最新组合数学-第一节：鸽巢原理

第1章 鸽巢原理
鸽巢原理（又叫抽屉原理）指的是一件简单明了的事实：为数众多的一群鸽子飞进不多的巢穴里，则至少有一个巢穴飞进了两只或更多的鸽子。

这个原理并无深奥之处，其正确性也是显而易见的，但利用它可以解决许多有趣的组合问题，得到一些很重要的结论，它在数学的历史上起了很重要的作用。

1.1 鸽巢原理的简单形式 鸽巢原理的简单形式可以描述为：
定理1.1.1 如果把1n +个物品放入n 个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。

证明 如果每个盒子中至多有一个物品，那么n 个盒子中至多有n 个物品，而我们共有1n +个物品，矛盾。

故定理成立。

鸽巢原理只断言存在一个盒子，该盒中有两个或两个以上的物品，但它并没有指出是哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，则只能逐个检查这些盒子。

所以，这个原理只能用来证明某种安排的存在性，而对于找出这种安排却毫无帮助。

例1 共有12个属相，今有13个人，则必有两人的属相相同。

例2 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两点，它们之间的距离不超过
22。

证明 把边长为1的正方形分成4个边长为
1
2
的小正方形，如图1.1.1所示，在大正方形内任取5点，则这5点分别落在4个小正方形中。

由鸽巢原理知，至少有两点落在某一个小正方形中，从而这两点间的距离小于或等于小正方形对角线的长度
22。

例3 给出m 个整数12,,,m a a a L ，证明：必存在整数,(0)k l k l m ≤<≤，使得
()12k k t m a a a +++++L
证明 构造部分和序列
1121212,,m m s a s a a s a a a ==+=+++L L
则有如下两种可能：
（i ）存在整数(1)h h m ≤≤，使得h m s ，此时，取0,k l h ==即满足题意。

（ii ）对任一整数i ，均有(1)i m s i m ≤≤，令(mod
)i i r s m =，则有11(1)i r m i m ≤≤-≤≤，这样，
m 个余数均在1到m-1之间。

由鸽巢原理知，存在整数(1,)k l k l m ≠≤≤，使得k l r r =。

不妨设l k >，
则
12111()()()(mod )0(mod )
k k t k k t k t k t k a a a a a a a a a s s k r r m m ++++++=+++++-++=-=-=L L L L
综合（i ）和（ii ），即知题设结论成立。

例4 一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，一周中下棋的次数不能多于12次，证明：在此期间的连续一些天中他正好下棋21次。

证明 令1277,b b b L 分别为这11周期间他每天下棋的次数，并作部分和
11212771277,,a b a b b a b b b ==+=+++L L
根据题意，有1(177)i b i ≥≤≤ 且1612(171)i i i b b b i +++++≤≤≤L
所以有1237711211132a a a a ≤<<<<≤⨯=L （1.1.1） 考虑数列12771277,;21,21,21a a a a a a +++L L
它们都在1与13221153+=之间，共有154项，由鸽巢原理知，其中必有两项相等，由（1.1.1）式知1277,a a a L 这77项互不相等，从而127721,21,21a a a +++L 这77项也互不相等，所以一定存在
177i j ≤≤≤，使得
21j i a a =+
因此
121121221()()j i i i j i i i j
a a
b b b b b b b b b b b +++=-=++++++-+++=+++L L L L
这说明从第1i +天到第j 天这连续j i -天中，他刚好下了21盘棋。

例5 从1到200的所有整数中任取101个，则这101个整数中至少有一对数，其中的一个一定能被另一个整除。

证明 设12101,a a a L 是被选出的101个整数，对任一i a ，都可以唯一地写成如下的形式：
2(1,2,101)si i i a r i =⨯=L ，
其中，i s 为整数，i r 为奇数。

例如：
367229,6421=⨯=⨯
由于1200i a ≤≤，所以(1101)i r i ≤≤只能取1，3，5，……199这100个奇数，而12101,,r r r L ，共有101项，由鸽巢原理知，存在1101i j ≤≠≤，使得
i j r r =不妨设i j s s <，则
22
2j j i
j
s
s s j j s i
i
a r a r -⨯=
==⨯整数即j a 能被i a 整除。

