运筹学讲义——影子价格

A 工 时 1 1 材 料
B 1 4
C 1 7
拥有量 3 9
影 子 价 格 举 例
单件利润
m in W 3 y1 9 y 2
2
3
3
y1 y1 s .t . y1 y 1
y2 2 4 y2 3 7 y2 3 0, y 2 0
y*1=5/3, y*2=1/3
1 3 1 1 7 3 1 0
3 1 B 9
1 3 1 3 1 9 2 3
1 B N
4 3 1 3
0 1 1 2
0
3
x4
x2 －Ｚ
3/4
9/4 -27/4
3/4
1/4 -1/4
0
1 0
-3/4
7/4 -9/4
1
0 0
-1/4
1/4 -3/4
例2－7 线性规划
价值系数CB发生改变
灵 敏 度 分 析
cj
4 xj x1 1
3 x2 1
3 x3 1
0 x4 1
0 x5 0
XB
CB 0 x4 b 3

0
4 3
x5
x1 x2 －Ｚ
例2－7 线性规划
价值系数CN发生改变
灵 敏 度 分 析
cj
2 xj x1 1
3 x2 1
5 x3 1
0 x4 1
0 x5 0
XB
CB 0 x4 b 3

0
2 3
x5
x1 x2 －Ｚ
9
1 2 -8
1
1 0 0
4
0 1 0
7
-1 2 1
0
4/3 -1/3 -5/3
1
-1/3 1/3 -1/3 ∞ 1
A 工 时 1 1 材 料
B 1 4
C 1 7
拥有量 3 9
影 子 价 格 举 例
单件利润
m in W 3 y1 9 y 2
2
3
3
y*1=5/3, y*2=1/3 即工时的影子价格为5/3， 材料的影子价格为1/3。 如果目前市场上材料的价 格低于1/3，则企业可以 购进材料来扩大生产，反 之可以卖掉部分材料。 如果有客户以高于5/3 的价格购买工时，则可以 出售一些工时，反之则反
2
5
x1
x3 －Ｚ
2
1 -9
1
0 0
1/2
1/2 -0.5
0
1 0
7/6
-1/6 -3/2
-1/6
1/6 -1/2
例2－7 线性规划
价值系数CB发生改变
灵 敏 度 分 析
cj
2 C1 xj x1 1
3 x2 1
3 x3 1
0 x4 1
0 x5 0
XB
CB 0 x4 b 3

0
2 C1 3
x5
x1 x2 －Ｚ
灵 敏 度 分 析
XB
CB
0 0 2 3 x4 x5 x1 x2 －Ｚ 最小比值 0 3 X5 X2 －Ｚ
灵 敏 度 分 析
最优化后分析，可归为以下两类问题： 1）当系数A，b，C发生改变时，目前 最优基是否还最优？ 2） 为保持目前最优基还是最优，系 数A，b，C的允许变化范围是什么？ 假设每次只有一种系数变化 灵敏度分析包括以下五种： ①目标系数C变化 基变量系数发生变化； 非基变量系数发生变化； ②右端常数b变化 ③增加一个变量 ④增加一个约束 ⑤技术系数A发生变化
影子价格
对偶最优解的经济含义――影子价格
Z * b1 y 1 b 2 y 2 b m y m
* * *
Z

影 子 价 格
代表着当第i个右端常数增加一个 单位时，最优目标函数值的相应增量。
bi
yi

其含义是在目前已给定的情况下，最 优目标值随资源数量变化的变化率； 其经济含义是为约束条件所付出的代 价。 当B是原问题的最优基时，Y=CBB-1 就是影子价格向量。
2
x1
3
x2
3
x3
0
x4
0
X5
3
x2
－Ｚ
2
-8
0
0
1
0
2
-1
-1/3
-5/3
1/3
-1/3
例2－7 线性规划
cj 2 xj b x1 3 x2 3 x3 0 x4 0 X5
灵 敏 度 分 析
XB CB
0
0源自文库
x4
x5
3
9
1
1
1
4
1
7
1
0
0
1
2
3
x1
x2 －Ｚ
1
2 -8
1 4
1
0 0
0
1 0
1 N 7
-1
2 -1
1 0
4/3
-1/3 -5/3
-1/3
1/3 -1/3
1/ 3 1/3
4 3 1 3 1 3 1 3
1 B ( P1 , P2 ) 1
4 3 1 3
0 4/3 1 , B 1/3 1


