10-7 一阶常系数线性差分方程

3 2 2


3
故 yx x
3
x x 1 x 2 x
x
4
方程的通解为
yx
C.
4
2、f ( x )
1 2
x
p n x 型
y x 1 ay
x
方程 2 为

x
pn x
0， 1 0， 1
x x
例 7 求 y x 1 ay x 2 的通解 .
xபைடு நூலகம்
解
特征方程
特征根
a 0，
a， x Yx C a 对应齐次方程通解
设 y x 2 z x，原方程化为
x
2 z x 1 az x 1
即 z x1 a 2 zx 1 2
1 1是特征方程的根，即
特解 z x

a 2时
1 2
x；
2 1不是特征方程的根，即
特解 z x

1 2a
；
Ca 即通解 y x Ca
x
x
a 2时 1 x x2 2 于是 y x 1 x 2 2 a 1 x x2 a 2 2 . 1 x 2 a 2 2a
解
a
1 2
1 Yx C . 2
x
差分方程的通解为
2 . 特征根法
y x 1 ay
x
0 ( a 0 为常数 )
1
方程（ 1）变形为
y x 1 a y x 0 ( a 0 为常数 )
根据
x
1 ，
2
练习题答案
1 .( 1 ) y x A ( 1 ) (2) y x (3) y x 1 3 36 125 1 25 1 25 x 2 5 x 3 4 2
x x
(
x
x 2

3 4
) 3 3 4
x
( 37 12
1 3
) ;
x
x
A 5
, yx
b 1 cos x b 2 sin x

注意到 D 0的充要条件为
cos a 0 2 k ( 2 k 1 ) ,即 或 sin 0 a 1 a 1
其中 k 为整数，将上式代入
得
B 1 b1 , B 2 b 2 或 B 1 b1 , B 2 b 2

y x 也应该是多项式，

且 y x 是 n 次多项式， y x 是 n 1 次多项式 .
(1) 1不是特征方程的根，即
令y x Qn ( x ) b0 x b1 x
n
1 a 0
n 1
bn
(2) 1是特征方程的根，即
n
1 a 0
n 1
令y x xQn ( x ) x b0 x b1 x
bn
综上讨论
设 yx

0 x Qn ( x )， k 1
k
1不 是 特 征 方 程 的 根 1是 特 征 方 程 的 根
例 3 求差分方程 y x 1 2 y x 3 x 的通解 .
2
解
a 2
； a 2
※3. f ( x ) b1 cos
差分方程为
y x 1 ay
x
x b 2 sin x 型
b 1 cos x b 2 sin x
2 2 (1) 当 D (cos a ) sin 0时
令 y x B 1 cos x B 2 sin x ( B 1 , B 2 为待定系数 )，
( a 0 为常数， f x 0 )
注：1 为 2 所对应的一阶常系数齐
次线性差分方程
.
一 . 一阶常系数齐次线性差分方程的求解
1 .迭代法
y x 1 ay
x
0 ( a 0 为常数 )
1
设 y 0 为已知，由方程（
1）依次可得，
y 1 ay 0
由于 a 1或 a 1，故得方程的通解为
y x A x ( b 1 cos 2 k x b 2 sin 2 k x ) 或 y x A ( 1 ) b 1 cos( 2 k 1 ) x b 2 sin( 2 k 1 ) x
t
例 8 y x 1 4 y x sin 3 x 的特解形式为

代入原方程得到
B 1 (cos a ) B 2 sin b 1
B 1 sin B 2 (cos a ) b 2
解方程组得 B 1
B2
1 D 1
D
b1 (cos
b 2 (cos
a ) b 2 sin
a ) b 1 sin
yx
7 3

5
3 4
x


37 12
3 4 .
故方程的特解
37 12
例 5 求差分方程 y x 1 y x x 3 x 2 x 的通解 .
3 2
解 1 是特征方程的根，
这类方程可用另一种较 简单的方式求解 .
方程左边为 y x，右边为
x 3x 2x x x 3x 2
类型 1
设y x z x
x
代入方程得

x 1
z x1 a
x
x
zx
x
pn x
消去 x ，即得 z x 1 az
pn x
类型 1
于是y x z x .
x


例 6 求 差 分 方 程 y x1 y x 2 的 通 解 ．
所求通解为 y x A 5

2
x
1 26
sin

2
x
三、小结
1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解
（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）写出通解. 2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解
f ( x ) p n x 型
f (x)
x
p n x 型
练习题
通解为 y x Aa
x
B 1 cos x B 2 sin x
(2) 当 D 0 时，令 y x ( B 1 cos x B 2 sin x ) x
代入原方程得
[(cos [(cos
a ) B 1 B 2 sin ] x ( B 1 cos B 2 sin ) cos x a ) B 2 B 1 sin ] x ( B 2 cos B 1 sin ) sin x
解
特征方程
特征根
1 Yx C . 2
x
1 2
差分方程的通解为
例 2 求 3 y x y x 1 0 满足 y 0 2的特解 .
解 原方程可改写为
特征方程为
3 y x 1 y x 0
3 1 0
1 3
特征根
差分方程的通解为