从上面的几个例子可以看出，尽管鸽巢原理很简单，但它却能解决一些看似很复杂的组合问题。

在将其应用到具体的组合问题时，需要一定的技巧去构造具体问题中的“鸽子”与“鸽巢”。

1.2 鸽巢原理的强形式
定理1.2.1 设12,,n q q q L 都是正整数，如果把
121n q q q n +++-+L
个物品放入n 个盒子，那么或者第1个盒子至少包含1q 个物品，或者第2个盒子至少包含2q 个物品，……或者第n 个盒子至少包含n q 个物品。

证明 若对所有的(1)i i n ≤≤，第i 个盒子至多只有1i q -个物品，则n 个盒子中至多有
()()()()1212111n n q q q q q q n -+-++-=+++-L L
个物品，而我们现在有121n q q q n +++-+L 个物品，矛盾。

故定理成立。

在定理 1.2.1中令122n q q q ===L ，则变成了鸽巢原理的简单形式。

在定理 1.2.1中令
12n q q q r ===L ，则得到如下的推论：
推论1.2.1 若将(1)1n r -+个物品放入n 个盒子中，则至少有一个盒子中有r 个物品。

推论1.2.1也可以叙述如推论1.2.2所描述的另一种形式： 推论1.2.2 设12,,n m m m L 是n 个整数，而且
121n
m m m r n
+++>-L
则12,,n m m m L 中至少有一个数不小于r 。

推1.2.3 若将m 个物品放入n 个盒子中，则至少有一个盒子中有不少于m n ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥个物品。

其中，m n ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
是不小
于
m
n
的最小整数。

例1 设有大小两只圆盘，每个都划分成大小相等的200个小扇形，在大盘上任选100个小扇形漆成黑色，其余的100个小扇形漆成白色，而将小盘上的200个小扇形任意漆成黑色或白色。

现将大小两只圆盘的中心重合，转动小盘使小盘上的每个小扇形含在大盘上的小扇形之内。

证明：有一个位置使小盘上至少有100个小扇形同大盘上相应的小扇形同色。

证明 如图1.2.1所示，使大小两盘中心重合，固定大盘，转动小盘，则有200个不同的位置使小盘上的每个小扇形含在大盘上的小扇形中，由于大盘上的200个小扇形中有100个漆成黑色，100个漆成白色，所以小盘上的每个小扇形无论漆成黑色或白色，在200个可能的重合位置上恰好有100次与大盘上的小扇形同色，因而小盘上的200个小扇形在200个重合位置上共同色10020020000⨯=次，平均每个位置同色20000200100÷=次。

由鸽巢原理知，存在着某个位置，使同色的小扇形数大于等于100个。

例2 任意2
1n +个实数
2123,,,1n a a a a +L
（1.2.1）
组成的序列中，必有一个长为1n +的非降子序列，或必有一个长为1n +的非升子序列。

在证明本例之前先看一个具体的例子，对于序列(3)n =
5,3,16,10,15,14,9,11,6,7
从中可以选出几个递增子序列：
{}{}{}{}5,16,5,10,15,3,9,11,3,6,7,;L 也可以选出如下几个递减子序列：
{}{}{}5,3,16,10,9,7,16,15,14,11,7,L
证明 方法1 假设长为2
1n +的实数序列（1.2.1）中没有长度为1n +的非降子序列，下面证明其必有一长度为1n +的非升子序列。

令k m 表示从k a 开始的最长非降子序列的长度，因为实数序列（1.2.1）中没有长度为1n +的非降子序列，所以有
()211,2,1k m n k n ≤≤=+L
这相当于把2
1n +个物品212,,1n m m m +L 放入n 个盒子1，2，……n 中，由鸽巢原理知，必有一盒子i 里
面至少有1n +个物品，即存在：121n k k k +<<<L 及：1i n ≤≤。

