椭球面 双曲面 抛物面

椭球面双曲面抛物面§7.9 二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称着二次曲面。

相应地，将平面叫做一次曲面。

一般的三元方程F x y z
(,,)=0所表示的曲面形状，已难以用描点法得到，
那未怎样了解它的形状呢?
利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线( 即截痕 )的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。

下面，我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。

一、椭球面
由方程
x a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2
1
++=
(1)
所表示的曲面叫做椭球面。

1、由(1)可知：
x a y b z c
≤≤≤
,,
这表明：椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内，这长方体的六个面的方程为
x a y b z c
=±=±=±
,,
其中常数a b c
,,叫做椭球面的半轴。

2、为了进一步了解这一曲面的形状，先求出它与三个坐标面的交线
x a y b
z
y
b
z
c
x
x
a
z
c
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
+=
=
⎧⎨⎪⎩⎪
+=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
+=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
这些交线都是椭圆。

3、用平行于xoy坐标面的平面z z z c
=≤
11
()
去截椭球面，其截痕(即交线)
为
x a c
c z y b c c z z z 222122
2212
1
1()()-+-==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
这是位于平面 z z =1内的椭圆，它的两个半轴分别等于 a c c z 21
2
-与
b c c z 21
2
-，其椭圆中心均在z 轴上，当z 1
由0渐增大到c 时， 椭圆的截面
由大到小，最后缩成一点。

4、以平面
y y y b =≤11()或 x x x a =≤11()去截椭球面分别可得与
上述类似的结果。

综上讨论知：椭球面(1)的形状如图所示。

5、特别地，若a
b =，而a
c ≠，则 (1) 变为
x a y a z c 22222
21++=
这一曲面是xoz 坐标面上的椭圆 x a z c 22
2
21+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面，因
此，称此曲面为旋转椭球面。

它与一般椭球面不同之处在于
如用平面z z z c =≤11()与旋转椭球面相截时，所得的截痕是圆心在z
轴上的圆
x y a c c z z z 222
221
2
1+=-=⎧⎨⎪⎩⎪()
其半径为a c c z 21
2
-。

6、若 a b c ==，那未(1)变成
x y z a 2222++=
这是球心在原点，半径为a 的球面。

二、抛物面
由方程
x p y q z p q 22
22+=()与同号
(2)
所表示的曲面叫做椭圆抛物面。

设p q >>00,， 用截痕法来考察它的形状 1、用坐标面xoy z (
)=0与该曲面相截，其截痕为
O (,,)000
2、用平行于xoy 坐标面的平面z
z z =>110()与该曲面相截，所得截痕为
x pz y qz z z 212
11221+==⎧⎨⎪
⎩⎪
这是中心在z 轴， 半轴分别为
21pz 与 21qz 的椭圆。

另外，平面z z z =<110()与该曲面不相交，因此，原点O (,,)000是该
曲面的顶点。

3、用坐标面xoz y
()=0与该曲面相截， 其截痕为
x pz y 220==⎧⎨
⎩
这是一条抛物线，它的轴与z 轴相重合，顶点为O (,,)000。

用平行于xoz 坐标面的平面y
y =1与该曲面相截，其截痕为
x p z y q y y 212122=-=⎧⎨
⎪⎩⎪()
这是一条抛物线，它的轴平行于z 轴， 顶点为
(,,)
0211
2
y y q 。

4、类似地， 用坐标面
yoz x ()=0以及平行于yoz 面的平面x x =1去截该曲
面时， 其截痕也是抛物线。

综上所述，方程(2)所表示的曲面形状如下
特别地，如果p
q =，那么方程(2)变为
x p y p z p 22
220+=>()
这一曲面可看成是xoz 面上的抛物线
x pz 2
2=绕z 轴旋转而成的旋转曲面，这曲面叫做旋转抛物面。

由方程
-+=x p y q z p q 2222()与同号
所表示的曲面叫做双曲抛物面或马鞍面。

当 p q >>00,时，它的形状如下图所示
点O (,,)000称之为鞍点。

三、双曲面
由方程
x a y b z c 22222
21+-=
(3)
所表示的曲面叫做单叶双曲面。

下面用截痕法来考察它的形状 1、用坐标面xoy z (
)=0与该曲面相截，其截痕为
x a y b z 222
210+==⎧⎨⎪⎩⎪
这是一个中心在原点，且半轴分别为a 与b 的椭圆。

2、用平行于xoy 面的平面z
z =1去截曲面，其截痕为
x a y b z c z z 2212
11+=+=⎧⎨⎪⎩⎪
它是中心在z 轴上，两个半轴分别为a c c z 212+与b c c z 21
2
+的椭圆。

3、用坐标面xoz y (
)=0与该曲面相截， 其截痕为
x a z c y 22
10-==⎧⎨⎪⎩⎪
它是中心在原点，实轴为x 轴，虚轴为z 轴的双曲线。

4、用平行于xoz 面的平面y
y y b =≠±11()去截曲面，其截痕为
x a z c y b y y 222212211-=-=⎧⎨⎪⎩⎪
它是中心在y 轴，两个半轴的平方为a b b y 22212-与c b b y 22
212
-的双曲线。

如果y b 122
<，那么双曲线的实轴平行于x 轴，虚轴平行于z 轴。

如果y b 122>，那么双曲线的实轴平行于z 轴，虚轴平行于x 轴。

如果y b 1=，那么平面y b =去截曲面所得截痕为一对相交于点(,,)00b 的
直线，它们是
x a z
c y b
x a z
c y b -==⎧⎨⎪⎩⎪+==⎧⎨⎪⎩⎪00和
如果y b 1=-，那么平面y b =-去截曲面所得截痕为一对相交于点
(,,)00-b 的直线，它们是
x a z c y b
x a z
c y b -==-⎧⎨⎪⎩⎪+==-⎧⎨⎪⎩⎪00和
5、类似地，用坐标面yoz x (
)=0和平行于yoz 面的平面x x =1去截曲面， 所
得的截痕也是双曲线，而用平面x a =±去截曲面，其截痕曲线为两对相交的直
线。

综上所述， 单叶双曲面的形状如下
由方程
x a y b z c 22222
21-+=-
(4)
所表示的曲面叫做双叶双曲面。

利用截痕法可以判定出它的形状为。