正弦定理课件ppt
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2 s in A :s in B :s in C a :b :c .
剖析定理、加深理解
正弦定理： a b c
sinA sinB sinC
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
3、正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两边和其中一边的对角，求另一边
• 主要应用
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两 边和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出 三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、 二解、无解）
作业
1、P52习题2-1A组第7题； 2、在ABC中，已知b=14,A30, B120,解三角形。
正弦定理（第二课时）
12、、 复练习习回：顾在正弦A定B C理中的，内容 (1 ) A = 4 5 a， B b6 0 ， ca 1 0 , 求 b .
所以 S 1 (x2 y2 )(u2 v2 ) (xu yv)2 2
1 (xv yu)2 2
1 | xv yu | . 2
1、在 △ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A .asinA bsinB
B .ac o sA b c o sB
C .asinB bsinA
D .ac o sB b c o sA
s in As in Bs in C
当ABC为钝角三角形时, 如图: B B
a b
c
b b 2R, sin B sin B
同理 : a 2R, c 2R,
sin A
sin C
即得 : a b c 2R(R为外接圆半径). sin A sin B sin C
当△ABC为直角三角形时，容易得证.
a b c 2R. sinA sinB sinC
①
②
③
这个结论对于任意三角形(图②，图③)是否成立？
提示：成立，证明如下.
当△ABC为锐角三角形时，
如图: BB
b b 2R, sinB sinB 同 理 ：c 2R，a 2R,
sinC sinA
C a
b
O
B
c
A
B′
即 得 ： abc 2 R R 为 外 接 圆 半 径 .
sinA sinB sinC
( 2 )b 1 0 , c 5 6 , C 6 0 ， 求 A .
(3 ) a 2 3 , b 6 , A 3 0 ， 求 B . ( 4 ) a 4 , b 5 A 6 0 ， 求 B .
探究点2 正弦定理解三角形
问题1 由例2我们发现，已知两边和其中一边的对 角，解三角形时会出现两解的情况.还会出现其他 情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？ 提示：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理， 可能有两解、一解或无解.在△ABC中，已知a，b 和A时，解的情况如下：
知 b 2 ， B ， C ，则 ABC 的面积为（
6
4
B）
A. 2 3 2
B. 3 1
C. 2 3 2
D. 3 1
5.若A,B,C是△ABC的三个内角， 则sinA+sinB____>______sinC.
2
6.在△ABC 中，c=4,a=2,C= 4 5 ,则 sin A = __4 ____.
5、正弦定理的变形形式 6、正弦定理，可以用来判断三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角 关系的转化
1.1 正弦定理
3.定理的应用举例 例1 在 ABC已知 A300,B1350,a2,
解三角形.
变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
因为向量 A C 与B C 在y轴上的射影均为 O C ，
即 O C A C c o s ( A 9 0 ) b s in A ,
y
O C B C s in B a s in B , C
所以 asinB=bsinA .
即
a b.
sin A sin B
C′ O(A) B x
同理， a c .
例 2 已知a=16， b=16 3 ， A=30° .
解三角形。
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sinA sinB
C
得siB n bsiA n 16 3si3n 0 3 16 3 16
16
a
16 2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c32.
1.1 正弦定理
2.定理的推导
A
回忆一下直角三角形的边角关系?
c
b
acsinAbcsinB两等式间有联系吗？
Ba C
a b c sinA sinB
sinC1
a b c c sinA sinB sinC
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
1.1 正弦定理
(1)当ABC是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
分析：如图所示，将BD,CE分别延 长相交于一点A，在△ABC中，已 知BC的长及角B与C，可以通过正 弦定理求AB，AC的长.
A D
E
B C
解：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，
BC=2.57cm,B=45°,C=120°,
A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°.
AC
250
5
利用计算器算得角 C 有两个解
C1 121.95 , C2 58.05 .
当 C1 121.95 时
A 1 8 0 ( B C 1 ) 1 8 0 ( 4 5 1 2 1 . 9 5 ) 1 3 . 0 5 .
