鲁棒控制1

12 H 鲁棒控制
12．1鲁棒控制的概念
20世纪末，现代控制的理论与方法已日趋完善，然而，在工程实际中的应用依然困难.其中一个重要原因是，现代控制理论在很大程度上要依赖于有一个描述被控对象动态特性的精确数学模型、或者要求对象的不确定性和外界干扰满足某种特殊的假定。

而且，利用这种理论设计的系统只对数学模型保证预期的性能指标。

然而，控制系统设计中一个不可避免的问题是系统的数学模型与实际系统总难免会有些不同。

这是由于在控制系统设计时对实际物理系统进行数学模型化时不可避免地会遇到权衡数学模型的简单性和与实际系统吻合程度的真实性的问题。

数学模型与实际系统之间的差异可能通过许多途径产生，例如：线性化、参数估计等等。

而且，在实际物理系统中，某些参数可能并不是确定的，例如：液压系统中的油液粘度将随油温而变化。

为了弥补现代控制理论的这种不足，最有效的手段是在系统的分析和设计时充分考虑被控对象中所存在的各种不确定因素，即基于含不确定因素的非精确模型来分析系统和设计控制器，使所设计的控制系统能在某一类特定的不确定性条件下具有使系统稳定性、渐近调节和动态特性保持不变的特性。

系统的这种承受不确定性影响的能力即系统的鲁棒性。

20世纪80年代以来，关于控制系统的鲁棒性研究得到了很大的发展。

现代鲁棒控制理论继承了以往的鲁棒性研究方法，以基于使用状态空间模型的频率设计方法为主要特征，提出从根本上解决控制对象模型不确定性和外界扰动不确定性问题的有效方
法，主要方法有H ∞控制方法，u 解析方法，LQG/LTR 方法等。

其中最为重要的是H ∞控制方法。

12．2 H ∞鲁棒控制问题的基本知识 1．H ∞范数（H ∞ norm ）
对于一个连续时间状态变量系统
.
x （t ）=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)+Du(t) (12.2-1) 其相应的传递函数矩阵为：
G （s ）=C(sI-A)-1B+D (12.2-2) 则G （s ）的H ∞范数为
‖G ‖∞=Sup w -
σ（G(j ω)） (12.2-3) 这里，)(∙-
σ表示最大奇异值。

当G （s ）是标量传递函数时，‖G ‖∞是Bode 图上的最大增益，或是向量图上到原点的最大距离，见图12.1
(a) Bode 图 (b) 向量图
图12.1 G （s ）的H ∞范数
2．最小增益定理（The small Gain Theorem ） 对于图2. 2所示系统
图2.2 反馈控制系统 系统是稳定的，当且仅当 ① G 和H 是稳定的
② 1)()(<∞s H s G (12.2-4) 3. 灵敏度函数和补灵敏度函数（Sensitivity function and
complementary sensitivity function ）.
对于一个函数f(a1,a2,、、、,ai,、、、an)，若ai 变化时，f 相应变化较大，则称，f 对ai 的变化灵敏度大，反之亦反。

函数f 对系数ai 变化的灵敏度函数定义为：
S I =i
i n n i a a a a a f a a a f ai /)
,,,(/),,,(0
2121lim
∆∆→∆ (12.2-5)
对于如图12.3所示的多输入多输出系统
图12.3多输入多输出反馈控制系统 当d=0 时，从r 到y 的闭环传递函数为
T （s ）=
)
()(1)()(s k s G s k s G +
(12.2-6)
现把G(s)当做变化参数，计算T （s ）对G(s)变化的灵敏度函数 ∆T （s ）=
)()(1)()()
()]()([1)()]()([s k s G s k s G s k s G s G s k s G s G +-
∆++∆+
=
)
()()
()]()([1)
(s G s T s k s G s G s G ∙
∆++∆
于是
)
()]()([11
)(/)()
()(s k s G s G s G s G s T s T ∆++=
∆∆ （12.2-7）
对（12.2-7）令∆G （s ）→0,则灵敏度函数为 S=
)
()(11
s k s G + （12.2-8）
同样，当d=0是，还有
s
Gk
r
y r r e =+=
-=11 （12.2-9）
当r=0时，有
s
Gk
d y =+=
11 （12.2-10）
即，灵敏度函数S 也反映了测量噪音d 对系统输出y 的影响。

如
果使‖S （s ）‖∞最小，则意味着使输出干扰（测量噪音）等引起的输入信号的能量最小，因此，认为S 是一个与系统性能相关的函数。

类似地，把 T （S ）=
)
()(1)()(s k s G s k s G + （12.2-11）
称为补灵敏度函数（注意S(s)+T(s)=1），与前相似的分析表明，T （s ）是从控制器输入到系统输出的传递函数，∞
)
(min s T 意味着
使由于控制器输入的干扰而引起的系统输出的能量最小，相当于给系统一个鲁棒稳定性担保。

