数理经济学 2 赋范线性空间与凸集

第2章赋范线性空间与凸集

2.1 赋范线性空间

2.2 凸集

2.3 一些重要例子

2.4 保持凸性的运算

2.5 分离超平面和支撑超平面

1

2.1 赋范线性空间

2.1.1 赋范线性空间

2.1.2 开集和闭集

2.1.3 上确界和下确界2.1.4 序列收敛和完备性2.1.5 紧性

2.1.6 Banach 空间

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2.1.1 赋范线性空间

● 线性空间(linear space)/向量空间(vector space)

⏹ 指定义加法和标量乘法的非空集合X

➢ 加法(addition)⇔∀,X ∈x y ，X +∈x y

➢ 标量乘法 ⇔∀X ∈x ，α∈，X α∈x

⏹ ,,X ∀∈x y z ，,αβ∈

，满足：

1. +=+x y y x (交换律)

2. ()()++=++x y z x y z (结合律)

3. ()ααα+=+x y x y

4. ()a αββ+=+x x x

5. ()()αβαβ=x x (结合律)

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6．X ∃∈0，+=x 0x

7．对X ∀∈x ，X ∃∈y ，+=x y 0

8．1=x x

● 线性空间在加法和标量乘法下是闭的(closed)。 ● 线性空间的元素称为向量(vector)。

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例2.1 一些线性空间

• N 维实向量空间或N 维欧氏空间：所有N 维实向量的集

合N

• 所有实数序列的集合{}12,,...,,

n x x x ，n x ∀

∈ • 所有多项式2012N N x a a t a t a t =++++的集合。

●消费集(例1.1)和生产可能性集(例1.2)本身不是线

性空间。

●但它们都是线性空间N的子集，并且都从其母空

间中继续了许多线性特征。

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例2.2 (总需求和总供给)

● M 个消费者，每个消费者m 购买消费组合m x

● 总需求(aggregate demand )M x

⏹ 其中对每种商品n ，对它的总需求1M n n n x x x =++ ⏹ 其中m n x 是消费者m 对商品n 的需求。

● K 个厂商，每个厂商k 的净产出向量为k y

● 总供给(aggregate suppley )1K =++y y y

● 均衡要求总需求等于总供给，即=x y

⏹ 意味着:1

1M K n n n n x x y y +

+=++或者:n n =x y

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● 范数(norm)

⏹ 实值函数:X →称为范数⇔,X ∀∈x y ，α∈，

满足：

1. 非负性(positivity)：0≥x

2. 严格非负性(strict positivity)：0=⇔=x x 0

3. 齐次性(homogeneity)：||αα=x x

4. 三角不等式(triangle inequality)：+≤+x y x y ⏹ 范数用来衡量向量的大小，符号

表明范数是实数集

上绝对值的推广。

●度量(metric)(,)

x y x y

d=-

⏹符合距离函数的要求

⏹即对,,X

x y z，满足：

∀∈

1.非负性(positivity)：(,)0

x y

d≥

2.严格非负性(strict positivity)：(,)0

x y x y

d=⇔=

3.对称性(symmetry)：(,)(,)

x y y x

=

d d

4.三角不等式(triangle inequality)：

x z x y y z

≤+

(,)(,)(,)

d d d

●集合X加上其度量d称为度量空间(metric space)，

表示为(,)

X d。

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10 例2.3 范数的一些例子 ● 上的绝对值

● 欧几里德（Euclidean ）或2l -范数

()()1/21/22212T n x x ==+

+x x x Cauchy-Schwarz 不等式：,N ∈

x y ，22T ≤x y x y 。

● 绝对值之和或1l -范数 11N

n n x ==∑x

● Chebyshev 范数或l ∞范数

{}1max N

n n x ∞==x

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● 上述三个范数都属于p l -范数

1/1p

N p n p

n x =⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑x

的特例，其中1p ≥。

⏹ 11p l =⇒-范数；2p =⇒欧几里德范数

● {}1,lim max N

N

n p

n p x =→∞

∀∈=x x

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例2.4生产计划()1,,N y y =

y 的“大小 ” 的测量

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2

max N

n

n n

n

y y =∞

==

=∑y y y