所以 BC1
AC1 sin sin B
A
250 sin 13.05 sin 45
解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该 市位于点B正西方向300 km处的点A. 假设经过th，台风中心到达点C，则在△ABC中, AB=300 km，AC=250 km,BC=40t km,B=45°.
由正弦定理 AC AB BC sin B sin C sin A
知 sin C AB sin B 300sin 45 3 2 0.8485.
的对角，进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边，求其他角和边
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
B=300
(2)在ABC中，已知A600,a4,b10 3,求B 3
无解
例3.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图 所示)，其一角已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm， CE=3.57cm，BD=4.38cm, B45,C120.为了复 原,请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）.
问题3 在 Rt△ABC 中，C 90 ,则△ABC 的面积S 1 ab .对于任意△ABC ，
2
已知a,b及 C，则△ABC 的面积S 1 absinC .
2
你能证明这一结论吗？
A
证明:
因为 S
ABC
1 2 aha,
b c
ha
而 h a A D c sin B b sin C , B
sin A sin C
所以
ab c. sinA sinB sinC
若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论.
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
a b c. sinA sinB sinC
变式:
1 ab; bc; ca.
s in As in B s in Bs in C s in Cs in A
1.Ａ为锐角
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ Ｂ Ａ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半 径为R），因此
当Ｂ＝120°时 C=30°
casinC16. sinA
跟踪练习： ABC中， (1)已知A 60，B 45，a 10,求b; (2)已知a 3,b 4, A 30,求sin B; (3)已知b 3,c 1, B 60,求a和A、C.
1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC中，已知A450,a2,b 2,求B
C
b a
Bc
A
D
正弦定理:
abc sinA sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴 正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C′，
因为
BC sin A
s,Ai所nCB 以
ACBCsinB2.57sin45. sinA sin15
利用计算器算得
AC≈7.02(cm),
同理,AB≈8.60(cm). 答：原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm.
例4.台风中心位于某市正东方向300 km处，正 以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风 中心250 km范围内将会受其影响.如果台风风速 不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这 种影响持续多长时间（结果精确到0.1h）?
第二章:解三角形
1.1 正弦定理
1.问题的引入:
.
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故 事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限 遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远 呢?科学家们是怎样测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和 量角设备,不过河你可以测出它们之间的 距离吗?
B
A
我们这一节所学习的内容就是解决这些问 题的有力工具.
79.83(km) ,
t1
BC1 40
79.83 40
2.0(h)
.
同理，当 C2 58.05 时， BC2 344.4km , t2 8.6h .
t2 t1 8.6 2.0 6.6(h) .
答：约 2h 后将要遭受台风影响，持续约 6.6h.
1.1 正弦定理
小结: • 正弦定理
ab c sinA sinB sinC
1 | AB |2 | AC |2 sin2 A 2
1 | AB |2 | AC |2 (1 cos2 A) 2
1 | AB |2 | AC |2 (| AB | | AC | cos A)2 2
1 (| AB | | AC |)2 ( AB AC)2 . 2
因为 AB (x, y), AC (u, v) ，
2、在
△ABC
中，若 a
cos
A
b cos B
cocs C，则
△ABC是( D
)
2
2
2
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
3.（2013·北京高考）在△ABC中，a=3,b=5,sinA= 1 ,
3
则sinB=( B)
A. 1
B. 5
5
9
C. 5
D.1
3
4.（2013·新课标全国卷Ⅱ）ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已
D a
C
所以
S
ABC
1absinC. 2
1
1
1
小结：SA B C2a b sinC 2b csinA 2a csinB .
例 3.如图，在△ABC 中， AB (x, y), AC (u,v) .求证：△ABC
的面积 S 1 | xv yu |.
2
证明： S 1 | AB | | AC | sin A 2
分析：如图所示，台风
北
沿着BD运动时，由于|AB|
=300 km>250 km，所以开
始台风影响不了城市A，由点A
D C2 E C1
B A
到台风移动路径BD最小距离
|AE|=|AB|·sin45°3002150 1.41211.5 (km )250km .
2
所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.
这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台 风的速度计算台风从C1到C2持续的时间.
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
C D asin B ,C D bsin A
所 以asinBbsinA B
D
A
得到 a b
c
sinA sinB
同 理 , 作 A EB C .有bnB sinC
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立?
