电磁场(第一章)矢量分析(1)
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ˆ + z ( Ax B y − A y B x )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x × y = z， y × z = x， z × x = y
每一分量都是由两项的差组成； 每一分量都是由两项的差组成； r r A × B = Ax A y Az 每一项的下标不含该分量符号； 每一项的下标不含该分量符号； Bx B y Bz 若每一项由A的分量乘以 的分量， 的分量乘以B的分量 若每一项由 的分量乘以 的分量，则 和的下标顺序是： 和的下标顺序是：x→y→z→x；差的是：z→y→x→z。 ；差的是： 。
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2、散度 、
电磁场理论基础
1.2.3 散度定理（高斯公式） 散度定理（高斯公式）
定理的内容： 定理的内容：矢量场散度的体积分等于该矢量穿 过包围该体积的封闭面的总通量， 过包围该体积的封闭面的总通量，即 r r r ∫∫∫V ∇ ⋅ A d v = ∫∫S A ⋅ d s 点电荷q在离其 在离其r处产生的电通量密度为 例1.1 点电荷 在离其 处产生的电通量密度为 r q r r ˆ ˆ ˆ D= r ， r = xx + yy + zz ， r = x 2 + y 2 + z 2 3 4πr 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以r为半径 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以 为半径 的球面的电通量Ψe。 的球面的电通量 r ˆ ˆ q r ˆ q xx + yy + z z r= 解： D = 3 4π ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2 4πr
2
− 2 2 2 5 2 (x + y + z ) 3x2
q r 2 − 3x2 = 4π r5 ∂D y q r2 − 3y2 ∂D z q r 2 − 3z 2 = ， = 5 5 ∂y 4π ∂z 4π r r
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电磁场理论基础
r ∂D x ∂D y ∂D z ∇⋅D = + 电磁场理论基础
r r r ∫∫S A ⋅ d s 是标量 div A = lim ∆V ∆V → 0 表示单位体 r r div A = ∇ ⋅ A 积中的通量 r ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∇⋅A=x ˆ ∂x + y ∂y + z ∂z ⋅ ( xAx + yA y + zAz ) ∂Ax ∂Ay ∂Az = + + ∂x ∂y ∂z r r r r r r r ∇ ⋅ ( A ± B ) = ∇ ⋅ A ± ∇ ⋅ B , ∇ ⋅ (φA) = φ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇ φ r 若各点的 ∇ ⋅ A = 0，则称为无源场或管形 场。
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电磁场理论基础
r r ˆ （ 6） A × C = x[ 2 ⋅ ( −2 ) − ( − 3) ⋅ 0] ˆ + y[( − 3) ⋅ 5 − 1 ⋅ ( − 2 )]
ˆ + z[1 ⋅ 0 − 2 ⋅ 5] ˆ ˆ ˆ = − 4 x − 13 y − 10 z
r ˆ ˆ ˆ A = x + 2 y − 3 z;
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ˆ x
ˆ y
ˆ z
电磁场理论基础
1.1.3 三重积
r r r r r r r r r A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A ) = C ⋅ ( A × B )
就是三矢量所构成的平行六面体的体积。 就是三矢量所构成的平行六面体的体积。 r r r r r r r r r A × (B × C ) = B( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B) 例题： 例题：给定三矢量 r r r ˆ ˆ ˆ A = x + 2 y − 3 z ; B = −4 x + z ; C = 5 x − 2 z。 ˆ ˆ ˆ ˆ r r r r ：（1） ； ） 求：（ ）A； 2） A − B ; （3） A ⋅ B ; （4）θAB； （ ） ） r r r r （ 5） A 在 C 方向上的分量 ; （ 6） A × C 。 ：（1） 解：（ ） A =
r r A ⋅ B = AB cos α AB r r r r ˆ ˆ( 7 A ± B = x ( Ax ± A ⋅xB + y ( A y ± B y ) + z −Az ± B z ) B ) ˆ −7 r cos α AB = AB r = 14 ⋅ 17 = 238 r ˆ ˆ ˆ A = x + 2 y − 3 z ; B = −4 x + z ; C = 5 x − 2 z。 ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 2 Ax + A y + Az
= 12 + 2 2 + ( − 3) 2 = 14
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电磁场理论基础
