SEU-数理统计-ch8~8.1-8.2

H 0成立时，U
X
0
n ~ N (0,1)
对给定水平，P( X 0
n u )
拒绝域为S1
{( x1, x2 ,..., xn ) |
x 0
n u }
第17页
注：对于单边假设检验 : ≤ ，拒绝域与上相同！
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第八章 假设检验
第18页
例8.2.2：X1,..., X16是来自正态总体N(,100)的一组样本，
第八章 假设检验
第1页
第八章 假设检验
§8.1 假设检验的基本概念 §8.2 单个正态总体参数的假设检验
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第八章 假设检验
第2页
§8.1 基本概念
一、原理:
例、甲乙两种名酒各4杯，从中任取4杯，若取 出的都是甲种酒称试验成功（A）， 求：1.试验一次成功的概率；
2.某人称能区分这两种酒，让他做了10次 试验，结果成功了3次，试判断此人是否真的 有区分这两种酒的能力。
H0真时统计量的分布 拒绝H0的区域 已 知
U X 0 n
~ N(0,1)
| U | u / 2 U u U u
未知
T X 0 n
S
~ t(n 1)
| T | t /2(n 1) T t (n 1) T t (n 1)
第八章 假设检验
第22页
四. 方差 2的检验 2检验法
第八章 假设检验
第15页
§8.2 单个正态总体参数的检验
设总体X ~ N (, 2 ), X1, X 2 ,, X n是来自X的样本,
均值和方差分别为X和S 2. 一. 已知2, 检验: 双边检验 —U检验法
(1) H 0 : 0 , H1 : 0 ,
(2)
H 0成立时，U
X
0
n ~ N (0,1)
X 0.5
P(|
9 | u0.025 | H0 ) 0.05
0.015
X 0.5
S1 {( x1,..., x9 ) |
9 | u0.025 1.96}时拒绝 X 0.511
0.015
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第八章 假设检验
二. 已知2, 检验: 单边检验—U检验法
H0 : 0, H1 : 0,
5
16
2 25 1
(2) Xi 10 | X | 1.96
i 1
5 58 4
所以接受H0.
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第八章 假设检验
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三. 未知2, 检验: —t检验法
(1) H0 : 0, H1 : 0.
(2) H 0成立时，T X 0 n ~ t(n 1)
Sn
(3) 对给定水平，P(| X 0 n | t / 2 (n 1))
.
称给定的 (0< <1)为显著性水平。
其二是 不真（即 为真），但样本观测值落在 接受域中，从而接受原假设 ，这种错误称为第 二类错误，其发生的概率称为犯第二类错误的概 率,或称受伪概率，通常记为 。
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第八章 假设检验
观测数据情况
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总体情况
为真
为真
( , ⋯ , ) ∈ 犯第一类错误
Sn
(4) 拒绝域为S1 {( x1, x2 ,..., xn ) | | x 0 n | t / 2 (n 1)}
Sn
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第八章 假设检验
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课堂练习：设总体 X 服从正态分布 N (, 2 ), 其中
( X1,, X 25 )是一组样本，其观察值x 8.3,s2 4.52.
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第八章 假设检验
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假设检验所采用的方法类似与高数中的反 证法: 先假设某个结论成立, 然后在这个结 论成立的条件下进行推导和运算, 如果得到 矛盾, 则推翻原来的假设, 结论不成立。
这里的矛盾是与实际推断原理的矛盾, 即如果“小概率事件在一次试验中发生了”, 则认为原假设不成立。 因此, 假设检验是一 种带有概率性质的反证法.
x g( ) P ( S), 0 1
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第八章 假设检验
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势函数 ( ) 是定义在参数空间 上的一个函数。
犯两类错误的概率都是参数 的函数，并可由势函
数算得，即：
( ), g( )
0
1 ( ),
1
当 减小时，必导致的增大；
当 减小时，必导致 的增大；
H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
,
02是已知常数.
H0
成立时， 2
(n 1)Sn2
2
~
2 (n 1)
对给定水平，
P(
(n
1)S
2 n
2
2 /2
(n
1)或
(n
1)S
2 n
2
2 1
/2
(n
1))
拒绝域为S1 (x1, x2 ,..., xn ) |
(n 1)Sn2
2
2 /2
(n
1)
或 (n 1)Sn2
分别在显著水平 0.1和0.05下， 检验H0 : 10 H1 : 10
备注：t0.05 (24) 1.7139, t0.025 (24) 2.0639
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H0
H1
0
0 0 0
0 0 0
0
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2
2 1
/
2
(n
1)
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第八章 假设检验
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课堂练习：设总体X服从正态分布N(, 2 ), (x1,x2 ,
...,x25 )是一组样本观察值，样本均值x 5.12, 样本 方差为s2 23.476.
1.求的0.95置信区间
2.在显著水平 0.1下，检验假设： H0 : 2 52 H1 : 2 52
则称该检验是显著性水平为 的显著性检验，简称 水平为 的检验。
四、给出拒绝域
确定显著性水平后，可以定出检验的拒绝域S。
五、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值可以做 出判断。
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第八章 假设检验
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总结
1)
根据实际问题提出原假
设H 0及对立假设
H
；
1
2) 选择一个适当的统计量 ,在H 0成立的条件下
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H0真时统计量的分布 拒绝H0的区域 已 知
2
1
2 0
n
(Xi )2
i1
~ 2(n)
2
2 1
/
2
,
2
2 /2
2 2 (n)
2
2 1
(n)
未 知
2 (n 1)S2 02
n ( Xi X )2 ~ 2(n 1)
i1
0
2
2 1
/
2
,
2
2 /2
2 2 (n 1)
也即在原假设 成立的条件下，拒绝 的样 本观测值所组成的区域 S 称为拒绝域！
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第八章 假设检验
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三、选择显著性水平
检验可能犯以下两类错误：
其一是 为真，但样本观测值落在拒绝域中，从 而拒绝原假设 ，这种错误称为第一类错误，其 发生的概率称为犯第一类错误的概率，或称拒真 概率，通常记为 。
H0 称为原假设（零假设）, H1 称为对立假设（备选假设）.
