稳定性与鲁棒性lecture3

相应线性系统
x A( )x B( )u
y
C (
)
D(
)u
例：汽车运动方程
(M
0
M
)
dv dt
(0
)v
f,
f
v
M 1, 2
M
μv
记 M 1, 2 ，整理
v A( )v B( ) f
其中， 1
2 T ,且A( )
0 2 M 0 1
, B( )
1
M 0 1
A(θ)和B(θ)结构已知，当θ=0时，A0，B0给出系统标称模型；
z M (s)w,
M (s) W (I P0 K )1 P0
由标称系统(P0,K)的稳定性，得M(s)稳定。再由小增益定 理得，该系统鲁棒稳定的充要条件
M (s)
W (I P0K )1 P0
W (I P0 K )1 P0
1
鲁棒稳定性的时域判定条件
讨论系统
x [ A A(t)]x
若 A(t) E(t), 其中T (t)(t) F T F
➢ 他依然很喜欢你，且对周边年轻漂亮的女孩 子把持的住。
➢ 我们说他是非脆弱专情的（好像有点悲情）
角型结构摄 动，导致保 守性较大
此条件为充分条件，对应一干扰抑制问题
z1
z2
Ws
W
w1 + _
K
u
w2
+
P
+
➢ 另一种设计方法
将摄动分离后的闭环系统，插入稳定最小相位的定标函 数，不影响闭环内稳定
通过适当选择定标函数D， 可使得 D1MD M , 从而有可能设计出性能 更 好的控制系统——μ理论
D1(s)D2(s)+N1(s) N2(s)=0
定理4.1（Nyquist稳定判据）若系统Σ的开环传函G(s)H(s) 在右半平面有P个极点，且s=0为其v重极点，则闭环系 统稳定的充要条件为：当ω：-∞→∞时，开环频率特性 曲线G(jω)H(jω)包围点(-1, j0)的次数为P+v/2
证明思路： 主要利用复变函数中幅角原理； 重点构造包含P个极点的区域Ω及其边界Γ； 当G(s)H(s)含有虚轴上的极点时，构造Γ用半径充分小的
第一步：将跟踪性能指标转化为鲁棒稳定性指标
Δs
z1
Ws(s)
W(s) z2 Δ(s)
w2
+
e
w1 _
K(s) u
P(s)
+
y
+
r
第二步：不确定性分离
第三步：因
s
1根据小增益定理：
由于采用对
闭环鲁棒稳定的条件之一为 M 1
其中
z1
z2
M
1 2
,
M
(s)
WsS WKS
WsS
Biblioteka Baidu
WKS
不确定性的描述方法
1、可参数化不确定模型
摩擦系数、向量、 转动惯量、电网参 数等测量误差或磨 损老化引起的变化
——用被控对象模型的参数摄动表示不确定性
状态空间模型
x f (x, ) g(x, )u
y
h(
x,
)
d
( x,
)u
1 2 s T为未知参数向量，θi(i=1,2,…,s)是表示
误差或未知摄动等不确定因素参数。
➢ 鲁棒控制：按照鲁棒性要求设计的控制方案叫做鲁棒控制;
➢ 鲁棒系统设计的目标：就是要在模型不精确和存在其他变 化因素的条件下，使系统仍能保持预期性能。
➢ 如果模型的变化和模型的不精确不影响系统的稳定性和其 它动态性能，这样的系统我们称它为鲁棒控制系统。
➢ 鲁棒控制理论：鲁棒性分析问题和鲁棒性综合问题
➢ 他依然很喜欢你，且对周边年轻漂亮 的女孩子把持的住。
➢ 则我们说： ➢ 他是鲁棒稳定的（Robust）。
大话非脆弱
➢ 前面说的都是假定你是坚定的、把感情作为 始终不渝的，他的反应。现在，再来一点更 厉害的：
➢ 当你变老了、不再漂亮了；或更极端地，当 你自己有点变心、花心、甚至犯了点错误的 时候，他若依然是稳定的。亦即：
+
y
+
控制目标：尽量减少跟踪误差，即
由w1到e的传函
1 Ws (s) I [P(s) (s)W (s)]K (s) 1
确保鲁棒稳定性： W (s)P(s)K(s)S(s) 1
其中 S(s)
1
I P(s)K(s)
注意到
Ws
(s)
I
[P(s)
1 (s)W
(s)]K
(s)
Ws (s)S(s)[I (s)W (s)K (s)S(s)]1