r r ˆ ˆ ˆ （ 2） A − B = x ( Ax − B x ) + y ( A y − B y ) + z ( Az − B z ) ˆ ˆ ˆ = x[1 − ( − 4 )] + y ( 2 − 0 ) + z ( − 3 − 1)
ˆ z表示直角坐标系中 z方向上的单位矢量。
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电磁场理论基础
●一个矢量可用直角坐标系中的三个坐标分量 x、 一个矢量可用直角坐标系中的三个坐标分量A 一个矢量可用直角坐标系中的三个坐标分量 Ay、Az来表示， 来表示， r Az z ˆ ˆ ˆ A = xAx + yA y + zAz r γ A 2 2 2 模 A = Ax + A y + Az β Ay O r y Ay α A Ax Az A ˆ ˆ ˆ ˆ A= = x +y +z x A A A A x ˆ ˆ ˆ = x cos α + y cos β + z cos γ r cos α 、cos β 、cos γ称为 A 的方向余弦。 r ˆ ˆ ˆ B = xB x + yB y + zB z r r ˆ ˆ ˆ A ± B = x ( Ax ± B x ) + y ( A y ± B y ) + z ( Az ± B z ) 两矢量的和或差也可用平行四边形法求得。 两矢量的和或差也可用平行四边形法求得。
C C＝A× B an aA A (a)
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O
aB B
B A
θ
(b)
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电磁场理论基础
r r ˆ A × B = n AB sin α AB r r r r A × B = − ( B × A)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x× x = y× y = z× z = 0
r r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A × B = ( xAx + yA y + zAz ) × ( xB x + yB y + zB z ) ˆ = x ( A y B z − Az B y ) + y ( Az B x − Ax B z ) ˆ
1.1.1 矢量表示法及其和差
仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量 标量。 ●仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。 具有大小和方向的物理量称为矢量 矢量。 ●具有大小和方向的物理量称为矢量。 习惯上用黑体符号或在符号上加箭头来表示矢量。 习惯上用黑体符号或在符号上加箭头来表示矢量 在符号上加箭头来表示矢量 r r A、 B 模值（大小） 的矢量称为单位矢量 ●模值（大小）为1的矢量称为单位矢量。 的矢量称为单位矢量。 符号上加“ 来表示。 用符号上加“＾”来表示。 ˆ x表示直角坐标系中 x方向上的单位矢量。 ˆ y表示直角坐标系中 y方向上的单位矢量。
电磁场理论基础
第一章 矢量分析
§1.1 矢量表示法和代数运算 通量与散度， §1.2 通量与散度，散度定理 §1.3 环量与旋度，斯托克斯定理 环量与旋度， 方向导数与梯度， §1.4 方向导数与梯度，格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
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电磁场理论基础
§1.1 矢量表示法和代数运算
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电磁场理论基础
ˆ ˆ ˆ = xD x + yD y + zD z
q x Dx = 4π ( x 2 + y 2 + z 2 )3
2
∂D x q ∂ x = 2 2 2 3 2 ∂x 4π ∂x ( x + y + z )
q = 4π 1 2 ( x + y 2 + z 2 )3
ˆ ˆ ˆ = 5x + 2 y − 4z
r r A − B = 5 2 + 2 2 + ( − 4 ) 2 = 45 = 3 5 r r （ 3） A ⋅ B = Ax B x + A y B y + Az B z = 1 ⋅ ( − 4 ) + 2 ⋅ 0 + ( − 3) ⋅ 1 = − 7
2 2 2 （ 4）B = B x + B y + B z = ( −4) 2 + 0 + 12 = 17
r ˆ ˆ C = 5 x − 2 z。
r r ˆ A × B = x ( A y B z − Az B y ) + y ( Az B x − Ax B z ) ˆ ˆ + z ( Ax B y − A y B x )
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电磁场理论基础
通量与散度， §1.2 通量与散度，散度定理
1.2.1 通量
r r r ˆ Ψ = ∫∫S A ⋅ d s = ∫∫S A ⋅ n d s r r Ψ = ∫∫S A ⋅ d s
1.2.2 散度，哈密顿算子 散度，
1、哈密顿算子 、
矢量场的通量
∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ∇=x +y +z ∂x ∂y ∂z r r r r ∇ ⋅ A ≠ A ⋅ ∇， ∇ × A ≠ − A × ∇
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电磁场理论基础
α AB
−7 = arccos ≈ 117 ° 238
2 2
v A
