多元实值函数及其极限

x → a , x∈A
lim ( lim f (x, y))或 lim ( lim
y →b , yபைடு நூலகம்B
y →b , y∈B x → a , x∈A
f ( x, y)) 存在为 f 在(a, b)处的二次极限 . 类似地, k . 1+ k 2
三元函数可有 3!个三次极限, n 元函数有 n!个 n 次极限. 它们统称为累次极限. △
y2 (椭球面), z = x 2 + y 2 − 1 (单叶双曲面), z = x 2 + y 2 + 1 (双叶双 4 y2 曲面),z = x 2 + y 2 (圆锥面), z =x2 + (椭圆抛物面). 4 要求能画出二元函数的定义域的草图. 例: z = 1 − x 2 + y 2 − 1 (D = {(x, y) | |x|≤1, |y| ≥1}); z = 1 − ( x 2 + y ) 2 ( D = {(x, y) | | x 2 + y |≤1} = {( x, y)| −1 − x 2 ≤ y ≤1 − x 2}); 4x − y 2 x2 + y2 − x z= ( D = {(x, y)| x > y , 0≤y≤2 x }); z = ( D = {(x, y)| x≤ 2x − x 2 − y 2 x− y
P ( x, y) =
P (a, b). 一般地, 若 lim f (x) = A, lim g (y) = B, 则
x→ a y →b
x+ y x2 − y2 △ 求极限 (1) lim 2 ; (2) lim xy . x → ∞ x − xy + y 2 ( x , y ) →( 0 , 0 ) x2 + y2 y →∞
设 n 元实值函数 w = f (x1 ,…, xn)在 a =(a1 , …, a n)的某邻域内有定义, 一元函数 g 由 g(x) = f (a1 , …, ai −1, x, ai +1 ,…, an)定义. 若导数 g' (ai )存在, 则称之为 f 在 a 处关于(第 i 个 变元)xi 的偏导数, 或 f 在 a 的第个偏导数, 记为 Di f (a)或 f xi (a)或 于是 Di f (a) = lim
x → a , x∈D x → a , x∈E
一满足 x n ≠a, x n →a 的点列{xn}, 数列{f (xn)}收敛于 A. [证第一个.] 特别地, 当 E 为 D 中曲线Γ 时相应的极限称为 f 沿曲线Γ 的极限; 当 E 为 D 中经过 a 或以 a 为端点且具方向 v (即长度为 1 的向量 v) 的直线或线段时相应的极限称为 f 沿方向 v 的 ( 方向 ) 极限 . 因此, 只要 沿某两 个 方向或 某两条曲 线的极限不等, 或 某方向极限不 存在, 重极限就不存在. 二次极限 设有二元函数 z = f (x, y), x∈A⊂R, y∈B ⊂ R, a, b 是 A, B 的聚点. 称
一. 多元实值函数及其极限 n 元实值函数 f : D (⊂ Rn )→R, n ≥2 时称为多元函数. 符号: x = (x1, …, x n)∈D, y = f (x) = f ( x1 , …, x n), 二元: z = f ( x, y), 三元: w = f (x, y, z). 偏映射. 二元函数的图像 Gr f = {(x, y, z)∈R3 | ( x, y)∈D, z = f (x, y)}. 例: z = 1 − x 2 − y 2 (球
x →0 y →0
sin xy sin x sin y sin xy y = 1×0 = 0. = 1×1 = 1. △ lim = lim x → 0 x → 0 xy xy x y →0 y →0
△ lim
x →0 y →0
x3 + y 3 | x | 3 + | y |3 = 0: |…|≤ ≤| x | + | y |, 或极坐标代换|…|≤ 2r . 2 2 x +y x2 + y2
解一 (1) | … | ≤
|x|+| y| 1 1 →0. (2) | … | ≤ | x || y |→0. = + | x || y | | x| | y|
解二 极坐标代换. (1) |…| ≤ 4/ r →0 (r →∞). (2) |…| ≤ r 2 / 4 →0 (r→0). 注 用极坐标代换时, 需 h (r)≤ f (r cos θ, r sin θ )≤g ( r)且 lim g (r) = lim h (r)时才能确 定极限. 否则不行, 如 y / x = tan θ . △ 用定义证明上题的结果. 证一 (用方邻域) 证二（用球邻域） △ lim
( x , y ) → ( 0, 0 )
△(p.99.2(9))
lim
x3 + y3 不存在: x= y 时→0, y = x3 − x2 时→1. x2 + y
x→ ∞ y →∞
