因素模型与套利定价模型
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Rt a b1GDPt b2 CPI t t
2、多因素模型
同样，考虑到多种因素对证券回报率的影响， 可以进一步将因素模型进行拓展，从而形成含 有种因素的多因素模型：
Rit ai bi1F1t bi2 F2t bik Fkt eit
第二节 套利定价理论（APT）
➢ 1976年，斯蒂芬•罗斯（Stephen Ross）提出了 套 利 定 价 理 论 （ the arbitrage pricing model,APT）。
如果上述假设不成立，则单因子模型不准 确，应该考虑增加因子或者其他措施。
对于证券i，其回报率的均值（期望值）为
ri ai bi f
（8.3）
其回报率的方差
因子风险
2 i
bi2
2 f
2 ei
非因子风险
单因子模型的优点
1. 单因子模型能够大大简化我们在均值-方差
分析中的估计量和计算量。假定分析人员需
IGDPt（%） 5.7 6.4 8.9 8.0 5.1 2.9
股票A收益率（%） 14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
rt
r6 13.0%
e6 3.2%
4%
IGDP6 2.9%
IGDPt
图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股 票A的回报率。图上的每一点表示：在给定 的年份，股票A的回报率与GDP增长率。
要分析n种股票，则
均值－方差模型：n个期望收益，n个方差， (n2-n)/2个协方差
单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残差
2 ei
，一个因子f方差
2 f
，共3n＋1个估计值。
若n＝50，前者为1325，后者为151。
单因子模型具有两个重要的性质
2. 风险的分散化
分散化导致因子风险的平均化
1、什么是单因素模型？ 单因素模型把经济系统中的所有相关因素作为一 个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产 生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所 特有的。
单因素模型一般形式：
ri ai bi F i
单因素模型中证券收益的三大基本构成因素；
例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关
rit ai bimrmt eit
第一节 指数模型
一、因素模型的产生
1、资本资产定价模型（CAPM）在实际应用的两大 问题：
（1）要计算风险市场组合，计算量非常巨大。 （2）证券市场线实际上只考虑了风险市场组合的 预期回报率对证券或证券组合的期望收益率的影 响，即把市场风险（系统风险）全部集中地表现 在一个因素中，并没有将影响证券收益的宏观经 济变量（如国民收入、利率、通货膨胀率、能源 价格等）考虑在内。
其中
rit rmt
=在给定的时间t，证券i 的回报率 =在同一时间区间，市场因子m的相对数
ai =截距项
bim =证券i对因素m的敏感度
eit =随机误差项，
E[eit ] 0, cov(it , rmt ) 0, cov(it , jt ) 0
因子模型回归
年份 1 2 3 4 5 6
1961年，夏普(William Sharpe)写出博士论文，提 出单因素模型。
单因素模型的两个基本假设：
（1）证券的风险分为系统风险和非系统风险，因素对非系 统风险不产生影响。
（2）一个证券的非系统风险对其它证券的非系统风险不产 生影响，两种证券的回报率仅仅通过因素的共同反应而相 关联。
二、单因素模型
分散化缩小非因子风险
n
lim
n
p
2
lim D(
n i1
wi (ai
bi
f
ei ))
lim
n
bp2
f
2
2 ep
n
n
其中，bp
wibi，
2 ep
wi2
2 ei
i 1
i 1
因素模型的非均衡特征
ri ai bi F
ri rf iM (rM rf )
非均衡特征的体现：ai 和 rf 的区别；
因素模型 （Factor model）
定义：因素模型是一种假设证券的回报率 只与不同的因素波动（相对数）或者指标 的运动有关的经济模型。
因素模型是APT的基础，其目的是找出这些 因素并确认证券收益率对这些因素变动的 敏感度。
依据因素的数量，可以分为单因素模型和 多因素模型。
2、因素模型的提出
通过线性回归，我们得到一条符合这些点 的直线为（极大似然估计）
rt 4% 2IGDPt et
从这个例子可以看出，A在任何一期的回 报率包含了三种成份：
1.在任何一期都相同的部分a
2.依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相同 的部分b×IGDPt
3.属于特定一期的特殊部分et。
通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的 一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列
多因子模型
单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将 资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个 因子相关，这些因子如利率变化，GDP增长 率等。
例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP 不敏感，后者对利率不敏感。
单因素模型难以把握公司对不同的宏观经 济因素的反应。
假设残差有界，即
2 ei
s2
且资组产合i成p立高度分散w化i ，即/wni充分小，则对于
则有 从而
2 ep
1 n2
n
2s2
i 1
1 2s2
n
lim
n
2 p
lim
n
bp2
f
2
ep 2
bp2
f
2
四、多因素模型
多因素模型形成：将影响证券收益的系统性因素 扩展到多个。
1、双因素模型的一般形式：
Rit ai bi1F1t bi2 F2t it
实例：（具体化的）双因素模型定价
rit ai bi ft eit
（8.1）
其中：
ft是t时期公共因子的预测值； rit在时期t证券i的回报； eit在时期t证券i的特有回报 ai零因子 bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因
子载荷（factor loading）
为简单计，只考虑在某个特定的时间的因 子模型，从而省掉角标t，变为
ri ai bi f ei
并且假设 (1) cov(ei , f ) 0
E[ei ] 0
(2) cov(ei , ej ) 0
（8.2）
假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没有 影响，即因子f与随机项是独立的，这样保 证了因子f是回报率的唯一因素。
若不独立，结果是什么？
假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证 券的随机项没有影响，换言之，两种证券 之所以相关，是由于它们具有共同因子f所 致。
2、多因素模型
