结构力学位移法详解

基本系
FP 单独作用
1 单独作用
1 , FR1P , FR11 规定顺时针为正
基本系与原结构在附加约束处的受力状况, FR1 0 FR1P FR11 0
典型方程---表示结点B 处的力矩平衡. k111 FR1P 0
求系数和自由项
FR1P 1 FP l 8
k11 4i 4i 4i 12i
§8.1 位移法的基本概念
基本未知量 B
FR1 0
在结点B附加一刚臂------基本体系
FR1 FR1P FR11
基本系
FP 单独作用
1 单独作用
1 , FR1P , FR11 规定顺时针为正
基本系与原结构在附加约束处的受力状况, FR1 0 FR1P FR11 0
X1
X2
X3
X1
X2
1C [1 b ( l ) ]
l
X1 1
0
1
X2 1
0
1 1 1 0 X3 1
0 0
l b 2 C a 3C
1.两端固定受支座转角作用的力 法方程：
1.两端固定受支座转角作用：
位移法
(Displacement Method)
FP 单独作用
1 1 单独作用
解方程
1 12i1 FP l 0 8
FPl FPl 2 1 (顺时针) 96i 96 EI
作弯矩图
FPl 2 1 96 EI
FP 单独作用
1 1 单独作用
M M11 M P
Z1
EI
q
EI
Z1
Z1=1
=
Z1
q
Z1
Z1
q 1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 ql2 / 40 M 5)解方程 6)作弯矩图
§位移法基本结构与基本未知量
基本假设: (1)不计轴向变形 (2)弯矩变形是微小的
符号规定: 独结点转角和刚臂反力矩顺时针为正;结 点水平线位移和附加连杆反力向右为正; 杆端的量顺时针转向为正.
B
上式中 M 和 F 为荷载引起的固端弯矩和固端剪力。
F AB
F QAB
同理：根据形、载常数和叠加原理，也可建立 一 固一铰、一固一定向单跨梁的转角位移方程。
§8.5 位移法的基本体系
位移法是计算超静定结构的基本方法之一.
FR1 0
基本未知量 B
在结点B附加一刚臂------基本体系
FR1 FR1P FR11
几何法:
1C=b/l 3C=0
2C=-b/l
公式法:
iC Ri C
1/l
1C (1/ l )b b / l
1/l
2C (1/ l )b b / l
0
1C 0 b 0
练习:写出典型方程,并求出自由项。
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1C b 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2C a X X X 33 3 3C 31 1 32 2
l

X1
X2
12 21 0
11 l 3 12EI
1C l 2
22 l EI
2C
EI X2 l
2 EI l
l/2
X1 1
M1
EI X 1 6 2 l
1

X2 1
M M1 X1 M2 X 2
M2
M
4 EI l
支座移动引起的内力与各杆 的绝对刚度 EI 有关。
基本要求
• 熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位 移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中 的系数和自由项的物理意义及其计算。 • 熟记一些常用的形常数和载常数。 • 熟练掌握弯矩图、剪力图和轴力图的绘制。 • 掌握利用对称性简化计算。 • 重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下 的计算。 • 位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平 衡方程法。要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
1C=0 2C=0 3C=0
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1C 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2C 0 X X X 0 33 3 3C 31 1 32 2
X3
EI
q
2 EI
l
l
q
Z1
q
Z1=1 4i 6i
2 EI EI
l
l
基本体系 k11 4i 6i F1P
2i
q
M1
F1=0 k11 Z1+ F1P =0
ql 2 / 8 ql 2 / 8
MP
k
11
=10i
2
F1P ql / 8
Z1 ql 2 / 80i
M M 1 Z1 M P
2 ql / 20 位移法求解过程 :
例. 力法解图示结构,作M图.
P
0
解: 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P
Pl 2 / 8
21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3P
l X1
P
l X2
13 31 23 32 3 P 0
M 32ds N 32ds kQ32ds l 33 0 EI EA GA EA X3 0 11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
k11
3i
Z1=1 3i
M1
Z1
M
位移法基本未知数 ----结点位移. 位移法的基本结构 ----单跨梁系. 位移法的基本方程 ----平衡方程. 位移法求解过程:
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
练习: 作 M图
§8.1(2)位移法的基本概念
一、位移法的提出
力法计算,六个基本未知量 位移法计算,一个基本未知量
二、单跨超静定梁的内力(表)
建立基本杆件的杆端位移与杆端力、外载荷 与杆端力之间的关系。
由位移引起的杆端内力称为“形常数” 。 由外载荷引起的杆端弯矩和剪力，称为固端弯
矩和固端剪力（又称为“载荷常数” ）。
θ
l
Δ1=δ11x1+Δ1c=
θ
θ a
Δ1=δ11x1+Δ1c=
X1=1 3)
0
M1
δ11= X1=
l 3EI
3
X1=1
1
X1=1
Δ1c=－θl
δ11=
l 3EI
3EI l
1/ a l Δ1c=
M1
a
1.5 l/3 1
M1
2l/3
l
1.5/
3EI a l2 l
X1=
a l
3l 3 3a Δ = δ11= 1c 2 2l 4 EI
X1=
3EI a l l
M
2 EI a l l
例. 求图示梁由于支座移动引起的内力.