影 子 价 格 的 基 本 性 质
定理1：在某项经济活动中，在资源 得到最优配置条件下，
若 x j〉， 则 有 a i j y j c j ; 0
i= 1 m
若 aij y j c j , 则 有 x j = 0

m
此定理的经济意义： （1）若生产一个单位第j种产品按消耗 资源的影子价格计算的支出等于销售 一个单位该产品所得收入，则可生产 此产品。 （2）如果生产一个单位的第j种产品按 所消耗资源的影子价格计算的支出大 于销售一个单位该产品得到的收入， 则不宜生产此产品。
灵 敏 度 分 析
更进一步，为了防止在各类状 况发生时，来不及随时对其变 化作出反应，即所谓“计划不 如变化快”，企业应当预先了 解，当各项因素变化时，应当 作出什么样的反应。
灵 敏 度 分 析
设线性规划问题： maxZ=CX s.t. AX=b A代表企业技术状况 b 代表企业资源状况 C代表企业产品市场状况（利润) 这些因素不 变的情况下，企业最 优生产计划和最大利润由线性规划 的最优解和最优值决定。
1 b 4 b 3 1 3 1 3 1 9 3 b / 3 1 3
9/4≤b1 ≤9
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
cj 2 xj x1 1 1 1 0 0 3 x2 1 4 0 1 0 3 x3 1 7 -1 2 -1 1 1 2 -6 -3 1 -1 0 1 0 3 1 0 -4 1 -3 0 x4 1 0 4/3 -1/3 -5/3 0 x5 0 1 -1/3 1/3 -1/3 1 1 0 0
影 子 价 格
影子价格是根据资源在生产中 作出的贡献而作出的估价，这 种估价不是资源的市场价格。 它反映了在最优经济结构中， 在资源得到最优配置前提下， 资源的边际使用价值。 单纯形表中松弛变量所对应的 检验数的相反数是在该经济结 构中的影子价格，也可以说对 偶问题的最优解向量是结构中 的影子价格。
x1 x 2 x 3 x 4 3 x1 4 x 2 7 x 3 x 5 9 x ~ x 3 5 1
cj
XB CB 0 0 2 x4 x5 x1 b 3 9 1 1 1 1 1 4 0 1 7 -1 1 0 4/3 0 1 -1/3 xj
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
cj XB xj b CB 2 x1 3 x2 3 x3 0 x4 0 X5
灵 敏 度 分 析
0
0
x4
x5
3
9
1
1
1
4
1
7
1
0
0
1
2
3
x1
x2 －Ｚ
1
2 -8
1
0 0
0
1 0
-1
2 -1
4/3
-1/3 -5/3
-1/3
1/3 -1/3
3-2*（-1）-3*2=-1
例2－7 线性规划
9
1 2 -8
1
1 0 0
4
0 1 0
7
-1 2
0
4/3 -1/3
1
-1/3 1/3
-1 -5/3 -1/3 C1-3 1-4/3C1 1/3C1-1
C1-3 ≤0, 1-4/3C1≤0, 1/3C1-1≤0 ¾ ≤C1≤3 若C1<3/4 则x4进基，x1出基 若3< C1 则x3或x5进基，x2出基
例2－7 线性规划
价值系数CB发生改变
灵 敏 度 分 析
cj
1/2 xj x1 1
3 x2 1
3 x3 1
0 x4 1
0 x5 0
XB
CB 0 x4 b 3

0
1/2 3
x5
x1 x2 －Ｚ
9
1 2 -13/2
1
1 0 0
4
0 1 0
7
-1 2 -5/2
0
4/3 -1/3 1/3
1
-1/3 1/3 -5/6 3/4 ∞
价值系数CN发生改变
灵 敏 度 分 析
cj
2 xj x1 1
3 x2 1
3 C3 x3 1
0 x4 1
0 x5 0
XB
CB 0 x4 b 3

