成像的基本概念

n n (nn)
P2 P2
r
n n´
h
-h -2R
此时，光线自右向左进行，球面右方是
物空间，折射率为 n´：左方是像空间，折
射率为 n ，公式中 n´与 n互易。 将 P2,rR 代入折射公式得
P2 2R
即最后所成的像在球面顶点左方2R处， 与物体的位置重合，由图可见是倒立的。
五、单球面成像放大率
束会聚于背面的顶点上，此透明体的折射 率为多少？
解： 由球面折射成像可知
当P时,像方焦距为
n
n´
f´
fn n r nn
n f n f r
f2r,n1 代入上式得
nfn 2r n2n2 fr 2rr
例题：一玻璃半球的曲率半径为R，折射 率为1.5，其平面的一边镀银。一物高为h， 放在曲面顶点前2R处。求： （1）由曲面所成的第一个像的位置 （2）这一光学系统所成的最后的像在哪里？
n = -n´
i
-i´
-μ
-μ´
Q
C
Q´
O
-r
-P´
-P
将 n´= － n 代入球面折射公式即可得到
球面反射公式。
n´= － n 球面反射公式
n n(nn) P P r
n n 2n P P r
1 12 P P r
nn2n rr
焦距 f 和 f´重合
高斯公式
ff n 1r 2
1 11 P P f
例题：若空气中一球形透明体将平行光
n n nf nf
P P
高斯公式
f f 1 P P
M n
FO
Q -x
-f
-P
n´
r
f´
C F´ x´ Q´
P´
(x)(f)PxPf xPf
代入高斯公式
f f 1 P P
f f 1 x f x f
牛顿公式
xx ff
四、单球面反射成像
反射定律是折射定律的一个特例 （n2= － n1 ）
C
FP
P´
解：（1）高斯法：
f fr 6cm P4cm
2
1 1 1 P P f
1 21 P r P
P12cm
横向放大率： h Pn
h Pn
nn
3
C
FP
P´
（2）牛顿法： x2 c,m ff 6 cm
xx ff x ff 18cm
x
像点在像方焦点18厘米处，即在球面顶点右方12厘米处
x f 183cm
n n´
h
-h
-2R
解：
（1）球面折射公式
n n (nn)
P1 P1
r
其中 n 1 ,n 1 .5 ,P 1 2 R ,r R得 P1
P1 即入射光线经球面折射后，成 为平行光线。
n n´
h
-h -2R
（2）平行光线照在反射镜上，仍以平行 光线反射，镜面反射的光线，再次经过球 面折射，此时仍用球面折射公式
n1 n
u P
u P
h Pn
h Pn
拉格朗日—亥姆霍兹恒等式
hnhn
表示在近轴区域球面折射成像时，物、像
各共轭量之间的制约关系。
平面折射成像公式： P P n n
r
平面反射成像公式： PP
例题：一物体在曲率半径12厘米的凹透 镜的顶点左方4厘米处，求像的位置及横向 放大率，并作出光路图。
f x 6
例题：一直径为4厘米的长玻璃棒，折射 率为1.5，其一端磨成曲率半径为2厘米的半 球形。长为0.1厘米的物垂直置于棒轴上离棒 的凸面顶点8厘米处。求像的位置及大小，并 作光路图。
n n´
SF
F´
S´
解: 已知 n 1 ,n 1 .5 ,r 2 ,P 8 cm
当P时,像方焦距为
fn n r1 .526 cm n n 0 .5
L Q Q M n ( P )1 [d ( r P 2 P ) ] n P [ 1 d ( r P 2 P ) ]
L Q Q M n ( P )1 [d ( r P 2 P ) ] n P [ 1 d ( r P 2 P ) ]
L Q Q O n Q n O O Q n ( P ) n P
垂轴放大率
h
h
h tan i P
h tani P
h Ptani h Ptani
sin i n sin i n
tani sini n tani sini n
h Pn
h Pn
垂轴放大率（横向放大率）决定于像距与 物距。物平面和像平面上的各点放大率相同。
当β＞0时，物与像在主光轴的同一侧，为 正立的像，物与像一虚一实。
二、何光学成像的近轴条件 （1）几何学要求
中央光线和边缘光线的夹角 sin ta n
（2）波动学要求
由物点发出的光波经光学系统到达像 点时，各光线间的最大程差不超过光波波 长的1/4。
改善像质，就要限制非近轴光线进入 光学系统。或采用加工极为复杂的非球面 系统。