EI
解：
1 0 2 0
11 X1 12 X 2 1C 0 21 X1 22 X 2 2C 0
练习:写出典型方程,并求出自由项。
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1C 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2C X X X a 33 3 3C 31 1 32 2
Δ
θA θB
上面称为转角位移方程
（slope-deflection equation）
刚度矩阵 MAB 4i 2i -6i/L θA
该方程也可以写成： 右式称为刚度方程
MBA =
FQAB
2i
4i
4i
2i
-6i/L
-12i/L2
θA
Δ
2.一端固定和一端滚支（简支）
MAB= 3iθA-3i Δ/L
θA
X1
C C
X1
1 0 1 C ???
1 0
11 X1 1C 0
iC Ri C
11 X1 C
支座移动时的计算

EI l a
M 12 11 dx EI 1C R c
X1
1） X1 a
X1
2)
a

3)
a
Δ1=δ11x1+Δ1c=－a
Δ
MBA=0
FQAB= FQBA= -3iθA/L+3i Δ/L2
3.一端固定和一端定向支座（简支）
MAB= iθA MBA= -iθA FQAB= FQBA=0
θA
2.等截面梁的载常数（load constant）
荷载引起的杆端内力称为载常数.
3.既有线位移又有角位移同时还有外荷载作用
利用形、载常数和叠加原理可得杆端内力
例.作图示梁弯矩图
EI
P l/2 P/2 l/2 P/2 X3
X1
X2
解:
X3=0
l 11 EI
X2=0
11 X1 1P 0
1
1 P
Pl 2 8 EI
M1
X1 1
Pl/4
P/2
P/2
Pl/4
Pl X1 8
MP
M M1 X1 M P
Pl/8
P
M
Pl/8
7.6 支移动下内力计算
练习
练习
EI
练习
练习
2 EI EI
EI
X3
2 X 1 pl / 8 2 X Pl /8 2
11 22 l / 3EI 12 21 l / 6 EI 两端固支梁在竖向 1P 2 P Pl 2 / 16EI
M M1 X1 M2 X 2 M P
荷载作用下没有水 平反力.
M AB 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI F M 1 2 3 4 AB l l l2 l2
2
FQAB
12 EI 6 EI 12 EI 6 EI F 3 1 2 2 3 3 2 4 FQ AB l l l l
1
A
4 3
q
=
+
Z动的约束 F1= F原=0
F1=k11 Z1+ F1P =0
F1 Z1
EI
2
q
k11
3i
F1P
EI
3i
ql 2 8
k
11
=6 i
F1P
ql / 8
q
F1P ql 2 / 8
Z1 ql 2 / 48i
ql2 / 16
MP
M M 1 Z1 M P
基本未知量: 独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构: 增加附加约束后,使得原结构的结点不能 发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
Z1 Z2
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
Z1 Z2
Z3
基本未知量,基本结构确定举例
1.等截面梁的形常数（shape constant）
杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
i=EI/l----线刚度
形常数:
两端固定
一固一铰
一固一定向
“形常数”（shape constant）
1.两端固定用力法可以得：
MAB= 4iθA+2iθB- 6i Δ/L MBA=2iθA+4iθB- 6i Δ/L FQAB= FQBA= - 6iθA/L - 6iθB/L -12iΔ/L2