水泥混凝土路面结构应力分析
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弹性层状半空间地基
2.温克勒地基水泥混凝土板荷载应力分析
威斯特卡德研究了三种典型临界轮载位置下板 体最大挠度和最大应力。
三种典型临界轮载位置
三种位置的最大应力
（1）荷载作用于板中（荷位①），荷载中心处板 底最大弯拉应力
l ——板的相对刚度半径
三种位置的最大应力
（2）荷载作用于板边缘中部（荷位②），荷位下 板底的最大弯拉应力
D
Ec h 3
12(1 c2
)
——板的弯曲刚度
弹性地基上薄板受力情况
板的应力
1.2 地基模型
温克勒地基 弹性均质半空间地基 弹性层状半空间地基
温克勒地基
地基某一点的沉陷仅决定于作用于该点的压力， 而和邻近的地基不发生任何关系（如图a）。
地基反力q(x,y)与挠度W(x,y)的关系为： q(x, y)＝kw(x, y)
3.弹性半空间地基 水泥混凝土板荷载应力分析
在轴对称荷载作用下，弹性均质半空间地基上 无限大薄板模式如图所示：
弹性均质半空间地基模式图式
单轮荷载作用下
不论集中荷载或是圆形均布荷载，计算结果均可 以相同的形式表示，即：
p(r) P 2 p(r)
w(r )
Leabharlann Baidu
P
(1
2 0
)
w(r )
E0
M r PM r
M1，M 2 — —下层板和上层板分别承担的弯矩
D1，D2 — —下层板和上层板得弯曲刚度
D1
E1h13 12(1 12 )
D2
E2 h23
12(1
2 2
)
E1，1，h1和E2，2，h2 — —分别为下层板和上层板的弹性模量、泊松比和厚度。
板与地基联系的假设
在变形过程中，板与地基的接触面始终吻合。即板面 与地基表面的竖向位移是相同的。
在板与地基的两触面之间没有摩阻力（可以自由滑 动），即接触面上的线应变视为零。
薄板挠曲面微分方程
从板上割取长和宽各为ｄｘ和ｄｙ高为h的单元体，板 中面的挠曲面微分方程为：
2
2 x 2
2 y 2
——拉普拉斯算子
i＝0.316 4 lg
L b
0.178
P h2
式中：c 为最大挠度减少的比值，变化范围在0~0.39
【２】荷载作用于板边（荷位２）
在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实 测应力略大于理论计算结果；在夜晚有翘曲的 情况下，对于常用的轮印，实测应力明显大于 理论计算结果。 当L=5l 时, Kelly板内应力的修正公式为：
e＝0.572 4 lg
L b
lg b
P h2
【３】荷载作用于板角（荷位３）
在夜晚有向上翘曲的情况下，对于常用的轮印， 实测应力明显大于理论计算结果。 Kelly修正公式：
c＝31
2R l
1.2
P h2
应力计算公式一般形式
当μ=0.15时，一般形式为：
＝ P
h2
C
式中：C—应力系数。对于角隅应力σc，用角 隅应力系数Cc 表示；同样的， Ci 为板中应力 系数；Ce 为板边应力系数(查表计算)
从力学模型来考虑，弹性地基双层板按层间接 触状态可以分为三类：
分离式双层板； 结合式双层板； 部分结合双层板。
(一)弹性地基上分离式双层板
轴对称垂直荷载作用下的 弹性地基上分离式无限大 双层板示图：
应力分析
M M1 M2
D D1 D2
M1
D1 D
M,M2
D2 D
M
式中：M，D — —双层板在荷载作用下的总弯矩和总弯曲刚度
n1
M x P(M M xi ) i1 n1
M y P(M M yi ) i1
式中：
M ——荷载中心弯矩系数 M xi——其他荷载引起的计算点x方向弯矩系数
M yi——其他荷载引起的计算点y方向弯矩系数
弯曲应力和剪应力为：
（上页中的弯矩值均查表得其值，详细见例题）
4.水泥混凝土双层板荷载分析
e＝2.116
1 0.54c
lg
l b
0.08975
P h2
（3）荷载作用于板角隅（荷位③），最大拉应力 产生在板的表面离荷载圆中心为x1的分角线上
c
31
2 l
R
0.6
P h2
半径Ｒ的修正