（ 5） C = 5 + ( − 2 ) = 29
r r A⋅C 11 A′ = A cos θ AC = = C 29 r r A ⋅ C = Ax C x + A y C y + Az C z
v A′
q r 2 − 3x2 q r2 − 3y2 q r 2 − 3z 2 = + + 5 5 4π 4π 4π r r r5 q 3r 2 − 3( x 2 + y 2 + z 2 ) =0 = 4π r5 r r q r Ψ e = ∫∫S D ⋅ d s = ˆ ∫∫S r ⋅ r d s 4πr 3 q q ⋅ 4πr 2 = q = ds = 2 2 ∫∫S 4πr 4πr
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电磁场理论基础
两矢量的叉乘是一矢量。 叉乘是一矢量 ●两矢量的叉乘是一矢量。 大小等于两个矢量模值相乘， 其大小等于两个矢量模值相乘，再乘以它们夹角 αAB（≤π）的正弦： ）的正弦： r r A × B = AB sin α AB 就是两矢量所形成的平行四边形的面积。 就是两矢量所形成的平行四边形的面积。 平行四边形的面积 方向与两矢量成右手螺旋关系， 其方向与两矢量成右手螺旋关系，为两矢量所在 ˆ 平面的右手法向n 。
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电磁场理论基础
1.1.2 标量积（点乘）和矢量积（叉乘） 标量积（点乘）和矢量积（叉乘）
两矢量的点乘是一标量， 点乘是一标量 ●两矢量的点乘是一标量，等于两个矢量模值相 再乘以它们夹角α 乘，再乘以它们夹角 AB（αAB≤π）的余弦： ）的余弦： r r A ⋅ B = AB cos α AB 它就是一个矢量1的模与另一个矢量 在该矢量1上的 的模与另一个矢量2在该矢量 它就是一个矢量 的模与另一个矢量 在该矢量 上的 投影的乘积。 投影的乘积。 r r r r A⋅B = B ⋅ A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x⋅ y = y⋅z = z⋅x = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x⋅x = y⋅ y = z⋅z =1 r r A ⋅ B = Ax B x + A y B y + Az B z r r 2 2 2 A ⋅ A = Ax + A y + Az
v C
r ˆ ˆ ˆ = C = 5x − 2z = C C 29
= 1 × 5 + 2 × 0 + ( − 3) × ( − 2 ) = 11
5 2 ˆ− ˆ x z 29 29
r ˆ = 11 (5 x − 2 z ) ˆ ˆ A′ = A′C 29
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r ˆ ˆ ˆ A = x + 2 y − 3 z; r ˆ ˆ C = 5 x − 2 z。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x × y = z， y × z = x， z × x = y
每一分量都是由两项的差组成； 每一分量都是由两项的差组成； r r A × B = Ax A y Az 每一项的下标不含该分量符号； 每一项的下标不含该分量符号； Bx B y Bz 若每一项由A的分量乘以 的分量， 的分量乘以B的分量 若每一项由 的分量乘以 的分量，则 和的下标顺序是： 和的下标顺序是：x→y→z→x；差的是：z→y→x→z。 ；差的是： 。
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2、散度 、
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1.2.3 散度定理（高斯公式） 散度定理（高斯公式）
定理的内容： 定理的内容：矢量场散度的体积分等于该矢量穿 过包围该体积的封闭面的总通量， 过包围该体积的封闭面的总通量，即 r r r ∫∫∫V ∇ ⋅ A d v = ∫∫S A ⋅ d s 点电荷q在离其 在离其r处产生的电通量密度为 例1.1 点电荷 在离其 处产生的电通量密度为 r q r r ˆ ˆ ˆ D= r ， r = xx + yy + zz ， r = x 2 + y 2 + z 2 3 4πr 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以r为半径 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以 为半径 的球面的电通量Ψe。 的球面的电通量 r ˆ ˆ q r ˆ q xx + yy + z z r= 解： D = 3 4π ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2 4πr
2
− 2 2 2 5 2 (x + y + z ) 3x2
q r 2 − 3x2 = 4π r5 ∂D y q r2 − 3y2 ∂D z q r 2 − 3z 2 = ， = 5 5 ∂y 4π ∂z 4π r r
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r ∂D x ∂D y ∂D z ∇⋅D = + 电磁场理论基础
r r r ∫∫S A ⋅ d s 是标量 div A = lim ∆V ∆V → 0 表示单位体 r r div A = ∇ ⋅ A 积中的通量 r ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∇⋅A=x ˆ ∂x + y ∂y + z ∂z ⋅ ( xAx + yA y + zAz ) ∂Ax ∂Ay ∂Az = + + ∂x ∂y ∂z r r r r r r r ∇ ⋅ ( A ± B ) = ∇ ⋅ A ± ∇ ⋅ B , ∇ ⋅ (φA) = φ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇ φ r 若各点的 ∇ ⋅ A = 0，则称为无源场或管形 场。