△(p.100.7(2)) lim (x 2 + y 2 ) e – (x + y ) = lim
x →∞ y →∞
y 2 –x x 2 –y e + e = 0 + 0 = 0. 极坐标 lim x→ ∞ e y ex y →∞
面),z = 1 − x 2 − x2 + y2 < 2x}). 回顾一元函数极限的定义, 改为 f : D (⊂R)→R:
x → a , x∈D
lim f (x) = A∈R*⇔对 A 的任何
邻域 V 存在 a 的去心邻域 U 使 x∈U∩D 时 f (x)∈V. 为使 a 的去心邻域内总有 D 的点 x, 要 求 a 是 D 的聚点. 这个定义完全可移到 n 元函数 f : D (⊂Rn )→R 及 D 的聚点 a. 需要强调元 数时称为 n 重极限; D 为 f 的自然定义域时极限符号中省写"x∈D ". 对二元函数 z = f (x, y), (二重)极限 lim f (x, y) = lim f (x, y) = A∈R⇔∀ε >0 ∃δ
( x , y )→ ( a ,b ) x→a y →b
> 0 当 0 < | (x, y ) – (a, b )| (= ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 ) <δ ( 或: | x – a | < δ , | y – b | <δ 且(x, y)≠(a,b)) 时| f (x, y ) – A | <ε . 对三元函数…. 由于定义类似, 一元函数极限的性质都可移来, 例如 Hiene 定理 lim f (x) = A⇔∀E ⊂D (E 以 a 为聚点) lim f (x) = A⇔ 对 D 中任
*△ lim ( x 2 + y 2 ) x
x →0 y →0
2 y2
= lim (( x 2 + y 2 ) x
x →0 y →0 r4 sin 2 2θ 4
x2 y 2
2 + y2
) x 2 + y 2 = lim … lim… = 10 = 1.
2 r4 4
或极坐标代换 = ( r 2 )
. r < 1`时 1≥…≥ r
exp(− 1 ), x 2 + y 2 ≠ 0, △ f ( x, y) = 求 f x . ((x, y) ≠(0,0)时…, =(0,0)时= 0.) x2 + y2 2 2 0 , x + y = 0 , x2 − y2 , ( x, y ) ≠ (0,0), xy △ f ( x, y) = x 2 + y 2 求 f xy (0,0), f yx (0,0). 0 , ( x , y ) = ( 0 , 0 ), x 4 − y 4 + 4x 2 y 2 . ∵ f (y, x) = − f (x, y), 解 (x, y)≠(0,0) 时 fx (x, y) = y (x2 + y 2 )2 y 4 − x 4 + 4x 2 y 2 f ( x,0) − f (0,0) ∴ fy (x, y) = − f x (y, x) = −x . f x (0, 0) = lim = 0, 2 2 2 x → 0 (x + y ) x f (0, y ) − f (0,0) f x (0, y) − f x (0,0) − y−0 fy (0,0) = lim =0, f xy (0,0) = lim = = lim y →0 y →0 y →0 y y y f y ( x,0) − f y (0,0) x−0 −1, f yx (0,0) = lim = lim = 1. x →0 x → 0 x x | y| − xy x *△ f (x, y) = arcsin . f x (x, y) = 2 , fy (x, y) = = 2 2 2 x + y | y | ( x2 + y2 ) x +y − x sgn y (y≠0), fy (x, 0)不存在: y→0+时 f y (x, y)→−1/ x, y→0− 时 f y (x, y)→1/ x, 由导数 x2 + y2 f ( x, y ) − f ( x,0) 极限定理得证. (也可以用定义: fy (x, 0) = lim , 计算可得 y→0+时 y →0 y f ( x, y ) − f ( x,0) 1 1 →− , y→0− 时→ , 故 fy (x, 0)不存在.) y x x 2| y| x ( x 2 − y 2 ) sgn y 2 xy sgn y fxx (x, y) =− 2 , fxy (x, y) = = fyx (x, y), f yy ( x, y) = 2 . 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) (x + y2 )2 1, xy ≠ 0, △ f ( x, y) = fx (0,0) = fy (0,0) = 0, 而 f 在(0,0)不连续, 故偏导数存在且相 0, xy = 0.