假如Ｒ同ｈ相比，小于某一限度，则出现荷 载集中现象，应按照厚板理论进行计算。此 时采用当量半径ｂ取代实际半径Ｒ。ｂ和Ｒ 的关系按下式确定∶
度h，称为薄板小挠度理论。
薄板示意图
板本身应力应变的假设
薄板内任意一根垂直于中面的直线上，各点的位移w均 相等 ；（ w 只与xy有关，与z无关）
垂直于中面的法线，在弯曲变形前后均保持为直线并 垂直于中面。（无横向剪应力）
中面上各点无平行于中面的位移。（也就是中面的任 意一部分，在弯曲成弹性曲面前后，在xy面上的投影 形状保持不变。 ）
a）温克勒地基
弹性均质半空间地基
假定地基为连续、均质、各向同性、完全弹性 的半空间体（如图b）。
地基反力q(x,y)与挠度W(x,y)的关系为：
q(x, y)＝f [w(x, y)]
b）弹性半空间体地基
弹性层状半空间地基
层状地基在沿深度的方向分成若干个层次，层次 之间符合一定的连续条件。每一个层次有不同的 弹性特征E、μ，并且符合弹性理论的基本假定， 即连续、弹性、均质、各向同性。
M PM
M PM
式中：
p(r) — 反力系数；w(r) — 挠度系数；M r — 径向弯矩系数；M — 切向弯矩系数； M ，M — 分别为圆形均布荷载作 用下的中心弯矩和中心 弯矩系数 ;为弹性特征。
弯曲应力和剪应力为：
多轮荷载作用下
为了简化多轮荷载的计算，将弯矩系数直接编 制成表，可按下式直接运算：
当 R 1.724h时，b＝ 1.6R2 h2 0.675h 当 R 1.724h时，b R
威斯特卡德公式的修正（阿灵顿试验路）
【１】荷载作用于板中（荷位１）
实测的板中应力值比板中加载的威氏应力计算 结果小。 当L=1.75l，c=0.05，=0.15时，Kelly板底最大 应力修正公式：
水泥混凝土路面结构应力分析
1.小挠度薄板与弹性地基 2.温克勒地基水泥混凝土板荷载应力分析 3.弹性半空间地基水泥混凝土板荷载应力分析 4.水泥混凝土双层板荷载应力分析 5.水泥混凝土板温度应力分析 6.有限元分析法 7.小结
1.1小挠度弹性薄板
如果板的厚度h远小于板面的最小尺寸b，就称为薄板。 在垂直于板面的荷载作用下，薄板挠度w远小于板的厚
2.温克勒地基水泥混凝土板荷载应力分析
威斯特卡德研究了三种典型临界轮载位置下板 体最大挠度和最大应力。
三种典型临界轮载位置
三种位置的最大应力
（1）荷载作用于板中（荷位①），荷载中心处板 底最大弯拉应力
l ——板的相对刚度半径
三种位置的最大应力
（2）荷载作用于板边缘中部（荷位②），荷位下 板底的最大弯拉应力
D
Ec h 3
12(1 c2
)
——板的弯曲刚度
弹性地基上薄板受力情况
板的应力
1.2 地基模型
温克勒地基 弹性均质半空间地基 弹性层状半空间地基
温克勒地基
地基某一点的沉陷仅决定于作用于该点的压力， 而和邻近的地基不发生任何关系（如图a）。
地基反力q(x,y)与挠度W(x,y)的关系为： q(x, y)＝kw(x, y)
3.弹性半空间地基 水泥混凝土板荷载应力分析
在轴对称荷载作用下，弹性均质半空间地基上 无限大薄板模式如图所示：
弹性均质半空间地基模式图式
单轮荷载作用下
不论集中荷载或是圆形均布荷载，计算结果均可 以相同的形式表示，即：
p(r) P 2 p(r)
w(r )
Leabharlann Baidu
P
(1
2 0
)
w(r )
E0
M r PM r
M1，M 2 — —下层板和上层板分别承担的弯矩
D1，D2 — —下层板和上层板得弯曲刚度
D1
E1h13 12(1 12 )
D2
E2 h23
12(1
2 2
)
E1，1，h1和E2，2，h2 — —分别为下层板和上层板的弹性模量、泊松比和厚度。
板与地基联系的假设
在变形过程中，板与地基的接触面始终吻合。即板面 与地基表面的竖向位移是相同的。
在板与地基的两触面之间没有摩阻力（可以自由滑 动），即接触面上的线应变视为零。
薄板挠曲面微分方程
从板上割取长和宽各为ｄｘ和ｄｙ高为h的单元体，板 中面的挠曲面微分方程为：
2
2 x 2
2 y 2
——拉普拉斯算子
i＝0.316 4 lg
L b
0.178
P h2
