常微分方程的消元法和首次积分法

3 y1 2 y1
2 y2 y2
解 保留 y2 ,消去 y1 .由第二个方程 解出 y1，得
y1
1 2
( dy2 dx
y2 )
对上式两边关于 x 求导,得
dy1 dx
1 2
(
d2 y2 dx 2
dy2 ) dx
代入原方程组的第一个方程得:
3
d2 y2 dx 2
2
dy2 dx
y2
0
二阶常系数线性齐次方程,通解为
fn( x, y1, y2 ,
,
yn )
中的未知函数 y1, y2, , yn 只保留一个， 消去其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程， 先求出这个未知函数，然后再由其他方程求出
其他未知函数.这种方法常用于二个或三个 方程构成的常系数微分方程组的求解.
2
例1
求解方程组
dy1 ddyx2 dx
4.2、微分方程组的消元法和首次积分法
我们介绍微分方程组的两种求解方法: 消元法和首次积分法,这两种方法对求解一些简单的 微分方程组是很有效的方法,但在学习这两种方法时 必需注意它们的局限性.
1
一、微分方程组的消元法
dy1
将一阶微分方程组： dx
f1( x, y1, y2 ,
, yn )
dyn dx
x y c1et 原方程组的一个首次积分.
再将两个方程相减得
d(x y) (x y) dt
x y c2et 原方程组的另一个首次积分.
解出未知 函数, 原方程组通解为
这里c1, c2 是任意常数.
x y
c1et c1et
c2et c2et
13
例
5
求解方程组
dx
dt dy
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y x(x2 x y( x
y 2
2 1) y2 1)
dt
解 把方程组中的第一个方程乘以 x,
第二个方 程乘以 y, 然后两式相加得
x dx y dy ( x2 y2 )( x2 y2 1) dt dt
d( x2 y2 ) 2( x2 y2 )( x2 y2 1)dt
g1 ( t ) g2(t)
(L1L4 L3L2 )x2 L1g2(t) L3g1(t) 仅依赖于变量 x2 的一个高阶微分方程……
(L1L4 L3L2 )x1 L4 g2(t) L2g1(t)?
9
例
3
求解方程组
2x1 2x2 3x1 t 2x12x2 3x1 8x2
2
解:设 L1 2D 3, L2 2D, L3 2D 3, L4 2D 8
L1L2 x L1(L2 x) ( D2 1)(9t 2 2t 3 ) 18 12t 9t2 2t3
L2L1x L2(L1x) (3D 2)(6t t 3 ) 18 12t 9t2 2t3
8
微分算子法求解常系数线性微分方程组.
L1 x1 L3 x1
L2 x2 L4 x2
dx dy2
dx
3 y1 2 y1
2 y2 y2
y2 (c1
dy1 dx
3 y1
c2 x )e 2(c1
x
c2
x)e
x
一阶线性非齐次方程的通解为
y1
1 2
(2c1
c2
2c2 x)e x
c3e 3 x
出现了三个任意常数 c1, c2, c3 ?
c3 0 是一个多余的任意常数.
因此为避免出现增解，在求出一个未知函数后，
dy1 ddyx2 dx
3 y1 2 y1
2 y2 y2
y2 (c1 c2 x)e x
y1
1 2
(2c1
c2
2c2 x)e x
y1
1 2
( dy2 dx
y2
)
故原方程组的通解为
y1
1 2
(2c1
c2
2c2
x)e
x
y2 (c1 c2 x)e x
其中 c1, c2 是任意常数.
4
dy1
不要再用求积分的方 法来求其他的未知函数.
5
例2 求解方程组 dx y, dy y2 dt dt x
解
将第一个方程求导得
d2x dt 2
dy dt
代入第二个方程得
d2x dt 2
1 x
(dx )2 dt
0
不显含自变量t
设 dx dt
p,
d2 dt
x
2
p dp dx
p(dp dx
p) 0, x
把 x2 y2 看作未知函数,积分得
x
2 x2
y2 y2
1
e
2t
c1
x2
y2
e2t e 2t c1
14
g1(t) t, g2(t) 2,
(L1L4 L3L2 )x2 L1g2(t) L3 g1(t)
d2 x2 dt 2
2 dx2 dt
3x2
1
3 8
t
二阶线性常系数非齐次微分方程通解为
x2
c1e t
c2e 3t
t 8
5 12
10
x2
c1e t
c2e 3t
t 8
5 12
2x1 2x2 3x1 t 2x12x2 3x1 8x2 2
经适当组合化为一个可积分的微分方程. 这个方程的未知函数可能是方程组中
几个未知函数组合形式. 积分可以得到未知函数组合形式的解， 该方程为一个原方程组的首次积分.
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例 4 求解方程组 dx y, dy x
dt
dt
解 将两个方程相加得 d (x y) x y dt
以 x y 作为一个未知函数，对上式积分得
,
Dk
x
dk x dt k
,1
k
n.
相应地定义算子多项式：
7
L Dn a1Dn1 an1D an, L是线性算子! Lx ( Dn a1Dn1 an1D an )x
x(n) a1x(n1) an1x' an x. 例如设 L1 D2 1, L2 3D 2, x t 3,则 L1x ( D2 1)t 3 6t t 3, L2 x 9t 2 2t 3,
代入原方程组的第一个方程中得
2
dx1 dt
3 x1
t
1 4
2c1e t
6c2e 3t
一阶线性非齐次微分方程通解为
x1
t 3
11 36
2c1e t
2 3
c2e
3t
c3e 3t
2
代入原系统的第二个 方程中得 c3 0.
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三 微分方程组的首次积分法 首次积分法是将方程组 xi' fi (t, x1, x2, , xn ) (i 1,2, , n)
p
dx dt
c1 x
ln x c1t c, x c2ec1t ,
再由第一个方程得 y c1c2ec1t .
6
二 微分算子与线性微分方程组
这里介绍微分算子D 及其用消元法解线性 微分方程组的应用.
设 x(t) 是定义在某区间I上的具有n 阶连续
导数的函数，微分算子D 被定义为
Dx
dx dt