剖析定理、加深理解
正弦定理： a b c
sinA sinB sinC
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
3、正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两边和其中一边的对角，求另一边
• 主要应用
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两 边和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出 三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、 二解、无解）
作业
1、P52习题2-1A组第7题； 2、在ABC中，已知b=14,A30, B120,解三角形。
正弦定理（第二课时）
12、、 复练习习回：顾在正弦A定B C理中的，内容 (1 ) A = 4 5 a， B b6 0 ， ca 1 0 , 求 b .
所以 S 1 (x2 y2 )(u2 v2 ) (xu yv)2 2
1 (xv yu)2 2
1 | xv yu | . 2
1、在 △ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A .asinA bsinB
B .ac o sA b c o sB
C .asinB bsinA
D .ac o sB b c o sA
s in As in Bs in C
当ABC为钝角三角形时, 如图: B B
a b
c
b b 2R, sin B sin B
同理 : a 2R, c 2R,
sin A
sin C
即得 : a b c 2R(R为外接圆半径). sin A sin B sin C
当△ABC为直角三角形时，容易得证.
a b c 2R. sinA sinB sinC
①
②
③
这个结论对于任意三角形(图②，图③)是否成立？
提示：成立，证明如下.
当△ABC为锐角三角形时，
如图: BB
b b 2R, sinB sinB 同 理 ：c 2R，a 2R,
sinC sinA
C a
b
O
B
c
A
B′
即 得 ： abc 2 R R 为 外 接 圆 半 径 .
sinA sinB sinC
( 2 )b 1 0 , c 5 6 , C 6 0 ， 求 A .
(3 ) a 2 3 , b 6 , A 3 0 ， 求 B . ( 4 ) a 4 , b 5 A 6 0 ， 求 B .
探究点2 正弦定理解三角形
问题1 由例2我们发现，已知两边和其中一边的对 角，解三角形时会出现两解的情况.还会出现其他 情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？ 提示：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理， 可能有两解、一解或无解.在△ABC中，已知a，b 和A时，解的情况如下：
知 b 2 ， B ， C ，则 ABC 的面积为（
6
4
B）
A. 2 3 2
B. 3 1
C. 2 3 2
D. 3 1
5.若A,B,C是△ABC的三个内角， 则sinA+sinB____>______sinC.
2
6.在△ABC 中，c=4,a=2,C= 4 5 ,则 sin A = __4 ____.
5、正弦定理的变形形式 6、正弦定理，可以用来判断三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角 关系的转化
1.1 正弦定理
3.定理的应用举例 例1 在 ABC已知 A300,B1350,a2,
解三角形.
变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
因为向量 A C 与B C 在y轴上的射影均为 O C ，
即 O C A C c o s ( A 9 0 ) b s in A ,
y
O C B C s in B a s in B , C
所以 asinB=bsinA .
即
a b.
sin A sin B
C′ O(A) B x
同理， a c .
例 2 已知a=16， b=16 3 ， A=30° .
解三角形。
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sinA sinB
C
得siB n bsiA n 16 3si3n 0 3 16 3 16
16
a
16 2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c32.
1.1 正弦定理
2.定理的推导
A
回忆一下直角三角形的边角关系?
c
b
acsinAbcsinB两等式间有联系吗？
Ba C
a b c sinA sinB
sinC1
a b c c sinA sinB sinC
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
1.1 正弦定理
(1)当ABC是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
分析：如图所示，将BD,CE分别延 长相交于一点A，在△ABC中，已 知BC的长及角B与C，可以通过正 弦定理求AB，AC的长.
A D
E
B C
解：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，
BC=2.57cm,B=45°,C=120°,
A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°.
AC
250
5
利用计算器算得角 C 有两个解
C1 121.95 , C2 58.05 .
当 C1 121.95 时
A 1 8 0 ( B C 1 ) 1 8 0 ( 4 5 1 2 1 . 9 5 ) 1 3 . 0 5 .
所以 BC1
AC1 sin sin B
A
250 sin 13.05 sin 45
解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该 市位于点B正西方向300 km处的点A. 假设经过th，台风中心到达点C，则在△ABC中, AB=300 km，AC=250 km,BC=40t km,B=45°.