0
2 3
x5
x1 x2 －Ｚ
9
1 2 -8
1
1 0 0
4
0 1 0
7
-1 2 -1 C3-4
0
4/3 -1/3 -5/3
1
-1/3 1/3 -1/3
如果C3>4,则目前解不再是最优解,应该用单纯形方 法继续求解,否则解不变。即对于C3而言,使最优解 不变的条件是C3≤4。
影 子 价 格 的 特 点
任何一种商品的 市场价格都不可 能为0 市场价格为已知 数，相对比较稳 定。
灵敏度分析
灵 敏 度 分 析
在生产计划问题的一般形式中，A代 表企业的技术状况，b代表企业的资源状况， 而C代表企业产品的市场状况，在这些因 素不变的情况下企业的最优生产计划和最 大利润由线性规划的最优解和最优值决定。 在实际生产过程中，上述三类因素均是 在不断变化的，如果按照初始的状况制订 了最佳的生产计划，而在计划实施前或实 施中上述状况发生了改变，则决策者所关 心的是目前所执行的计划还是不是最优， 如果不是应该如何修订原来的最优计划。
0 x4 1
0 x5 0
XB
CB 0 x4 b 3 b1

0
2
x5
x1
9
1
1 0 0
4
0 1 0
7
-1 2 -1
0
4/3 -1/3 -5/3
1
-1/3 1/3 -1/3
4b1/3-3 1 3 x2 2 3-b1/3 －Ｚ -3-5b /3 -81
b 1 1 B 9 4 3 1 3
若B是最优基，则最优表形式如下
cj CB xj b B-1b
- CB B-1b
CN XNT B-1N
灵 敏 度 分 析
CB XB CBT XB
－Ｚ
XBT B-1B
CB- CB B-1B CN- CB B-1N
灵敏度分析总是在最优表上进行
例2－7 线性规划
max Z 2 x 1 3 x 2 3 x 3 0 x 4 0 x 5
9
1 2 -10
1
1 0 0
4
0 1 0
7
-1 2 1
0
4/3 -1/3 -13/3
1
-1/3 1/3 1/3 ∞ 3/2
4
0
X1
X5 －Ｚ
3
6 -12
1
0 0
1
3 -1
1
6 -1
1
-1 -4
0
1 0
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
灵 敏 度 分 析
cj
2 xj x1 1
3 x2 1
3 x3 1
i= 1

定理2：在某项经济活动中，在资源得到
影 子 价 格
最优配置条件下， n a i j x j bi （1）若第种资源供大于求，即 j= 1 n 则该项资源的影子价格为0 a i j x j bi （2）若第种资源供求平衡，即 1 j= 则该项资源的影子价格大于等于0。 ■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧 缺（根据影子价格确定资源采购,当市场 价格低于影子价格，就买进资源，当市场 价格高于影子价格，就卖出资源） ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这 种资源的影子价格一定等于0
影 子 价 格 举 例
即工时的影子价格为5/3，材料的影子价格为1/3。
分析： 1. y1=5/3说明在现有的资源限量的条件下， 增加一个单位第一种资源可以给企业带来5/3元 的利润；如果要出售该资源，其价格至少在成本 价上加5/3元。 如果y1为0，则表示增加第一种资源不会增加利 润，因为第一种资源还 没有用完。
y1 y1 s .t . y1 y 1
y2 2 4 y2 3 7 y2 3 0, y 2 0
和市场价格的比较
影 子 价 格 的 特 点
市场价格
影子价格
商品的价值的货币 资源最优利用时的边际 表现 价值 随着市场的供求情 随着经济结构的变化而 况和有关方针，政 变化，同一资源在不同 策的变化而变化。 的经济结构中影子价格 不同。
它的制定含定价者 它的形成完全由经济结 的主观因素 构的客观条件确定。
它的制定是个比较 它的计算是比较容易的。 复杂的过程，不存 用单纯形法求得 在统一的计算公式。

继续比较
影子价格可以为0， 当资源过剩是，其 影子价格为0 影子价格则有赖于 资源利用情况，是 未知数。因企业生 产任务，产品的结 构等情况发生变化， 资源的影子价格也 随之改变。