偏导数与全微分PPT课件

f x
zx
或 fx (x, y)
z y
f y
zy
或 f y (x, y)
③ z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是偏导函数在
(x0,y0)处的函数值。
④ 在不至混淆时常称偏导函数偏导数。
4．偏导数的计算法
对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自 变量视为常数，按一元函数求导法则计算：
求 z时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；
⑵
xy
f
(
x,
y)
x2
y2
0
(x, y) (0, 0) (x, y) (0, 0)
解（1）：
zx
f (u) u x
f (u) y
y
f (xy)
zy
f (u) u y
f (u) x
x
f (xy)
解（2）：当 (x, y) (0, 0) 时
fx
xy x2 y2
x
y(x2 y2 ) xy(2x) (x2 y2)2
解：
z y x y1 x
z x y ln x y
x z 1 z x y x y1 1 x y ln x
y x ln x y y
ln x
2 x y 2z
⑷ 求 r x2 y2 z2 的偏导数(三元函数)
解： r
1
2x
x
x 2 x2 y2 z2
x2 y2 z2
r
z
z =f(x,y0)
M′
o x0
X
M S
y0
y
P0 D
●一般地，当y不变时，z=f(x,y)是x的一元函数， 研究这个一元函数的变化率 ， 就是研究二元函数 z=f(x,y）沿x轴方向的变化率。 ●对于x不变时，情形类似。
③ 二元函数z=f(x,y)当y不变(x不变)时， 对于x(对于y)的变化率，就是二元函数 的偏导数。
z M
o y
P
x
D
② 一元函数变化率问题是研究二元函数变 化率问题的基础
●对于曲面z=f(x,y)，当我们用过点(0,y0 ,0)而平 行于xoz面(垂直于y轴)的平面去截时，截口是一条曲 线 z=f(x,y0),它在xoz面上的投影是z对于x的一元函 数的图象，研究这条曲线的变化率就是研究二元函数 z=f(x,y)当y=y0时沿x轴方向的变化率。
y(y2 x2) (x2 y2)2
fy
xy x2 y2
y
x(x2 y2) (x2 y2 )2
当 (x, y) (0, 0) 时
fx (0, 0)
lim
x0
f
(0 x, 0) x
f
(0, 0)
lim 0 0 x0 x
0
f (0, 0 y) f (0, 0)
00
f
y
(0,
0)
2．偏导数定义
设二元函数z=f(x,y)在∪(P0(x0,y0))有定义， 当y=y0不变时，x在x0取得增量x，相应地函数有 增量f(x0+x,y0)-f(x0,y0)， 若
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) A
x0
x
存在，则称A为z=f(x,y)在点(x0,y0)处对于x的偏导数
记为
z x xx0
y y0
f x xx0
y y0
zx xx0 y y0
fx(x0 , y0 )
如
f
x(
x0
,
y0
)ຫໍສະໝຸດ Baidu
lim
x0
f (x0 x, y0 ) x
f (x0 , y0 )
类似地，z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏 导数定义为
lim f (x0 , y0 y) f (x0, y0 ) B
② z=f(x,y)在点 (x0,y0)处沿其它方向的变化率 称为方向导数，将在后面讨论；
③ 二元以上的多元函数的偏导数，类似二元函数 情形。
3．偏导函数概念
① 偏导函数：当z=f(x,y)在域内每一点(x,y)处对 x
（ y ）的偏导数都存在，则它就是x,y的函数，称 为偏导函数。
② 记号： z x
y
y x2 y2 z2
r
z
z x2 y2 z2
5. 偏导数的几何意义
z
z=f(x,y0)
M0
Ty
Tx
z=f(x0,y)
o
y0
y
x0
P0
x
—— z
x xx0 y y0
切线M0Tx对x轴的斜率
—— z
y xx0 y y0
切线M0Ty对y轴的斜率
例2 求二元函数的偏导数
⑴ z f (xy)
y 0
y
记为 z
y xx0 y y0
f y xx0
y y0
z y xx0 y y0
f y (x0 , y0 )
f y (x0 , y0 )
lim
y 0
f
(x0 , y0
y) y
f
(x0 ,
y0 )
[注记]：
① 偏导数fx(x0,y0 ),fy(x0,y0)分别描述z=f(x,y) 在点 (x0,y0)处沿 x方向，y方向的变化率；
y2
⑵ 求 z x2 sin 2 y 的偏导数
解： zx (x2 )sin 2 y 2x sin 2 y zy x2 (sin 2y) x2 cos 2 y (2 y) 2x2 cos 2 y
⑶ 设 z x y (x 0 , x 1)，求证 x z 1 z 2z y x ln x y
记号：
z x x
2z x2
fxx (x, y)
f11(x, y)
y
z x
lim
y 0
y
lim 0 x0 y
6.高阶偏导数
二阶偏导数：
设 z f (x, y)为D上的二元函数 ，则其在
D上的偏导数为
z
x
fx (x, y) z z
z y
f y (x, y)
若二元函数
, x y
的偏导数也存在，
则称其是函数 z f (x, y)的二阶偏导数。
z=f(x,y)的二阶偏导数
x
求 yz时，只要把x暂时看作常量而对y求导数。
例1
⑴ 求 z x2 3xy y2 在点（1，2）处的偏导数 解： fx (x, y) 2x 3y
f y (x, y) 3x 2 y
fx (1, 2) (2x 3y) x1 8
y2
fx (1, 2) (3x 2 y) x1 7
§7.2
偏导数与全微分
一．偏导数
1. 一元函数变化率与多元函数变化率 ① 一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率，
即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率（变 化快慢）
y
P
o
x
x
● 二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率﹑随 y变化的变化率﹑随x﹑y同时变化的变化率。
即点M(x,y)在域D内可沿x轴﹑沿y轴﹑沿其它直线 方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元 函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化， 比一元函数时复杂得多。