高中数学课件第二章 数列 2.2.2.2

【解析】 由题意，a2＋ b＝b＝ a＋7， 8， 解得ab＝ ＝25， . 【答案】 2 5
5．成等差数列的四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求这四
个数． 【解】 设这四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得 a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26， a－da＋d＝40，
阶
段
阶
一
段
三
第 2 课时 等差数列的性质
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解等差中项的概念，并能利用等差中项判断一个数列是否为等差数列． (重点、难点) 2．掌握等差数列的有关性质，能运用等差数列的性质解题．(重点) 3．了解一次函数同等差数列通项公式间的关系．(重点)
[基础·初探]
教材整理 1 等差数列与一次函数
【自主解答】 (1)由等差数列的性质，得 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120， ∴a8＝24，又 2a9＝a8＋a10， ∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. (2)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9， ∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，① 又 a3a5a7＝－21， ∴a3a7＝－7.②
【自主解答】 由 x1＝3，得 2p＋q＝3，① 又 x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且 x1＋x5＝2x4 得， 3＋25p＋5q＝25p＋8q，② 由①②得，q＝1，p＝1.
在等差数列{an}中，由定义有 an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即 an＝ an＋1＋2 an－1，从而由等差中项的定义知，等差数列从第 2 项起的每一项都是它前一 项与后一项的等差中项．
(2)法一：设这四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为 2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即 a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1 或 d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以 d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
法二：若设这四个数为 a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为 d)， 依题意，2a＋3d＝2，且 a(a＋3d)＝－8， 把 a＝1－32d 代入 a(a＋3d)＝－8， 得1－32d1＋32d＝－8，即 1－94d2＝－8， 化简得 d2＝4，所以 d＝2 或－2. 又四个数成递增等差数列，所以 d>0，所以 d＝2， 故所求的四个数为－2,0,2,4.
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规律：当等 差数列{an}的项数 n 为奇数时，可设中间一项为 a，再用公差为 d 向两边分别设 项：…，a，－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为 a－d，a＋d，再以公差为 2d 向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a ＋3d，…，这样可减少计算量．
解决本类问题一般有两种方法： 一是运用等差数列{an}的性质：若 m＋n＝p＋q＝2w，则 am＋an＝ap＋aq＝ 2aw(m，n，p，q，w 都是正整数)； 二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法， 两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
[再练一题] 2．已知等差数列{an}，满足 a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66，求 a2，a3，a4.
则 d＝ann－－1a1＝ann－－mam，从而有 an＝am＋ (n－m)d
.
1．若{an}是等差数列，若 a2＝3，a8＝5，则公差 d＝________，an＝________.
【解析】 【答案】
∵d＝a88－－2a2＝5－6 3＝13，∴an＝a2＋(n－2)×13＝3＋n－3 2＝n＋3 7.
(3)若{an}，{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(4){an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔ {an}为常数列．
阅读教材 P41 第 11 题～第 16 题，完成下列问题．
1．等差中项
如果 a，A，b 这三个数成等差数列，那么 A＝
a＋b 2
.我们把
A＝a＋2 b
叫做
a 和 b 的等差中项．
2．等差数列的性质 (1)项的运算性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq. (2)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和， 即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
∴4aa2－＝d226＝，40.
解得ad＝ ＝13223，
法二：设首项为 a，公差为 d，这三个数分别为 a，a＋d，a＋2d，依题意，3a ＋3d＝6 且 a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以 a＝2－d，代入 a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 得 2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12， 即 d2＝16，于是 d＝±4， 故三个数为－2,2,6 或 6,2，－2.
[再练一题] 1．在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成等差数列，求此数 列.
【导学号：91730027】
【解】 (1)∵－1，a，b，c,7 成等差数列， ∴b 是－1 与 7 的等差中项， ∴b＝－12＋7＝3. 又 a 是－1 与 3 的等差中项， ∴a＝－12＋3＝1. 又 c 是 3 与 7 的等差中项，∴c＝3＋2 7＝5， ∴该数列为－1,1,3,5,7.