2）对控制性能影响大的中低频域内应尽量使W(s)不过分超过 摄动的增益
W(s)设计方法：
1）系统辨识法：画出实际系统频率响应P(jω)和模型频率响 应P0(jω)之差的bode图，选取加权函数覆盖住P(jω)-P0(jω)
2）近似法：用低阶P0(s)近似逼近高阶系统P(s) 3）参数摄动法：使用摄动幅度的估值
定理4.4 对上述系统，存在正定矩阵P，使得二次型函数 V(x)=xTPx成为Lyapunov函数，且沿任意状态轨线 Vx[ AA(t )]x x(t) 2 , t 0
成立的充要条件为：存在适当λ>0和正定阵Q>0，使得
Riccati方程
AT P
PA 2 PEET P
1
2
FT F
Q
0
有正定解P，其中ε为适当常数。
为力
鲁棒性(Robustness)
一般地，总假设已知受控对象的模型(标称模型)，但实际 中存在种种不确定因素，如：
➢ 参数变化； ➢ 未建模动态特性；
内部不确定性
➢ 平衡点的变化；
➢ 传感器噪声；
外部不确定性
➢ 不可预测的干扰输入；
所以标称模型只能是实际物理系统的不精确表示。
➢ 鲁棒性: 在外界干扰或系统模型发生变化时系统性能的保 持能力；
鲁棒稳定性的频域判定条件
➢ 反馈控制系统Σ
+
_
u
y
H(s)
G(s)
G(s) N1(s) , D1 ( s)
闭环传函
H (s) N2 (s) D2 (s)
F(s) G(s)H (s) 1 G(s)H (s)
通过F(s)的极点分布，判断系统的稳定性。
也就是研究1+G(s)H(s)=0 的根，即
的根的情况
将A(θ)和B(θ)分离成标称值和摄动部分之和形式
A( ) A0 A( ), B( ) B0 B( )
摄动部分尽可能分离
A( B(
) )
Ea( Eb(
) Fa ) Fb
注：分离的不唯一性→保守性的讨论
2、非参数化不确定模型
——不确定性用未知摄动函数或动态方程表示
I) 静态函数摄动（不改变系统的维数）
非线性系统
x f (x) f (x) [g(x) g(x)]u
y
h( x)
h( x)
[d
(x)
d (x)]u
标称系统线性形式
x Ax f (x) [B g(x)]u y Cx h(x) [D d (x)]u
摄动函数也线性
x Ax Ax [B B]u y Cx Cx [D D]u
稳定性与鲁棒性基础
Lecture 3: 鲁棒控制基础
倒立摆控制
智能控制
倒立摆的控制模型
I
m
d2 dt 2
(l
cos )
mg l
sin
m
d2 dt 2
(x
l
sin
) l
cos
M
d 2x dt 2
u
m
d2 dt 2
(xl sin )
在平衡点 T 0 0T 处线性化
(M m)x ml u (I ml2 ) mlx mgl
平稳性
不确定 性
处理方法：将系统中不确定性归结为一类对微分方程初始条 件的瞬时扰动，通过标称系统的稳定性，来保证系统在运 行时对这些不确定性引起的响应的稳定性；
缺点：与实际工程运行相差较大；(因假设小扰动) 设计系统时无法事先定量把握不
确定性对系统性能品质的影响
如：电力系统中 的切机、切负荷、 短路等扰动无能
半圆绕过该极点。
➢ 小增益定理：设未知摄动有界且满足 (s) 1，则该系 统对于任意 (s) 是鲁棒稳定的充要条件为：
M (s) 1
w1 ＋ ＋ e1
Δ(s) M(s)
e2
＋ w2 ＋
➢ 定理作用：频域描述的不确定反馈是鲁棒稳定的判断条件 ➢ 小增益定理相当于P=0,v=0时的Nyquist稳定判据定理 ➢ 当稳定的开环系统增益小于1时，闭环系统是稳定的，故得
基 本 反 熵 目 标 ：
•
大话稳定
➢ 他的周围近来晃来晃去的都是其他年轻 漂亮女孩子。有的还……；
➢ 虽然他的确也动了点心，但终究还把持 得住，依然很喜欢你。
➢ 则我们说：他是稳定的。
➢ 不稳定的男生是不能实际作为男朋友来 对待的
➢ 这是可持续恋爱的基本性质。
大话鲁棒