由正弦定理 AC AB BC sin B sin C sin A
知 sin C AB sin B 300sin 45 3 2 0.8485.
的对角，进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边，求其他角和边
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
B=300
(2)在ABC中，已知A600,a4,b10 3,求B 3
无解
例3.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图 所示)，其一角已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm， CE=3.57cm，BD=4.38cm, B45,C120.为了复 原,请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）.
问题3 在 Rt△ABC 中，C 90 ,则△ABC 的面积S 1 ab .对于任意△ABC ，
2
已知a,b及 C，则△ABC 的面积S 1 absinC .
2
你能证明这一结论吗？
A
证明:
因为 S
ABC
1 2 aha,
b c
ha
而 h a A D c sin B b sin C , B
sin A sin C
所以
ab c. sinA sinB sinC
若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论.
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
a b c. sinA sinB sinC
变式:
1 ab; bc; ca.
s in As in B s in Bs in C s in Cs in A
1.Ａ为锐角
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ Ｂ Ａ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半 径为R），因此
当Ｂ＝120°时 C=30°
casinC16. sinA
跟踪练习： ABC中， (1)已知A 60，B 45，a 10,求b; (2)已知a 3,b 4, A 30,求sin B; (3)已知b 3,c 1, B 60,求a和A、C.
1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC中，已知A450,a2,b 2,求B
C
b a
Bc
A
D
正弦定理:
abc sinA sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴 正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C′，
因为
BC sin A
s,Ai所nCB 以
ACBCsinB2.57sin45. sinA sin15
利用计算器算得
AC≈7.02(cm),
同理,AB≈8.60(cm). 答：原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm.
例4.台风中心位于某市正东方向300 km处，正 以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风 中心250 km范围内将会受其影响.如果台风风速 不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这 种影响持续多长时间（结果精确到0.1h）?
第二章:解三角形
1.1 正弦定理
1.问题的引入:
.
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故 事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限 遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远 呢?科学家们是怎样测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和 量角设备,不过河你可以测出它们之间的 距离吗?
B
A
我们这一节所学习的内容就是解决这些问 题的有力工具.
79.83(km) ,
t1
BC1 40
79.83 40
2.0(h)
.
同理，当 C2 58.05 时， BC2 344.4km , t2 8.6h .
t2 t1 8.6 2.0 6.6(h) .
答：约 2h 后将要遭受台风影响，持续约 6.6h.
1.1 正弦定理
小结: • 正弦定理
ab c sinA sinB sinC
1 | AB |2 | AC |2 sin2 A 2
1 | AB |2 | AC |2 (1 cos2 A) 2
1 | AB |2 | AC |2 (| AB | | AC | cos A)2 2
1 (| AB | | AC |)2 ( AB AC)2 . 2
因为 AB (x, y), AC (u, v) ，
2、在
△ABC
中，若 a
cos
A
b cos B
cocs C，则
△ABC是( D
)
2
2
2
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
3.（2013·北京高考）在△ABC中，a=3,b=5,sinA= 1 ,
3
则sinB=( B)
A. 1
B. 5
5
9
C. 5
D.1
3
4.（2013·新课标全国卷Ⅱ）ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已
D a
C
所以
S
ABC
1absinC. 2
1
1
1
小结：SA B C2a b sinC 2b csinA 2a csinB .
例 3.如图，在△ABC 中， AB (x, y), AC (u,v) .求证：△ABC
的面积 S 1 | xv yu |.
2
证明： S 1 | AB | | AC | sin A 2
分析：如图所示，台风
北
沿着BD运动时，由于|AB|
=300 km>250 km，所以开
始台风影响不了城市A，由点A
D C2 E C1
B A
到台风移动路径BD最小距离
|AE|=|AB|·sin45°3002150 1.41211.5 (km )250km .
2
所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.
这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台 风的速度计算台风从C1到C2持续的时间.
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
C D asin B ,C D bsin A
所 以asinBbsinA B
D
A
得到 a b
c
sinA sinB
同 理 , 作 A EB C .有bnB sinC
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立?