4．回路整形方法（A loop shape design procedure ） 由上可知，为了控制扰动信号d 对输出y 的影响，要求灵敏度函数是S （s ） 的H ∞范数越小越好，而从保证控制对象具有模型不确定性的鲁棒稳定性出发，则要求有最小的补灵敏度函数T （s ）的H ∞范数。

显然这两个要求是相互矛盾的，为此，需在两者之间做折衷的考虑。

可以选择一加权传递函数W 1（s ）给S(s)以加权（惩罚），W 3(s) 对T(s)加权，并把这些经过加权的目标合并成一个具有两个分矩阵构成的矩阵，于是形成一个H ∞问题。

∞
T
W S W 31
这里，系统性能和鲁棒性指标已表达成一个特定闭环传递函数矩阵的H ∞范数。

进一步的分析指出，这些闭环传递函数的一些特性能够直接地通过相应的开环传递函数的奇异值决定。

也就是说，这些闭环传递函数的一些特性能够由对开环传递函数的奇异值进
行适当的“整形（shaping ）”来获得，因此，这个设计过程被称为“回路整形”。

5．H ∞鲁棒控制设计
对于一个控制系统，最一般的方框图可描述为
图12.4 一般控制系统框图
图中，广义控制对象为系统设计开始时就已具备的固定部分，即实际控制对象的集合，包括执行机构，传感器、A/D ，D/A 转换器等；控制器由可设计的部分组成，它们可以是电子电路，可编程控制器，工控机或其他类似的装置。

W 包括所有外部输入，如参考输入，扰动，传感器噪音等；z 是被控制的输出，如参考输入与对象输出之差；y 是被测量的输出，包含所有传感器的输出；u 是控制输入。

H ∞鲁棒控制系统的设计问题可描述为，给定一个广义控制对象的集合P ，一个外部输入的集合W 和由被控制输出Z 表征的一组控制性能，设计一个可实现的控制器K ，使反馈系统稳定，而且达到要求的控制性能。

数学上，可描述为
min
)
,(inf γ
=∞
K P F l k
(12.2-12)
式中，),(K P F l 表示从W 到z 的传递函数，所以也表示为
min
γ
=∞
zw
T (12.2-13)
这里),(K P F T l zw =
一般，很难找到min γ的准确解，通常可采用准最优解，即，找到一个稳定控制器K ，使得min γγ>，满足
γ
≤∞
zw
T （12.2-14）
Glover 和Doylr 已求解了有关满足式（12.2-14）的稳定控制器存在的必要和充分条件，并给出了所有解的形式。

[ ]
在前一小点的分析中，已经把鲁棒稳定性指标和系统性能指标放入同一个H ∞框架中（称亦称之为混合灵敏度问题），因此，该问题的H ∞鲁棒控制设计可以归结为，通过选择适当的稳定控制器K ，使得这个组合传递函数矩阵的H ∞范数小于某一指标，即：
γ≤=∞
∞
T
W S W T zw
31 (12.2-15)
根据最小增益定理，可以让zw T 的∞H 范数小于1，即
1min
min 31≤=∞
∞
T
W S W T zw
(12.2-16)
由奇异值的性质：
max{-
δ(A), -
δ(B)} ≤-
δ{[A B]} 可知，式（12.2-16）意味着，它要求
-
δ（S(jW)）≤||)(1
1ωj w - (12.2-17)
-
δ（T(jW)）≤||)(13ωj w - (12.2-18)
12．3系统设计实例
在本节中，我们将结合汽车主动悬架系统讨论H∞鲁棒控制的具体设计方法。

1．控制目的
在先前的各章中，所设计的控制器的反馈增益皆为常数而与干扰频率无关。

使用这些常数增益，要仅在某些频率范围内产生较大的控制反馈是不可能的。

换句话说，为了改善给定范围内的响应特征，不得不在所有频率上都做出这一改善。

然而，并非所有实际控制系统的要求也都是这样。

就汽车的主动悬架控制而言，已有研究表明，人类对加速度的反应敏感程度是一个频率的函数。

这也就是说，在某一个频率范围，人类对振动更为敏感，依据有关报告，这个敏感频率带为4—8HZ。

这意味着，为了改善乘坐舒适性，应当对这个频率带内的车体加速度响应特性给予更多的关注。

另一个问题是系统的鲁棒性。

由于12.1节所述的诸多原因。

第3章中所描述的汽车主动悬架的数学模型与实际系统之间必然存在诸多差异。

而且，在实际的主动悬架系统中，某些参数也是不确定的。

例如：广义的车体质量将随乘员数、然料和货物装载量等而变化。

H∞鲁棒控制方式，尤其是其中的回路整形技术，可以提供一种不仅能在系统模型存在不确定性时在一定程度上保证系统的鲁棒性，而且可以在所要求的频率域内保证一定水平的控制性能的控制器设计，因此，可利用这个特点来满足主动悬架这两方面的要求。