式中：c 为最大挠度减少的比值，变化范围在0~0.39
【２】荷载作用于板边（荷位２）
在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实 测应力略大于理论计算结果；在夜晚有翘曲的 情况下，对于常用的轮印，实测应力明显大于 理论计算结果。 当L=5l 时, Kelly板内应力的修正公式为：
e＝0.572 4 lg
L b
lg b
P h2
【３】荷载作用于板角（荷位３）
在夜晚有向上翘曲的情况下，对于常用的轮印， 实测应力明显大于理论计算结果。 Kelly修正公式：
c＝31
2R l
1.2
P h2
应力计算公式一般形式
当μ=0.15时，一般形式为：
＝ P
h2
C
式中：C—应力系数。对于角隅应力σc，用角 隅应力系数Cc 表示；同样的， Ci 为板中应力 系数；Ce 为板边应力系数(查表计算)
从力学模型来考虑，弹性地基双层板按层间接 触状态可以分为三类：
分离式双层板； 结合式双层板； 部分结合双层板。
(一)弹性地基上分离式双层板
轴对称垂直荷载作用下的 弹性地基上分离式无限大 双层板示图：
应力分析
M M1 M2
D D1 D2
M1
D1 D
M,M2
D2 D
M
式中：M，D — —双层板在荷载作用下的总弯矩和总弯曲刚度
n1
M x P(M M xi ) i1 n1
M y P(M M yi ) i1
式中：
M ——荷载中心弯矩系数 M xi——其他荷载引起的计算点x方向弯矩系数
M yi——其他荷载引起的计算点y方向弯矩系数
弯曲应力和剪应力为：
（上页中的弯矩值均查表得其值，详细见例题）
4.水泥混凝土双层板荷载分析
e＝2.116
1 0.54c
lg
l b
0.08975
P h2
（3）荷载作用于板角隅（荷位③），最大拉应力 产生在板的表面离荷载圆中心为x1的分角线上
c
31
2 l
R
0.6
P h2
半径Ｒ的修正
假如Ｒ同ｈ相比，小于某一限度，则出现荷 载集中现象，应按照厚板理论进行计算。此 时采用当量半径ｂ取代实际半径Ｒ。ｂ和Ｒ 的关系按下式确定∶
度h，称为薄板小挠度理论。
薄板示意图
板本身应力应变的假设
薄板内任意一根垂直于中面的直线上，各点的位移w均 相等 ；（ w 只与xy有关，与z无关）
垂直于中面的法线，在弯曲变形前后均保持为直线并 垂直于中面。（无横向剪应力）
中面上各点无平行于中面的位移。（也就是中面的任 意一部分，在弯曲成弹性曲面前后，在xy面上的投影 形状保持不变。 ）
a）温克勒地基
弹性均质半空间地基
假定地基为连续、均质、各向同性、完全弹性 的半空间体（如图b）。
地基反力q(x,y)与挠度W(x,y)的关系为：
q(x, y)＝f [w(x, y)]
b）弹性半空间体地基
弹性层状半空间地基
层状地基在沿深度的方向分成若干个层次，层次 之间符合一定的连续条件。每一个层次有不同的 弹性特征E、μ，并且符合弹性理论的基本假定， 即连续、弹性、均质、各向同性。
M PM
M PM
式中：
p(r) — 反力系数；w(r) — 挠度系数；M r — 径向弯矩系数；M — 切向弯矩系数； M ，M — 分别为圆形均布荷载作 用下的中心弯矩和中心 弯矩系数 ;为弹性特征。
弯曲应力和剪应力为：
多轮荷载作用下
为了简化多轮荷载的计算，将弯矩系数直接编 制成表，可按下式直接运算：
当 R 1.724h时，b＝ 1.6R2 h2 0.675h 当 R 1.724h时，b R
威斯特卡德公式的修正（阿灵顿试验路）
【１】荷载作用于板中（荷位１）
实测的板中应力值比板中加载的威氏应力计算 结果小。 当L=1.75l，c=0.05，=0.15时，Kelly板底最大 应力修正公式：
水泥混凝土路面结构应力分析
1.小挠度薄板与弹性地基 2.温克勒地基水泥混凝土板荷载应力分析 3.弹性半空间地基水泥混凝土板荷载应力分析 4.水泥混凝土双层板荷载应力分析 5.水泥混凝土板温度应力分析 6.有限元分析法 7.小结
1.1小挠度弹性薄板
如果板的厚度h远小于板面的最小尺寸b，就称为薄板。 在垂直于板面的荷载作用下，薄板挠度w远小于板的厚