次序统计量和分布

为最小顺序统计量(Minimum order Statistic)
称
X (n)
max
1in
Xi
（5-3-2）
为最大顺序统计量(Maximum order Statistic) 。
例5-3-1：设总体X的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均
匀分布，其分布列为
x0 1 2
p
1 3
1 3
1 3
现从中抽取容量为 3 的样本，其一切可能取值有
0)
19 27
7 27
不等于
P( x(1)
0, x(2)
0)
7 27
即 x(1) 和 x(2) 是不独立的。
次序统计量的分布
（一）单个次序统计量的分布
定理 5-3-1：设总体X的密度函数为 p (x) ，分布函数
为 F (x) ，x1, x2, …, xn 为样本，则第 k 个次序统计 量 x (k) 的密度函数为
§5.3 次序统计量及其分布
定义
定义 5-3-1: 设 X1, X 2 ,L , X n 为取自总体X的样本， 将其按大小顺序排序 X (1) X (2) L X (n)
则称 X(k) 为第 k 个次序统计量( No.k Order Statistic)
特别地，称
X (1)
min
1in
Xi
（5-3-1）
x(i) ( y, y y], x( j) (z, z z]
可以表述为“容量为 n 的样本 x1, x2, … , xn 中有 i-1 个观测值小于等于 y , 一个落入区间 ( y , y + y ] , j –i -1 个落入区间 ( y + y , z ] , 一个落入区间 ( z,
量 ξ (1) < ξ (2) 的联合分布密度函数为
pij ( y, z)
(i
1)!(
j
n! i 1)!(n
[F ( y)]i1[F (z) j)!
F ( y)] ji1
[1 F (z)]n j f ( y) f (z), a y z b
（5-3-6）
证明：对增量 y, z 以及 y < z , 事件
0
yx3
1
8 20 y(1 y)3 dy
120(z3 z4 )dz
0
7 8
5(1 (7)4 ) 4(1 (7)5) 0.1207
8
8
（二）多百度文库次序统计量的联合分布
仅讨论任意二个次序统计量的情形。
定理 5-3-2 ：设总体 ξ 有密度函数 f (x) , a ≤x ≤b ,
（同样可设 a = - ∞, b = +∞ ) 。并且 ξ1 , ξ2 , … , ξn 是 取自这一总体的一个样本，则其任意两个次序统计
(
x)
n!
[F (x)]k1 p(x)[1 F (x)]nk
(k 1)!(n k)!
推论1 ：最大次序统计量 x (n) 的概率密度函数为
pn (x) n [1 F (x)]n1 p(x) (5-3-4)
推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
p1(x) n [F (x)]n1 p(x)
33 27 种，现将它们以及由它们所构成的次序统
计量 X (1) , X (2) , X (3) 的一切可能值列在表中(P243)， 由此可给出 X (1) , X (2) , X (3) 的分布列如下：
X(1)
0
12
P 19/27 7/27 1/27
X(2)
0
1
2
P 7/27 13/27 7/27
z+z ] ,而余下的 n—j 个大于 z + z ”
i-1
1
j-i-1
y
y+y
于是由多项分布得
1
n-j
z
z+z
P(x(i) ( y, y y), x( j) (z, z z)) pij ( y, z)yz
n!
[F ( y)]i1 f ( y)y
(i 1)!1!( j i 1)!(n j)!
k-1
1
n-k
x
x+x
图 5—8 x (k) 的取值示意图
样本的每一分量小于等于 x 的概率为 F (x) , 落入区
间 ( x , x + x ] 概率为F(x+ x)-F(x),落入区间 (x+
x, b]的概率为 1-F(x+x) ，而将 n 个分量分成这
样的三组，总的分法有
n!
(k 1)!1!(n k)!
[F (z) F ( y y)] ji1 f (z)z[1 F (z z)]n j
考虑到 F (x) 的连续性，当 y 0, z 0 有 F ( y y) F ( y), F (z z) F (z)
pk
(x)
(k
n! 1)!(n
[F k)!
( x)]k 1[1
F (x)]nk p(x)
（5-3-3）
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值落 在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于“样本 容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间 (x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，有 n-k 个 观测值大于 x + x ”，其直观示意图见下图 5-8 .
(5-3-5)
例 5-3-2 :设总体X 的密度函数为
p(x) 3x2, 0 x 1
现从该总体中抽得一个容量为 5 的样本，试计算
P( x( 2)
1) 2
解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。由总体密度函数 不难求出总体分布函数为
0 ,
F
(x)
x3
,
1 ,
x 0; 0 x 1; x 1
X(3)
0
1
2
P 1/27 7/27 19/27
可见这三个次序统计量的分布是不相同的。
进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布， 如 x(1) 和 x(2) 的联合分布列为
x(2) x(1) 0
0 7/27
1 9/27
2 3/27
1
0
4/27
3/27
2
0
0
1/27
易于看出
P( x(1)
0)
P( x( 2)
由公式（5-3-3）可以得到 x (2) 的密度函数为
p2 (x)
(2
5! 1)!(5
[F 2)!
( x)]21
p( x)[1
F (x)]52
20 x3 3x2 (1 x3)3 60x5(1 x3)3 , 0 x 1
于是
P( x( 2)
1) 2
1
2 60x5 (1 x3)3 dx
种，于是，若以 Fk (x) 记 x (k) 的分布函数，则由多 项分布可得
Fk (x x) Fk (x)
n!
[F (x)]k1[F x x F (x)][1 F (x x)]nk
(k 1)!(n k)!
两边同除以 x , 并令 x→0 , 即有
pk
(
x)
lim
x0
Fk
(
x
x) x
Fk