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r r ˆ （ 6） A × C = x[ 2 ⋅ ( −2 ) − ( − 3) ⋅ 0] ˆ + y[( − 3) ⋅ 5 − 1 ⋅ ( − 2 )]
ˆ + z[1 ⋅ 0 − 2 ⋅ 5] ˆ ˆ ˆ = − 4 x − 13 y − 10 z
r ˆ ˆ ˆ A = x + 2 y − 3 z;
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ˆ x
ˆ y
ˆ z
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1.1.3 三重积
r r r r r r r r r A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A ) = C ⋅ ( A × B )
就是三矢量所构成的平行六面体的体积。 就是三矢量所构成的平行六面体的体积。 r r r r r r r r r A × (B × C ) = B( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B) 例题： 例题：给定三矢量 r r r ˆ ˆ ˆ A = x + 2 y − 3 z ; B = −4 x + z ; C = 5 x − 2 z。 ˆ ˆ ˆ ˆ r r r r ：（1） ； ） 求：（ ）A； 2） A − B ; （3） A ⋅ B ; （4）θAB； （ ） ） r r r r （ 5） A 在 C 方向上的分量 ; （ 6） A × C 。 ：（1） 解：（ ） A =
r r A ⋅ B = AB cos α AB r r r r ˆ ˆ( 7 A ± B = x ( Ax ± A ⋅xB + y ( A y ± B y ) + z −Az ± B z ) B ) ˆ −7 r cos α AB = AB r = 14 ⋅ 17 = 238 r ˆ ˆ ˆ A = x + 2 y − 3 z ; B = −4 x + z ; C = 5 x − 2 z。 ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 2 Ax + A y + Az
= 12 + 2 2 + ( − 3) 2 = 14
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r r ˆ ˆ ˆ （ 2） A − B = x ( Ax − B x ) + y ( A y − B y ) + z ( Az − B z ) ˆ ˆ ˆ = x[1 − ( − 4 )] + y ( 2 − 0 ) + z ( − 3 − 1)
ˆ z表示直角坐标系中 z方向上的单位矢量。
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●一个矢量可用直角坐标系中的三个坐标分量 x、 一个矢量可用直角坐标系中的三个坐标分量A 一个矢量可用直角坐标系中的三个坐标分量 Ay、Az来表示， 来表示， r Az z ˆ ˆ ˆ A = xAx + yA y + zAz r γ A 2 2 2 模 A = Ax + A y + Az β Ay O r y Ay α A Ax Az A ˆ ˆ ˆ ˆ A= = x +y +z x A A A A x ˆ ˆ ˆ = x cos α + y cos β + z cos γ r cos α 、cos β 、cos γ称为 A 的方向余弦。 r ˆ ˆ ˆ B = xB x + yB y + zB z r r ˆ ˆ ˆ A ± B = x ( Ax ± B x ) + y ( A y ± B y ) + z ( Az ± B z ) 两矢量的和或差也可用平行四边形法求得。 两矢量的和或差也可用平行四边形法求得。
C C＝A× B an aA A (a)
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O
aB B
B A
θ
(b)
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r r ˆ A × B = n AB sin α AB r r r r A × B = − ( B × A)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x× x = y× y = z× z = 0
r r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A × B = ( xAx + yA y + zAz ) × ( xB x + yB y + zB z ) ˆ = x ( A y B z − Az B y ) + y ( Az B x − Ax B z ) ˆ
1.1.1 矢量表示法及其和差
仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量 标量。 ●仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。 具有大小和方向的物理量称为矢量 矢量。 ●具有大小和方向的物理量称为矢量。 习惯上用黑体符号或在符号上加箭头来表示矢量。 习惯上用黑体符号或在符号上加箭头来表示矢量 在符号上加箭头来表示矢量 r r A、 B 模值（大小） 的矢量称为单位矢量 ●模值（大小）为1的矢量称为单位矢量。 的矢量称为单位矢量。 符号上加“ 来表示。 用符号上加“＾”来表示。 ˆ x表示直角坐标系中 x方向上的单位矢量。 ˆ y表示直角坐标系中 y方向上的单位矢量。