2．主动悬架控制系统的H∞问题构成
a.名义模型（nominal model ）的建立
在第9章中已为式（3.3-13）所示系统构造了一个全状态反馈的最优调节控制器，其中的3个状态变量由传感器直接测定和计算，其余两个变量则通过状态观测器间接估计，这个控制方法需要3个传感器，观测器的设置也将使控制程序增加一定的计算量。

而且，从理论角度严格地来讲，这种最优控制已无法保证其最优性，只能是一个次优控制而已。

另一方面，在实际控制系统设计时，在保证系统稳定的前提下，设计一个只取决于输出的最优控制往往也能取得满意的控制效果。

因此，出于减少传感器数量和减小控制程序运算量的考虑，本研究采用输出反馈控制方案。

由于本研究中采用H ∞控制的主要目的是改善在人类加速度响应敏感频域内的车体加速特性，在输出变量中应能对车体速度有所反映。

于是，重写系统（3.1-19）为
.
x =Agx+Bgu (12.2-1)
y=Cgx+Dgu 式中
x=[x wt .
x b .
x r ∆p a1 ∆p g ] (12.1-2) u=[.
x r q g ]T
(12.2-3) y=[..
x b .
x b ]T (12.2-4) 和
Ag=A 0(见式3.2.22) （12.2-5）
Bg=T
c
V k ⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-0/0
00001
（12.2-6）
Cg=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-00
10
0///0b
cp b
a b
a M
A M
C M
C （12.2-7） Dg=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡00
00 （12.2-8）
b 频率加权函数的选择 （a ）性能规范
针对系统性能要求提出如下频率函数 W p =
1
006.00036.00036.0059.02
+++s s s （12.2-9）
W 1=diag(W p ,W p )
选择这样一个加权函数是考虑在人类加速度敏感带内产生一个大的增益，以改善该范围内的车体加速度响应特性。

（b ）鲁棒性规范
注意到鲁棒稳定性问题通常是在高频域内较显著，相关的加权函数被选择为
W r =1
5.00025.0001
.00013.00124.02
2
++++s s s s （12.2-10）
和
W 3=diag(W r, W r )
W r 是目标是在10Hz 以上频率域内最小化被灵敏度函数T 。

C 系统扩展
由名义系统Gg ，加权函数W 1和W 3，此外，为了满足计算条件,附加了一个加权函数，W 2=)0(≠εεI ，可形成一个扩展系统P ：
让Gg, ，W 1和，W 3以状态空间形式表示为
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=Dg Cg
Bg Ag Gg (12.2-11) 和
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=i i
i i
i Dw Cw Bw Aw w 3,2,1=i (12.2-12)
扩展系统P 能被表示为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=2221
2
12
111
21)(D D C D D C B B A s p ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣⎡
------=
Dg
I
Cg
Dg Dw Cw Cg
Dw Dw Cw Dg Dw Dw Cw Cg Dw Dg Bw Aw Cg Bw Bw Aw Dg Bw Bw Aw Cg Bw Bg Ag 0
0000000000000000000000333
22
1111333221111 从而，这个主动悬架系统的H ∞问题被表示为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡u X D D C D D C B B A Y Z x p p p ω
2221
21211121. （12.2-13）
这里
Z=[Z 1a Z 1b Z 2a Z 2b Z 3a Z 3b ]T
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=21ωωω
⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡=...b b x x
Y
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=u r q x
u .
图12 给出了H ∞问题的结构说明。

图12 H ∞问题的结构说明 3 设计要求
通过前面的讨论已形成了一个包含有性能目标的鲁棒控制器问题。

就该鲁棒控制器设计而言，所期望的是找到了一个稳定控制器K(s)，通过u(s)=K(s)Y(s)，而使得传递函数T zw 最小化。

根据最小增益定理，这个问题的设计要求可以描述为让T zw 的H ∞范数小于1，即
1min 31)
(≤=∞
∞
T
W S W T zw
s k （12.2-14）
由特征值的性质：
]),([)}(),(max{B A B A σσσ≤-
- （12.2-15） 式（12.2-15）也意味着
|)(|))((11ωωσj W j s --
≤ （12.2-16） 和
|)(|))((13ωωσj W j T --
≤ （12.2-17）。