抛物线定义及性质ppt课件

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4．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到 该抛物线焦点的距离是________．
答案 6
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例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
分析： 如图可知
原条件等价于M点到F（4，0）和到
y
x＝－4距离相等，
由抛物线的定义，点M的 轨迹是以F（4，0） 为焦点，x＝－4为准线
(3)焦点到准线的距离是2.
y 2 4 x ,y 2 4 x ,x 2 4 y ,x 2 4 y
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例3 (1)抛物线 y2 2 px上一点M到焦点的距离是
a ( a p ) ,则点M到准线的距离是____a____,
2
p
点M的横坐标是_a__ _2_.
(2)抛物线 y 2 12 x 上与焦点的距离等于9的点的
的抛物线．所求方程是
y2＝16x．
-5 -4
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M (x , y )
F(4,0) x
题型一 抛物线定义的应用
例 1 (1)动圆与定圆 A：(x＋2)2＋y2＝1 外切，且和直线
x＝1 相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
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【解析】 设动圆的圆心为 C，则 C 到定圆 A：(x＋2)2＋y2 ＝1 的圆心的距离等于动圆的半径 r＋1，而动圆的圆心到直线 x ＝1 的距离等于 r，所以动圆到直线 x＝2 距离为 r＋1，根据抛物 线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为 D.
p 2
设动点M的坐标为（x，y），
由定义可知，
l
· N M ·x
Ko F
(xp)2y2 xp
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
.
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程。
其 中 焦 点 F 2 p ,0 ,准 线 方 程 为 x 2 p ,开 口 向 右
其中 p 为正常数，它的几何意义是: 焦点到准线的距离
坐标是__(6_,__6__2_) ___；
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练习2
如图,M点是抛物线 y 2 4 x 上一点,F是抛物线
的焦点, 以Fx为始边,FM为终边的角xFM60o,求
FM .
y
M
4
OF
x
.
2．(2015·陕西文)已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线经过点
(－1，1)，则抛物线焦点坐标为( )
A．(－1，0)
抛物线定义及性质
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一、定义
平面内到一个定点F和一条定 L
直线l的距离相等的点的轨迹叫
做抛物线。 ▲定点F 叫做抛物线的焦点。
F
o
x
▲定直线l 叫做抛物线的准线
注：如果定点F在定直线l上，所求的轨迹是？
过定点F垂直于直线l的一条直线
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1.平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x 2 y 3
因为|AF|＋|BF|＝3，根据抛物线的定义，|AG|＝|AF|，|BE| ＝|BF|，
所以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝|BE|＋2 |AG|＝32， 所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为32－14＝54，故选 C.
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【答案】 C
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探究 1 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多 抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形， 由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
3、抛物线的顶点：抛物线和轴的交点。原点O（0，0）
4、抛物线的离心率 y2=2p. x离心率都是 1
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
p 2
,0)
x
p 2
B．(1，0)
C．(0，－1)
D．(0，1)
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答案 B 解析 因为抛物线的准线方程为 x＝－p2＝－1，∴p2＝1， ∴焦点坐标为(1，0)，故选 B.
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3．(2014·安徽文)抛物线 y＝14x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1
B．y＝－2
C．x＝－1
D．x＝－2
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答案 A 解析 抛物线 y＝14x2 的标准方程为 x2＝4y，所以其准线方程 为 y＝－1.
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
3、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段 叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程
抛物线的焦半径公式。 .
例1 求下列抛物线的焦点坐标百度文库准线.
1、 y 2 4 x
2 x 4y2
、
练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
距离相等的点的轨迹为( A )
(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆
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求标准方程
想 一 想
l
· N M ·F
如何建立直角坐标系？
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过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x
轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直
角坐标系xOy。
y
设︱KF︱= p
p 则F（ 2
，0），l：x = -
(1)y2 20x;
(5,0),x5
(3)2y25x0;
(5 , 0), x 5
8
8
(2)y 2x2;
(0, 1), y 1
8
8
(4)x2 16y0.
(0,4),y4
.
例2 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(0,-2)；
x2 8 y
(2)准线方程是 y 1 ；.
x2 4y
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﹒ 图 形 y
ox
﹒y ﹒o x
y
焦点
准线
ox
﹒y o x
.
标准方程
二、抛物线的性质
抛物线 y2 2px(p＞0) 的几何性质：
1、抛物线的范围
它在 y轴的右边，向右上方
和右下方无限伸展。
2、抛物线的对称性：
关于 x轴对称
y
.
O
F(
p 2
,0
)
x
这条对称轴叫抛物线的轴
注意：抛物线只有一条对称轴； x p 2 没有对称中心
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x
x2 = 2py （p>0）
F
(0,
p 2
)
y p 2
y≥0 x∈R
l
y轴
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
.
2、通径： y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0, y0)
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
【答案】 D
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(2)已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两
点，|AF|＋|BF|＝3，则线段 AB 的中点 D 到 y 轴的距离为( )
3
A.4
B.1
5
7
C.4
D.4
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【解析】 因为抛物线 y2＝x 的准线方程为 x＝－14.
如图所示，过点 A，B，D 分别作直线 x＝－14的垂线，垂足分别为 G，E，M，