在近轴条件下，一个确定的光学系统 物像之间具有一一对应的变换关系。 物像共轭：把物放在像的位置，则其像就 成在物原来的位置上。
简化后得：
n n(nn) P P r
单球面成像公式表示在近轴条件下像距
与入射光线的倾角无关，所有不同入射角的
光线经球面折射后都会聚到像点上。
光焦度(optical power)是由折射球面的曲
率半径和它两边介质的折射率所决定的常量
表示该球面的聚光本领。
n n r
单位 m-1
三、单球面的焦点、焦距与焦平面
当P时,物方焦距为
fnn r12 4cm nn 0.5
由
f P
f P
1
得
P fP 6(8) 1c2m Pf (8)(4)
因 P´是正的,故所成的像为实像,它在
棒内离顶点12厘米处。
横向放大率： h Pn
h Pn
h hn P 0 .1 112 0 .1 cm n P 1 .5 8
（4）像距：自参考点（球面顶点、薄透镜 的光心、组合透镜主点）到像点，沿光轴方 向为正，反之为负。
（5）物高和像高：物高和像高垂直于光轴， 向上为正，反之为负。
（6）角度：以光轴或界面法线为始边，旋 转到该光线，旋转方向为顺时针，角度为 正，反之为负。
（7）折射率：沿光轴方向传播的光线，对 应的折射率都为正，反之为负。
当β＜0时，物与像在主光轴的两侧，为 倒立的像，实物成实像，虚物成虚像。
当|β|＞1时，系统成一放大的像。 当|β|＜1时，系统成一缩小的像。
角放大率为一对共轭光线与主光轴夹角的比值
角放大率表示折射面改变同心光束张角 大小的能力。在近轴条件下，
h
P
h P
u P
u P
角放大率与垂轴放大率的关系：
§1-3 傍轴条件下单球面折射成像
一、基本概念和符号规则 光轴（optical axis）：若光学系统由球面
组成，它们的球心位于同一直线上，则称为共 轴球面系统，这条直线为该光学系统的光轴。 实际上，光学系统的光轴是系统的对称轴。
近轴光线（paraxial rays）：近轴光线限 制了光线与光轴的夹角，光线在折射面上 的 入射角、折射角等都很小。所有角度小于5° 正切、正弦都可用该角度的弧度值代替。
M
n
n´
h
d
r
Q
OD
C
Q´
-P
P´
符号规则（sign conventions）：
（1）线段：光轴方向上，以顶点为起点， 沿光线进行方向为正，反之为负；垂直方向 上，主光轴上方为正，反之为负。
（2）球面的曲率半径：球心在球面顶点的 右方为正，反之为负。(自左向右为正方向）
（3）物距：自参考点（球面顶点、薄透镜 的光心、组合透镜主点）到物点，沿光轴方 向为正，反之为负。
物方主焦点或第一主焦点 （focus） F；
物方焦平面（focal plane）
物方焦距（focal length） f
像方主焦点或第二主焦点 F´ 像方焦平面´ 像方焦距 f´
由折射公式可知：
n n(nn) n n
P P r
r
当P 时, P f n ;
当P 时, P f n ;
§1-2 成像的基本概念
一、像 物点发出的球面波经光学系统后形成
的新球面波的球心称为该物点的像。
物像的各种虚实关系
实像：会聚球面波球心是实际光线的会聚 点，能用屏幕接收到。 虚像：发散球面波球心是实际光线的反向 延长线的交点，不能用屏幕接收到。 实物：物点发出的是发散的球面波 虚物：物点发出的是会聚的球面波 光学系统：光学元件以及元件间的间隔作为 一个整体。各光学元件的对称轴为主光轴
二、单球面折射成像
M
n
n´
h
d
r
Q
OD
C
Q´
-P
P´
根据费马原理光程 LQMQ´=光程 LQOQ´，
即光程取稳定值。
L QQ M nQ M nM Q L QQ O nQ O nO Q n(P )nP
M
n
n´
h
d
r
Q
OD
C
Q´
-P
P´
由△MDC可得：
h 2 r 2 ( r d ) 2 r 2 ( r 2 d 2 2 r) d 2 r d d 2
由△QMD可得：
QM (Pd)2h2 P2d22Pdh2 P2d22Pd2rdd2 P22d(rP)
M
n
n´
h
d
r
Q
OD
C
Q´
-P
P´
QM P22d(rP)
在近轴条件下：d << P，d << r，上式展开
QM(P)1[d(rP2P)d2(2rP4P)2 ] QM(P)1[d(rP2P)d2(2rP4P)2 ]