1．若数列{an}是等差数列，且 a5＝10，a9＝14，则 a7＝________. 【解析】 a7＝a5＋2 a9＝10＋2 14＝12，即 a7＝12. 【答案】 12 2．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 由 a7＋a9＝a4＋a12，得 a12＝a7＋a9－a4＝16－1＝15. 【答案】 15
【解】 ∵{an}为等差数列，∴2a3＝a2＋a4，∴3a3＝18， ∴a3＝6，设公差为 d，则(6－d)×6×(6＋d)＝66， ∴d2＝25，∴d＝±5， ∴aa42＝＝111， 或aa24＝＝111. ，
[探究共研型] 等差数列的设法与求解
探究 1 若三个数成等差数列，如何设这三个数使计算较为方便？ 【提示】 设等差中项为 a，公差为 d，则这三个数分别为 a－d，a，a＋d， 这样计算较为方便． 探究 2 若四个数成等差数列，如何设这四个数使计算较为方便？ 【提示】 设这四个数分别为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，计算较为方便．
1 n＋7 33
2．若点(1，an)，(2，an＋1)在直线 y＝x＋3 上，则 an＋1 与 an 的关系为________．
【解析】 由题意可知aann＋＝1＝1＋2＋3，3， ∴an＋1－an＝1, 即 an＋1＝an＋1. 【答案】 an＋1＝an＋1
教材整理 2 等差数列的性质
等差数列的性质及应用
(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求 2a9－a10 的值； (2)数列{an}为等差数列，已知 a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通 项公式； (3)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求 a75 的值．
【精彩点拨】 (1)利用等差中项求解； (2)利用 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq 求解； (3)利用 d＝amm－－ann求解．
[再练一题]
3．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为 18，平方和为 116，
求这三个数．
【解】 设这三个数为 a－d，a，a＋d，由已知，得
a－d＋a＋a＋d＝18，
①
a－d2＋a2＋a＋d2＝116， ②
由①得 a＝来自百度文库，代入②得 d＝±2.
∵该数列是递增的，∴d＝－2 舍去，
(1)三个数成等差数列，和为 6，积为－24，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2，首末两项的积为－8，求这四 个数． 【精彩点拨】 (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为 a－d，a，a＋d(d 为公差)； (2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为 a－3d，a－d，a＋d， a＋3d(公差为 2d)．
【导学号：91730028】 【解析】 根据等差中项的性质，得 a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝2a5＝37， ∴a2＋a4＋a6＋a8＝4a5＝74. 【答案】 74
4．在－1 和 8 之间插入两个数 a，b(a<b)，使这四个数成等差数列，则 a＝ ________，b＝________.
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
阅读教材 P39“例 3”及“思考”的有关内容，完成下列问题． 1．等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，当 d＝0 时，an 是关于 n 的常函数； 当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；点(n，an)分布在以 d 为斜率的直线上，是这 条直线上的一列孤立的点．
2．等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知 a1，d，am，an(m≠n)，
【自主解答】 (1)法一：设等差数列的等差中项为 a，公差为 d， 则这三个数分别为 a－d，a，a＋d. 依题意，3a＝6 且 a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以 a＝2，代入 a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得 d2＝16，于是 d＝±4， 故三个数为－2,2,6 或 6,2，－2.
由①②解得 a3＝－1，a7＝7 或 a3＝7，a7＝－1. ∴a3＝－1，d＝2，或 a3＝7，d＝－2. 由通项公式的变形公式 an＝a3＋(n－3)d， 得 an＝2n－7 或 an＝－2n＋13. (3)∵a60＝a15＋(60－15)d， ∴d＝6200－－185＝145， ∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×145＝24.
[小组合作型] 等差中项及其应用
已知数列{xn}的首项 x1＝3，通项 xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q 为常数)， 且 x1，x4，x5 成等差数列．求 p，q 的值．
【精彩点拨】 由 x1，x4，x5 成等差数列得出一个关于 p，q 的等式，结合 x1 ＝3 推出 2p＋q＝3，从而得 p，q.
∴这三个数为 4,6,8.
[构建·体系]
1．在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________． 【解析】 由等差中项的性质知 a3＝a1＋2 a5＝5，又 a4＝7，∴公差 d＝a4－a3 ＝7－5＝2. 【答案】 2
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为________． 【解析】 ∵a1＋a9＝2a5，∴a5＝5. 【答案】 5 3．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则 a2＋a4＋a6＋a8＝________.