用力; (不考虑)
(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
ΔF p lim
ΔA ΔA0
截面上P点的应力
应力矢量. ΔF的极限方向
应力分量 应力的法向分量 —— 正应力
2021/2/23
弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移。
1. 外力： 体力、面力
(1) 体力 —— 分布在物体体积内的力
ΔF
f lim ΔV ΔV0
—— 体力分布集度 （矢量）
ffif jfk
x
y
z
单位： N/m3 kN/m3
z
k iO j
f z
p
f V x
ΔF
f y y
x
zx xz
z
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm
u —— x方向的位移 分量； 位移分量： v —— y方向的位移 分量；
2021/2/23
w—— z方向的位移 分量。
x
w
P
S
u பைடு நூலகம்v
O
y
工程力学问题建立力学模型的过程中，一般 从三方面进行简化：
结构简化 如空间问题向平面问题的简化，向轴对称 问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。 受力简化 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效 力系等。 材料简化 根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。
z
C
z y
x P B
A
应变的正负：
O
y
线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
x
切应变： 2021/2/23 以直角变小时为正，变大时为负；
弹性力学中的几个基本概念
(2) 一点应变状态
注：
x yx
xy y
xz yz
zx zy z
其中
应变无量纲；
应变分量均为位置坐标的函数
xy yx yz zy