同样，考虑到多种因素对证券回报率的影响， 可以进一步将因素模型进行拓展，从而形成含 有种因素的多因素模型：
Rit ai bi1F1t bi2 F2t bik Fkt eit
第二节 套利定价理论（APT）
➢ 1976年，斯蒂芬•罗斯（Stephen Ross）提出了 套 利 定 价 理 论 （ the arbitrage pricing model,APT）。
如果上述假设不成立，则单因子模型不准 确，应该考虑增加因子或者其他措施。
对于证券i，其回报率的均值（期望值）为
ri ai bi f
（8.3）
其回报率的方差
因子风险
2 i
bi2
2 f
2 ei
非因子风险
单因子模型的优点
1. 单因子模型能够大大简化我们在均值-方差
分析中的估计量和计算量。假定分析人员需
IGDPt（%） 5.7 6.4 8.9 8.0 5.1 2.9
股票A收益率（%） 14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
rt
r6 13.0%
e6 3.2%
4%
IGDP6 2.9%
IGDPt
图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股 票A的回报率。图上的每一点表示：在给定 的年份，股票A的回报率与GDP增长率。
要分析n种股票，则
均值－方差模型：n个期望收益，n个方差， (n2-n)/2个协方差
单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残差
2 ei
，一个因子f方差
2 f
，共3n＋1个估计值。
若n＝50，前者为1325，后者为151。
单因子模型具有两个重要的性质
2. 风险的分散化
分散化导致因子风险的平均化
1、什么是单因素模型？ 单因素模型把经济系统中的所有相关因素作为一 个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产 生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所 特有的。
单因素模型一般形式：
ri ai bi F i
单因素模型中证券收益的三大基本构成因素；
例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关
rit ai bimrmt eit
第一节 指数模型
一、因素模型的产生
1、资本资产定价模型（CAPM）在实际应用的两大 问题：
（1）要计算风险市场组合，计算量非常巨大。 （2）证券市场线实际上只考虑了风险市场组合的 预期回报率对证券或证券组合的期望收益率的影 响，即把市场风险（系统风险）全部集中地表现 在一个因素中，并没有将影响证券收益的宏观经 济变量（如国民收入、利率、通货膨胀率、能源 价格等）考虑在内。
其中
rit rmt
=在给定的时间t，证券i 的回报率 =在同一时间区间，市场因子m的相对数
ai =截距项
bim =证券i对因素m的敏感度
eit =随机误差项，
E[eit ] 0, cov(it , rmt ) 0, cov(it , jt ) 0
因子模型回归
年份 1 2 3 4 5 6
1961年，夏普(William Sharpe)写出博士论文，提 出单因素模型。
单因素模型的两个基本假设：
（1）证券的风险分为系统风险和非系统风险，因素对非系 统风险不产生影响。
（2）一个证券的非系统风险对其它证券的非系统风险不产 生影响，两种证券的回报率仅仅通过因素的共同反应而相 关联。
二、单因素模型
分散化缩小非因子风险
n
lim
n
p
2
lim D(
n i1
wi (ai
bi
f
ei ))
lim
n
bp2
f
2
2 ep
n
n
其中，bp
wibi，
2 ep
wi2
2 ei
i 1
i 1
因素模型的非均衡特征
ri ai bi F
ri rf iM (rM rf )
非均衡特征的体现：ai 和 rf 的区别；
因素模型 （Factor model）
定义：因素模型是一种假设证券的回报率 只与不同的因素波动（相对数）或者指标 的运动有关的经济模型。
因素模型是APT的基础，其目的是找出这些 因素并确认证券收益率对这些因素变动的 敏感度。
依据因素的数量，可以分为单因素模型和 多因素模型。
2、因素模型的提出
通过线性回归，我们得到一条符合这些点 的直线为（极大似然估计）
rt 4% 2IGDPt et
从这个例子可以看出，A在任何一期的回 报率包含了三种成份：
1.在任何一期都相同的部分a
2.依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相同 的部分b×IGDPt
3.属于特定一期的特殊部分et。
通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的 一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列
多因子模型
单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将 资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个 因子相关，这些因子如利率变化，GDP增长 率等。
例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP 不敏感，后者对利率不敏感。
单因素模型难以把握公司对不同的宏观经 济因素的反应。
假设残差有界，即
2 ei
s2
且资组产合i成p立高度分散w化i ，即/wni充分小，则对于
则有 从而
2 ep
1 n2
n
2s2
i 1
1 2s2
n
lim
n
2 p
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n
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f
2
ep 2
bp2
f
2
四、多因素模型
多因素模型形成：将影响证券收益的系统性因素 扩展到多个。
1、双因素模型的一般形式：
Rit ai bi1F1t bi2 F2t it
实例：（具体化的）双因素模型定价
rit ai bi ft eit
（8.1）
其中：
ft是t时期公共因子的预测值； rit在时期t证券i的回报； eit在时期t证券i的特有回报 ai零因子 bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因
子载荷（factor loading）
为简单计，只考虑在某个特定的时间的因 子模型，从而省掉角标t，变为
ri ai bi f ei
并且假设 (1) cov(ei , f ) 0
E[ei ] 0
(2) cov(ei , ej ) 0
（8.2）
假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没有 影响，即因子f与随机项是独立的，这样保 证了因子f是回报率的唯一因素。
若不独立，结果是什么？
假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证 券的随机项没有影响，换言之，两种证券 之所以相关，是由于它们具有共同因子f所 致。