差分方程的通解由两项
即差分方程（ 2）的通解为 y x Y x y x .
下面讨论特解
y x的求法 :

当右端 f x 是某些特殊形式的函数 采用待定系数法求其特

时，
解 y x 较为方便 .
y x 与 f ( x )的形式 程 , 求出待定系数

待定系数法
假定待定的特解
相同 .然后将它们代入差分方 即可求出特解．
例 4 求 差 分 方 程 y x 1 5 y x 3 , y 0
7 3
x
的特解．
解 对应齐次方程通解
1不是特征方程的根，
Yx C 5

设 y x A，
3 4
C 5 ,
x
代入方程, 得
方程的通解为
A
yx 3 4
，
将 y0
7 3
代入，则 C

2
x 的通解．
x
解
对应齐次方程的通解
又设 y
x
yx A 5

2
B 1 cos

2
x B 2 sin
x , 且 D 0,
代入原方程为
5 B1 B 2 1 B1 5 B 2 0
5 26
x
解 之 得 到 B1
, B2
5 26
1 26
cos
x
可以看出 y x的形式一定为某一指数
函数 .
设 y x ( 0 )，代入（ 1）得
x

x 1
a 0
x
即 a 0
特征方程
＝ a
x
特征根
于是 y x a 是（ 1）的一个解， 从而 y x Ca 是（ 1）的通解 .
x
用特征根法求例
1 的通解 .
2 1 0
1 Yx C ； 3
x
x
代入 y 0 2，得 C 2
所求差分方程的特解为 1 Y x 2 . 3
二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 2 y x 1 ay x f ( x )
( a 0 为常数， f x 0 )
一阶常系数非齐次线性 的和组成： 一项是该方程的一个特 另一项是对应的齐次差 解yx ， 分方程的通解 Yx .
1、
f ( x ) p n x 型
x
方程 2 为 y x 1 ay
pn x
即 y x 1 a y x p n x
设 y x 是它的解，代入上式得
y x 1 a y x


pn x
由于 p n x 是多项式，因此
x
解
特征方程
特征根
1 0，
1， x Y x C 1 对应齐次方程通解
设 y x 2 z x，原方程化为
x
2 z x 1 z x 1
于是 y x

求得其特解为
zx

1 3
，
1 3
2 ，
x
所求通解为
yx
1 3
2 C 1 .
第七节一阶常系数线性差分方程
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解
二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
三、小结
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
y x 1 ay
x
0 ( a 0 为常数 )
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x 1 ay
x
f (x)
2
A . B cos 3 x C . B sin 3 x
解
显然，只能取 (cos 3 1 ) 故取 B .
B . B 1 sin 3 x B 2 cos 3 x D . x ( B 1 cos 3 x B 2 cos 3 x )
B 或 D , 但是
2
sin
2
3 0,
例 9 求 差 分 方 程 y x 1 5 y x cos
y 2 ay 1 a y 0
2
y 3 ay 2 a y 0
3

y x ay
容易验证，
x 1
x
a y0
x
y x a y 0 满足差分方程，令 方程（ 1）的
y 0 C 为任意常数，于是差分 通解为 Y x Ca
x
.
例 1 求 2 y x 1 y x 0的通解 .
x
1 3
5 ;
x
A( 1)
, yx 2 5 x
2
2

x
5 3
( 1) ;
x
(4) y x yx 36
A(4) ; (4)
x
x
2
161 125
.
125
1、求下列差分方程的通
x
解及特解．
(1 ) 3 y x 3 y x 1 x 3 1 , ( 2 ) y x 1 5 y x 3( y0
x
7 3
),
( 3 ) y x 1 y x 2 ( y 0 2 ), ( 4 ) y x 1 4 y x 2 x x 1( y 0 1 )
特征方程 2 0， 特征根
2， x Yx C 2 对应齐次方程通解
1不是特征方程的根，
设 y x Ax Bx C，
2
代入方程, 得 A 3， B 6， C 9
于是 y x 3 x 6 x 9
2
x 2 原方程通解为 y x C 2 3 x 6 x 9 .