( x, y )→( a ,b )
lim
f (x) g (y) =
( x, y )→( a ,b )
lim
f (x)
( x, y )→( a ,b )
lim
g ( y) = lim f (x) lim g (y) = AB.
x →a y →b
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→1(r→0).
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四. 多元实值函数的偏导数 △ z = xy, zx = y, zy = x, zxx = 0, zxy = 1, z yx = 1, zyy = 0. △ z = arctan
y y x , zx = − 2 , zy = 2 , x x + y2 x + y2 2 xy x2 − y 2 2 xy = zyx, zyy = − 2 zxx = 2 , zxy = − 2 . 2 2 (x + y ) (x + y2 )2 (x + y2 )2 ∂f (a) 或…(以 w 代 f ). ∂xi
xy , x + y2 x2 y △ f (x, y) = 4 , x + y2
f (x, y) =
2 ( x , y ) → ( a ,b )
( x, y )→ (0 ,0 )
lim lim
f (x, y) 不存在, 因为 y = kx 时极限为
( x , y )→ ( 0 ,0 )
f (x, y) 不存在, 因为 y = kx 时极限为 0, y = x 2 时极
h →0
f (a1 ,L , a i−1 , a i + h, a i +1 ,L , a n ) − f (a ) . h
对二元函数 z = f (x, y), …. 偏导数的实际意义. 若∀a∈E ⊂Rn Di f ( a)存在, 则可得到(第 i 个)偏导( 函)数, 记为…, 由(Di f )(a) = Di f (a) (a ∈E)定义. 若 Di f 在 a 的第 j 个偏导数存在, 则称之为 f 在 a 处关于(第 i, j 个变元)xi , xj 的二阶 ∂2 f ∂2 f (a).i≠j 偏导数,记为 Di j f (a), f xi x j (a), (a), 也可用 w 代 f . i = j 时后者常记为 ∂x i ∂x j ∂xi2 ∂2 f ∂ ∂f 时称为混合偏导数, 这时要注意符号中 i, j 的次序, Di j f = Dj (Di f), = ( ) ∂x i ∂x j ∂x j ∂xi (后一种符号的次序在文献中有歧义). 一般地, Di j f (a)≠Dj i f (a). △ u = e xyz, 求 u xyz . ( = e xyz (1 + 3xyz + x2 y 2 z2).)
限为 1/2. (本例表明, 所有方向极限存在且相等时重极限不一定存在.) △ lim x =a, lim y =b, lim x 2 y = a 2 b, P 是多项式时 lim
( x , y ) → ( a ,b ) ( x , y ) → ( a ,b )
( x , y )→ ( a ,b )
代换得 r 2 e
xy 1 △ lim ( 2 ) x 2 = 0 [0≤|…|≤ ( ) x 2 →0]. 2 x→ ∞ x + y 2 y →∞
2
π − 2r sin(θ + ) 4 ,
无法确定极限.
x 1 x 1 △ (p.100.7(4)) lim (1 + ) x + y = lim ((1 + ) x ) x + y = e 1 = e. x→ ∞ x →∞ x x y →0 y →0