鲁棒控制1

12 H 鲁棒控制

12．1鲁棒控制的概念

20世纪末，现代控制的理论与方法已日趋完善，然而，在工程实际中的应用依然困难.其中一个重要原因是，现代控制理论在很大程度上要依赖于有一个描述被控对象动态特性的精确数学模型、或者要求对象的不确定性和外界干扰满足某种特殊的假定。而且，利用这种理论设计的系统只对数学模型保证预期的性能指标。然而，控制系统设计中一个不可避免的问题是系统的数学模型与实际系统总难免会有些不同。这是由于在控制系统设计时对实际物理系统进行数学模型化时不可避免地会遇到权衡数学模型的简单性和与实际系统吻合程度的真实性的问题。数学模型与实际系统之间的差异可能通过许多途径产生，例如：线性化、参数估计等等。而且，在实际物理系统中，某些参数可能并不是确定的，例如：液压系统中的油液粘度将随油温而变化。

为了弥补现代控制理论的这种不足，最有效的手段是在系统的分析和设计时充分考虑被控对象中所存在的各种不确定因素，即基于含不确定因素的非精确模型来分析系统和设计控制器，使所设计的控制系统能在某一类特定的不确定性条件下具有使系统稳定性、渐近调节和动态特性保持不变的特性。系统的这种承受不确定性影响的能力即系统的鲁棒性。

20世纪80年代以来，关于控制系统的鲁棒性研究得到了很大的发展。现代鲁棒控制理论继承了以往的鲁棒性研究方法，以基于使用状态空间模型的频率设计方法为主要特征，提出从根本上解决控制对象模型不确定性和外界扰动不确定性问题的有效方

法，主要方法有H ∞控制方法，u 解析方法，LQG/LTR 方法等。其中最为重要的是H ∞控制方法。

12．2 H ∞鲁棒控制问题的基本知识 1．H ∞范数（H ∞ norm ）

对于一个连续时间状态变量系统

.

x （t ）=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t) (12.2-1) 其相应的传递函数矩阵为：

G （s ）=C(sI-A)-1B+D (12.2-2) 则G （s ）的H ∞范数为

‖G ‖∞=Sup w -

σ（G(j ω)） (12.2-3) 这里，)(∙-

σ表示最大奇异值。

当G （s ）是标量传递函数时，‖G ‖∞是Bode 图上的最大增益，或是向量图上到原点的最大距离，见图12.1

(a) Bode 图 (b) 向量图

图12.1 G （s ）的H ∞范数

2．最小增益定理（The small Gain Theorem ） 对于图2. 2所示系统

图2.2 反馈控制系统 系统是稳定的，当且仅当 ① G 和H 是稳定的

② 1)()(<∞s H s G (12.2-4) 3. 灵敏度函数和补灵敏度函数（Sensitivity function and

complementary sensitivity function ）.

对于一个函数f(a1,a2,、、、,ai,、、、an)，若ai 变化时，f 相应变化较大，则称，f 对ai 的变化灵敏度大，反之亦反。函数f 对系数ai 变化的灵敏度函数定义为：

S I =i

i n n i a a a a a f a a a f ai /)

,,,(/),,,(0

2121lim

∆∆→∆ (12.2-5)

对于如图12.3所示的多输入多输出系统

图12.3多输入多输出反馈控制系统 当d=0 时，从r 到y 的闭环传递函数为

T （s ）=

)

()(1)()(s k s G s k s G +

(12.2-6)

现把G(s)当做变化参数，计算T （s ）对G(s)变化的灵敏度函数 ∆T （s ）=

)()(1)()()

()]()([1)()]()([s k s G s k s G s k s G s G s k s G s G +-

∆++∆+

=

)

()()

()]()([1)

(s G s T s k s G s G s G ∙

∆++∆

于是

)

()]()([11

)(/)()

()(s k s G s G s G s G s T s T ∆++=

∆∆ （12.2-7）

对（12.2-7）令∆G （s ）→0,则灵敏度函数为 S=

)

()(11

s k s G + （12.2-8）

同样，当d=0是，还有

s

Gk

r

y r r e =+=

-=11 （12.2-9）

当r=0时，有

s

Gk

d y =+=

11 （12.2-10）

即，灵敏度函数S 也反映了测量噪音d 对系统输出y 的影响。如

果使‖S （s ）‖∞最小，则意味着使输出干扰（测量噪音）等引起的输入信号的能量最小，因此，认为S 是一个与系统性能相关的函数。 类似地，把 T （S ）=

)

()(1)()(s k s G s k s G + （12.2-11）

称为补灵敏度函数（注意S(s)+T(s)=1），与前相似的分析表明，T （s ）是从控制器输入到系统输出的传递函数，∞

)

(min s T 意味着

使由于控制器输入的干扰而引起的系统输出的能量最小，相当于给系统一个鲁棒稳定性担保。

4．回路整形方法（A loop shape design procedure ） 由上可知，为了控制扰动信号d 对输出y 的影响，要求灵敏度函数是S （s ） 的H ∞范数越小越好，而从保证控制对象具有模型不确定性的鲁棒稳定性出发，则要求有最小的补灵敏度函数T （s ）的H ∞范数。显然这两个要求是相互矛盾的，为此，需在两者之间做折衷的考虑。

可以选择一加权传递函数W 1（s ）给S(s)以加权（惩罚），W 3(s) 对T(s)加权，并把这些经过加权的目标合并成一个具有两个分矩阵构成的矩阵，于是形成一个H ∞问题。

∞

T

W S W 31

这里，系统性能和鲁棒性指标已表达成一个特定闭环传递函数矩阵的H ∞范数。进一步的分析指出，这些闭环传递函数的一些特性能够直接地通过相应的开环传递函数的奇异值决定。也就是说，这些闭环传递函数的一些特性能够由对开环传递函数的奇异值进