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第一章 矢量分析
§1.1 矢量表示法和代数运算 通量与散度， §1.2 通量与散度，散度定理 §1.3 环量与旋度，斯托克斯定理 环量与旋度， 方向导数与梯度， §1.4 方向导数与梯度，格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
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§1.1 矢量表示法和代数运算
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ˆ ˆ ˆ = xD x + yD y + zD z
q x Dx = 4π ( x 2 + y 2 + z 2 )3
2
∂D x q ∂ x = 2 2 2 3 2 ∂x 4π ∂x ( x + y + z )
q = 4π 1 2 ( x + y 2 + z 2 )3
ˆ ˆ ˆ = 5x + 2 y − 4z
r r A − B = 5 2 + 2 2 + ( − 4 ) 2 = 45 = 3 5 r r （ 3） A ⋅ B = Ax B x + A y B y + Az B z = 1 ⋅ ( − 4 ) + 2 ⋅ 0 + ( − 3) ⋅ 1 = − 7
2 2 2 （ 4）B = B x + B y + B z = ( −4) 2 + 0 + 12 = 17
r ˆ ˆ C = 5 x − 2 z。
r r ˆ A × B = x ( A y B z − Az B y ) + y ( Az B x − Ax B z ) ˆ ˆ + z ( Ax B y − A y B x )
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通量与散度， §1.2 通量与散度，散度定理
1.2.1 通量
r r r ˆ Ψ = ∫∫S A ⋅ d s = ∫∫S A ⋅ n d s r r Ψ = ∫∫S A ⋅ d s
1.2.2 散度，哈密顿算子 散度，
1、哈密顿算子 、
矢量场的通量
∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ∇=x +y +z ∂x ∂y ∂z r r r r ∇ ⋅ A ≠ A ⋅ ∇， ∇ × A ≠ − A × ∇
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α AB
−7 = arccos ≈ 117 ° 238
2 2
v A
（ 5） C = 5 + ( − 2 ) = 29
r r A⋅C 11 A′ = A cos θ AC = = C 29 r r A ⋅ C = Ax C x + A y C y + Az C z
v A′
q r 2 − 3x2 q r2 − 3y2 q r 2 − 3z 2 = + + 5 5 4π 4π 4π r r r5 q 3r 2 − 3( x 2 + y 2 + z 2 ) =0 = 4π r5 r r q r Ψ e = ∫∫S D ⋅ d s = ˆ ∫∫S r ⋅ r d s 4πr 3 q q ⋅ 4πr 2 = q = ds = 2 2 ∫∫S 4πr 4πr
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两矢量的叉乘是一矢量。 叉乘是一矢量 ●两矢量的叉乘是一矢量。 大小等于两个矢量模值相乘， 其大小等于两个矢量模值相乘，再乘以它们夹角 αAB（≤π）的正弦： ）的正弦： r r A × B = AB sin α AB 就是两矢量所形成的平行四边形的面积。 就是两矢量所形成的平行四边形的面积。 平行四边形的面积 方向与两矢量成右手螺旋关系， 其方向与两矢量成右手螺旋关系，为两矢量所在 ˆ 平面的右手法向n 。
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1.1.2 标量积（点乘）和矢量积（叉乘） 标量积（点乘）和矢量积（叉乘）
两矢量的点乘是一标量， 点乘是一标量 ●两矢量的点乘是一标量，等于两个矢量模值相 再乘以它们夹角α 乘，再乘以它们夹角 AB（αAB≤π）的余弦： ）的余弦： r r A ⋅ B = AB cos α AB 它就是一个矢量1的模与另一个矢量 在该矢量1上的 的模与另一个矢量2在该矢量 它就是一个矢量 的模与另一个矢量 在该矢量 上的 投影的乘积。 投影的乘积。 r r r r A⋅B = B ⋅ A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x⋅ y = y⋅z = z⋅x = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x⋅x = y⋅ y = z⋅z =1 r r A ⋅ B = Ax B x + A y B y + Az B z r r 2 2 2 A ⋅ A = Ax + A y + Az
v C
r ˆ ˆ ˆ = C = 5x − 2z = C C 29
= 1 × 5 + 2 × 0 + ( − 3) × ( − 2 ) = 11
5 2 ˆ− ˆ x z 29 29
r ˆ = 11 (5 x − 2 z ) ˆ ˆ A′ = A′C 29
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r ˆ ˆ ˆ A = x + 2 y − 3 z; r ˆ ˆ C = 5 x − 2 z。