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第八章 假设检验
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二、选择检验统计量，给出拒绝域形式
由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量 完成的，该统计量称为检验统计量。在 成立的情 况下，决定该统计量的分布；使原假设被拒绝的样
本观测值所在区域称为拒绝域，一般用S x表示.
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第八章 假设检验
百度文库
第5页
假设检验的基本步骤
一、建立假设
在假设检验中，常把一个被检验的假设 称为原假设，用 表示，通常将不应轻易加 以否定的假设作为原假设。当 被拒绝时而 接收的假设称为备择假设，用 表示，它们 常常成对出现。例如：如下参数假设检验，
H0 : 0;
H1 : 0.
问机器是否正常?
X 0.511 （取=0.05）
H 0 : 0.5; H1 : 0.5
X 0.5 若H 0成立，则 0.015 9 ~ N (0.1)
X 0.5
P(|
9 | u0.025 | H0 ) 0.05
0.015
X 0.5
S1 {( x1,..., x9 ) |
9 | u0.025 1.96}时拒绝
决定统计量的分布；
3) 对给定的显著性水平 (0 1), 根据
P(( X1, X 2 ,, X n ) S | H 0 ) 确定拒绝域S;
4) 一旦得到一组样本的观察值(x1, x2 ,, xn ),
若(
x1
,
x2
,,
xn
)
S，
则
拒
绝H
；
0
否
则
接
受H
。
0
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第八章 假设检验
说明：在样本量一定的条件下不可能找到一个使 和 都小的检验。英国统计学家 Neyman 和 Pearson 提出水平为 的显著性检验的概念。
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第八章 假设检验
第11页
定义8.1.2 对检验问题
H0 : 0
vs H1 : 1
如果一个检验满足对任意的 ∈ ，都有 ( ) ≤ ，
课堂练习：设总体X ~ N (0,52 ), ( X1,, X36 )是一组样本，
36
求P(
X
2 i
1180.3)
i 1
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第八章 假设检验
例8.2.3. 教材例8.2.6-8
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第八章 假设检验
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课堂练习：设总体X服从正态分布 N (,52 ), ( X 1,, X 100 ) 是来自总体的容量为100的简单随机样本, 对检验问题 :
H 0 : 10 H1 : 10
若已知在显著水平α下，拒绝H0:μ=10的区域为
100
S {( x1,, x100 ) | xi 1124}
i 1
求显著水平α
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第八章 假设检验
第26页
H0
H1
2
2 0
2＝
2 0
2
2 0
2
2 0
2
2 0
2＝
2 0
2
2 0
2
2 0
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第八章 假设检验
第4页
在数理统计中，把这种需要根据试验结 果（或样本数据）判断其是否成立的命题称 为假设。常称 为原假设（或零假设），而 把 称为对立假设（或备选假设）。
假设检验就是解决此类问题，在原假设 和对立假设 中选择一个，要么接受（拒绝 ）原假设，就拒绝（接受）对立假设，二者 必选其一。
第13页
例8.1.1： 某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装
糖重服从正态分布. 当机器正常时,其均值为0.5公斤,标
准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常,随
机地抽取它所包装的9袋,称得净重为(公斤) 0.497 0.506
0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512，
2
2 1
0.015
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第八章 假设检验
第14页
双边检验与单边检验
H 0 : 0 , H1 : 0拒绝域分布接受域的两侧,
这类假设检验称为双边假设检验.
形如H 0 : 0 , H1 : 0 ( 0 )的假设检验,
称为单边检验. 其拒绝域位于接受域一侧。
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正确
,⋯, ) ∈
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正确
犯第二类错误
第八章 假设检验
第9页
犯第一类错误的概率 和犯第二类错误的概率
可以用同一个函数表示，即所谓的势函数。势函数
是假设检验中最重要的概念之一，定义如下：
定义8.1.1 设参数检验问题
H : vs H :
0
0
1
1
的拒绝域为S，则样本观测值落在拒绝域内的概率 称为该检验的势函数，记为
准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常,随
机地抽取它所包装的9袋,称得净重为(公斤) 0.497 0.506
0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512，
问机器是否正常?
（取=0.05）
H 0 : 0.5; H1 : 0.5
X 0.5 若H 0成立，则 0.015 9 ~ N (0.1)
(3)
对给定水平，P(| X 0
n | u / 2 )
(4)
拒绝域为S1
{( x1, x2 ,...,
xn )
|
|
x
0
n | u / 2}
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第八章 假设检验
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例8.2.1： 某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装
糖重服从正态分布. 当机器正常时,其均值为0.5公斤,标
对给定 0.05, (1) 推导H0 : 0; H1 : 0的拒绝域；
16
(2)若 Xi 10，检验H0 : 0; H1 : 0
i 1
X
2
解：(1)H0下，U
100
16 X ~ N (0,1) 5
2
给定水平 0.05，P(| 5 X | u0.025) 0.05
2 拒绝域为S1 {( x1, x2,..., x25) | | X | u0.025 1.96}