使得
121n k k k m m m i +===L
（1.2.2）
对应于这些下标的实数序列必满足：121n k k k a a a +≥≥≥L （1.2.3）
它们构成一长为1n +的非增子序列。

否则，若有某个(1)j j n ≤≤，使得1j j k k a a +<，那么由从1j k a +开始的
最长非降子序列加上j
k a ，就得到一个从j
k a 开始的长度为1
1j k
m ++的非降子序列。

由j k m 的定义知
11j j k k m m +≥+这与（1.2.2）式矛盾。

因此（1.2.3）式成立，从而定理的结论成立。

方法2 对应于实数序列（1.2.1）中的每个i a ，定义一个有序偶(,)i i l m
其中，i l 为从i a 开始的最长非降子序列的长度，i m 为从i a 开始的最长非长子序列的长度，则对应于序列（1.2.1），有以下的有序偶序列
()()()
2211221
1,,,,,n n l m l m l
m ++L
（1.2.4）
若实数序列（1.2.1）中既没有长为1n +的非升子序列，也没有长为1n +的非降子序列，则有
21,1(1,2,1)i i l n m n i n ≤≤≤≤=+L
（1.2.5）
满足条件（1.2.5）的有序偶最多只有2
n 个，由鸽巢原理知，序列（1.2.4）中至少有两个有序偶相同。

即存在2
11i j n ≤≠≤+，使得()()
,,i i j j l m l m =
即,i j i j l l m l ==
不妨设i j <，由方法1的分析知，若i j a a ≤，则i j l l >，与i j l l =矛盾；若i j a a >，则i j m m >，与i j m m =矛盾。

所以，实数序列（1.2.1）中必有一长为1n +的非降子序列，或有一长为1n +的非升子序列。

例3 将1到16的16个正整数任意分成三部分，其中必有一部分中的一个元素是某两个元素之差（三个元素不一定互不相同）。

证明 用反证法。

设将1到16的16个整数任意分成12,P P 和3P 三个部分，若这三部分中无一具有问题所指的性质，即其中一个元素是其中某两个元素之差，由此我们来导出矛盾，从而证明问题的结论是正确的。

（1）将1到16的整数任意分成三部分，由鸽巢原理知，其中必有一部分至少有1663⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
个元素，不妨设1P 中含有6个元素，为123456a a a a a a <<<<<
令{}1123456,,,,,A P a a a a a a ==，若A 中存在一个元素是某两个元素之差，则1P 满足问题的要求。

否则，令121231341451561,,,,,
b a a b a a b a a b a a b a a =-=-=-=-=-
并令{}123456,,,,,B b b b b b b =。

显然，116(15)i b i ≤≤≤≤，即B 中的元素仍是1到16的整数。

根据假设，12345,,,,b b b b b 无一属于1P 。

否则，与1P 中不存在一元素等于某两元素之差相矛盾。

所以，B 中元素属于2
P 或3P
（2）与（1）类似，不妨设B 中至少532⎡⎤=⎢⎥⎢⎥
个元素属于2P ，设为123c c c <<
并令{}123,,C c c c =。

由假设，C 中不存在一元素是某两个元素之差。

令121231,d c c d c c =-=- 并令{}12,D d d =。

显然，D 中元素不属于2P ，否则，与2P 中不存在一元素是某两个元素之差相矛盾。

且
12116d d ≤≤≤。

下面再证明D 中元素不属于1P 。

设(1,2,3;15)i i j i c b i j ==≤≤，则()(
)2121211211111
11
j j j j j j d c c b b a a a a a a ++++=-=-=---=-
同理31211j j d a a ++=-
所以，12,d d 均不属于1P 。

因此，D 中元素属于3P 。

（3）根据假设，在3P 中不存在一元素是另两个元素之差，所以121d d d ≠-，令21e d d =-
与（1）类似，e 不属于3P ；同（2）可以证明e 也不属于1P 和2P 。

即存在一整数116e ≤≤，它不属于12,P P
P中的任何一个，这与将1到16间的整数任意分成三个部分的假设相矛盾。

和
3。