➢ 他的地位变了，升迁了，发达了，抑 或变得与以前大不一样的时候，他依 然还是稳定的，亦即：
名小增益定理
u＋
➢ 反馈控制系统，P(s)为被控对象 _
K(s)为控制器
P(s)
y
K(s)
各类不确定性系统的鲁棒稳定性，均转化为一个传函的H∞范数 不等式——鲁棒稳定性指标转化为标称系统的H∞范数约束条件
➢ 以反馈类型2为例
K(s) _
w Δ(s)
_ +
z
W(s)
P0(s)
P(s)
求得摄动Δ的输出w到输入z的传函
在 (s) 1 的范围内Δ可任意取值，使得
I (s)W (s)K(s)S(s) 1
这样会使得跟踪极为恶化
故鲁棒跟踪问题的要满足两个条件同时成立
W (s)P(s)K(s)S(s) 1
Ws (s)S(s)[I (s)W (s)K(s)S(s)]1 1
如何设计控制器满足以上条件？ 条件中还含有摄动项Δ？
➢ 当系统具有非线性摄动时
x Ax f (x) 且 f (x)＝E(x), 其中T (x)(x) xT F T Fx
定理4.4的结论仍然成立
➢ 据Riccati方程与H∞范数关系，定理4.4中Riccati方程有正 定解P的充要条件为A稳定，且
F (sI A)1 E 1
H∞范数约束下鲁棒性能准则
(2) 加法不确定性
W(s)
ΔP(s)
+
P0(s)
+
P(s) P0 (s) P(s)W (s),
P(s) 1
(3) 反馈不确定性
ΔP(s)
W(s)
_
+
P0(s)
P(s)
P0 (s)
, P(s) 1
1 P(s)W (s)P0 (s)
ΔP(s)
W(s)
_
P0(s)
+
P(s)
P0 (s)
, P(s) 1
❖ 鲁棒稳定性 ❖ 鲁棒性能准则
H∞范数约束
H∞控制问题
H∞性能指标下，如何设计反馈控制器？
戏说稳定、鲁棒、非脆弱
——以下摘自邹云教授《控制论》PPT
•他是你的男朋友。 •他是受控对象， •你是控制器。
干扰， 干扰， 我扰， ……
也 没 有 其 他 女 孩 。
眉 ； 你 要 他 身 旁 再
你 要 他 一 生 为 你 画
最终建立起被控量θ和控制量u之间的关系
:
(M m)mgl (M m)I Mml 2
(M
ml m)I
Mml 2
u
近似描述单摆运动规律，寻找合适u使平衡态 T 0 0T 稳定
➢ 建模，控制：忽略某些动态特性→线性化模型→控制u完全根 据Σ设计
➢ 实际系统：控制效果？诸多不确定因素的影响？
系统 Lyapunov稳定性理论三要素 扰动
➢ 鲁棒控制最终目标： 使得系统满足所要求的鲁棒性能
信号跟踪 干扰抑制 响应性 最优性
稳定性是 前提条件
➢ 对频率响应为Ws(s)的目标信号的跟踪问题
设被控对象含加法摄动
P~(s) P(s) (s)W (s), (s) 1
e
W(s) z2 Δ(s)
w2
w1
Ws(s)
+
_r
K(s) u
P(s)
1 P(s)W (s)
➢ 加权函数W(s)的作用：实际摄动结构难以获知，使用以上 三种不确定性模型简单有效，但ΔP(s)会扩大实际摄动的 范围，为降低系统保守性，选择合适加权，使摄动不过分 偏离实际
加权函数W(s)建模
建模原则：
1）尽可能减少模型的保守性，使得加权函数所包含的摄动尽 可能贴近实际；
标称部分
不确定部 分
线性不确定系统频域模型
常用不确定系统模型的类型：系统记为(P0,ΔP)
(1) 乘法不确定性
W(s)
ΔP(s)
+
P0(s)
+
P(s) [1 P(s)W (s)]P0 (s),
P(s) 1
P0(s)—标称模型，ΔP(s)—未知摄动函数 W(s)—摄动界函数，或加权函数(一般是稳定传函)
同样，尽量分离不确定项，以降低鲁棒性设计带来的保守性，
如
A FE
E,F为已知适维矩阵
Σ为未知矩阵
II) 动态摄动（改变系统的维数）
非线性系统
x f (x,) g(x,)u
Q(x, )
P( )
其中，ξ描述了不确定性的未知状态
3、频域模型描述
具有不确定性的线性系统传函
P(s) P0 (s) P(s)