4-3 二元关系与函数 离散数学 教学课件

1(mod 3)=4(mod 3)=7(mod 3)=1 1~4~7 2(mod 3)=5(mod 3)=8(mod 3)=2 2~5~8 3(mod 3)=6(mod 3)=0 3~6
等价类
定义
设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令 [x]R = { y | y∈A∧xRy }
称 [x] R 为 x 关于R 的等价类, 简记为[x].
闭包的构造方法
定理 设R为A上的关系, 则有
r (R) = R∪ R 0 = R ∪IA s(R) = R ∪R -1 t (R) = R ∪ R 2∪ R 3∪…
若|A|=n , 式中的 项不超过 Rn.
定理
若R 是自反的，则 r(R) = R ;
若R 是对称的，则 s(R) = R ;
等价关系
等价关系
是最重要、最常见的二元关系之一。它有良好 的性质。在计算机科学和计算机技术、信息科 学和信息工程中都有广泛的应用。
定义
设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、 对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系.
设 R 是一个等价关系, 若<x,y>∈R, 称 x 等价于y, 记做 x～y.
验证模 3 相等关系 R 为 A上的等价关系——
➢ x∈A, x-x=3×0，所以 x ≡ x(mod 3) (R是自反的)
➢ x, y∈A, 若 x ≡ y(mod 3),
x-y = 3×t， (tZ)
y-x = 3×(–t)，(–tZ)
y ≡ x(mod 3)
(R是对称的）
➢ x, y, z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3),
对称闭包的构造方法（关系图法）
设R和s(R)的关系图分别记为G, Gs, 则它们的顶 点集相同. 除了G 的边外,用下述方法生成Gs
考察G的每条边, 若有一条 xi 到 xj 的单向边, i ≠ j, 则在 G中加一条 xj 到 xi的反方向边，最终得到对称闭包关 系图Gs.
设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}, R和 r(R)的 关系图
传递闭包t(R)的矩阵构造方法举例
0 1 00 1 0 0 0 1
M R2 M RM R0
0
10
0
11
0
0
1 0 01 0 0 0 1 0
0 010 1 0 1 0 0
M R3 M R2M R 1
0
0 0
0
10
1
0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1
Mt(R) MR MR2 MR3 1 1 1
若R 是传递的，则 t(R) = R .
闭包的构造方法（矩阵法）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr , Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + … 说明:E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意:在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
MR的主对角线全为1且是对称阵，所以R是自反的和对称的；还可以用 二元关系传递性的定义证明R是传递的。故R是A上的等价关系。
等价关系的实例
设 A={1,2,3,4,5,6,7,8}, A上的关系 R 定义为：
R = { <x,y> | x,y∈A∧x ≡y (mod 3) }
x 与 y 模3相等, 即 x 与 y 除以3的余数相等
1 1 1
其中，∨表示矩阵的对应元素进行逻辑加运算。
自反闭包的构造方法（关系图法）
设R和r(R)的关系图分别记为G, Gr, 则它们的顶点 集相同. 除了G 的边外,用下述方法生成Gr
考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最终得 到自反闭包关系图Gr .
设A={a,b,c,d }, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}, R和 r(R)的 关系图
传递闭包的构造方法（关系图法）
设R和t(R)的关系图分别记为G, Gt, 则它们的顶点 集相同. 除了G 的边外,用下述方法生成Gt
考察G的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条路径，如果 从 xi 到路径中任何结点 xj 没有边，就加上这条边. 当 检查完所有的顶点后就得到传递闭包关系图Gt .
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
4.4 关系的闭包
闭包的定义
设R是非空集合A上的关系, R的自反（对称或传递）闭包
是A上的关系R, 使得R满足以下条件：
等价关系的实例
设A={1,2,3,4,5}，R是A上的等价关系，
R={1,1,1,2,2,1,2,2,3,3,3,4,4,3,4,4,5,5}
则R的关系矩阵MR如下：
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0
M
R
0
0
1
1
0
0 0 1 1 0
0
0
0
0
1
等价矩阵可用正方形的一条对角线和线上的若干正方形表示。
闭包的矩阵构造方法举例
设A={1,2,3}，定义A上的二元关系R为：
R={1,2,2,3,3,1} 0 1 0
试求：r(R)，s(R)，t(R) 解：用关系矩阵方法：
M R 0 0 1 1 0 0
1 1 0
M r(R)
0
1
1
1 0 1
0 1 1
M
s(R)来自百度文库
1
0
1
1 1 0
（1）R是自反的（对称的或传递的）
（2）RR
（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系 R 有
RR.
包含R的最小自反关系是R的自反闭包
一般地:
包含R的最小对称关系是R的对称闭包
将R 的自反闭包记作 r(R), 包含R的最小传递关系是R的传递闭包
将R 的对称闭包记作 s(R),
将R 的传递闭包记作 t(R)。
x-y = 3×t1，t1Z，y-z = 3×t2， t2 Z x-z=(x-y)+(y-z)=3×t1+3×t2=3×(t1+t2)，t1+t2Z，
x ≡ z(mod 3)
(R是传递的)
A上模3等价关系的关系图
设 A={1,2,3,4,5,6,7,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x ≡ y (mod 3) }