数学实验报告(赛车跑道)

数学实验报告

王伟晨

材料22

学号**********

一.实验问题

赛车道路路况分析问题

先要在一旷野区域举行一场自行车比赛，问了了解环形道路的路况，现对一选手的比赛情况进行监测。该选手从A 地出发向东到B 地，再经C,D 回到A 地(如图所示)。现从选手出发开始计时，每隔15min 观测其位置，所得相应各点坐标如下表（假设其体力是均匀分配的）

-5

0510152025303540

0510152025303540

45

假设：1车道几乎是在平地上，但有三种路况(根据平均速度v （km/h ）大致区分) ；平整沙土路（v>30），坑洼碎石路（12

求解：1模拟比赛车道的曲线和选手的速度曲线； 2估计车道的长度和所谓区域的面积；

3分析车道上相关路段的路面状况（在车道上用不同的颜色标记出来）； 4对参加比赛的选手提出合理化建议。

二 问题分析

由给定的一系列x,y 坐标采用插值法，获得一条严格通过个数据点的曲线。 共有三种插值法;1多项式插值

对于已知的n 个数据点),(),,(2211y x y x ；…；（n x ,n y ）,可唯一的确定一条n-1次多项式y=o a +x a 1 +…+11--n n x a ,

令,,,11111101101222111⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-----n n n n n n n y y y y a a a x x x x x x x A 则所求的多项式系数为方程组Ax=y 的解。故x=[]y A a a a a T

n 11,210,,,--= 利用命令y0=polyval(p,x0)可求得多

项式函数任一点的函数值。

该种方法得到的曲线容易出现“龙格现象”，故一般不用该方法模拟曲线。 2分段线性插值

在每一个子区间上利用一次多项式分段线性插值，几何图形上的表示为相邻两个

数据点之间用直线相连。在数据点个数较多时，他们之间的距离较小，利用线性插值就较为精确。其线性插值命令为y0=interpl(x,y,x0) 3三次样条插值

该种方法是利用某些光滑的，变化平缓的曲线来拟和数据点。常用一个三次多项式，来对相继数据点之间的各段建模，使其满足相邻的三次多项式在节点处的1阶2阶导数都相等，这样就可以确定内部各段的3次多项式，且该三次多项式在节点处的斜率和曲率是连续的。该插值方法的命令格式为yo=spline(x,y,xo) 要求比赛车道的曲线和选手的速度曲线利用以上三种插值方法即可。

三.程序的设计

首先分析A →B 的赛道情况

1描点

-5

0510152025303540

0510152025303540

45

clf;clear

x=[0.2 4.96 6.55 9.71 13.17 16.23 18.36 20.53 23.15 26.49 28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5];

y=[6.66 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55 9.86 5.28 3.87 3.04 2.88 3.68 2.38 2.06 2.58 2.16 1.45 6];

plot(x,y,'k.','markersize',15);

axis([-5 40 0 45]);

grid

2绘图

利用三次样条插值

clf;clear

x=[0.2 4.96 6.55 9.71 13.17 16.23 18.36 20.53 23.15 26.49 28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5];

y=[6.66 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55 9.86 5.28 3.87 3.04 2.88 3.68 2.38 2.06 2.58 2.16 1.45 6];

plot(x,y,'k.','markersize',15);

axis([-5 40 0 45]);

grid;

hold on

t=-5:0.5:40;

u=spline(x,y,t);

plot(t,u) s=trapz(x,y);

l=sqrt(diff(x).^2+diff(y).^2); L=sum(l);

fprintf('s=%.2f,L=%.3f\n',s,L) s=177.20,L=51.832

再分析A →D →C →B 的赛道情况

1描点

-5

0510152025303540

0510152025303540

45

clf;clear x=[0.2 1.8 4.90 6.51 9.73 13.18 16.20 18.92 20.50 23.23 25.56 28.31 29.45 30.00 30.92 31.67 33.31 34.23 35.81 37.5]; y=[6.66 19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38 30.00 19.68 14.56 18.86 18.55 22.66 18.28 15.06 13.42 11.86 7.68 9.45 6]; plot(x,y,'k.','markersize',15);