第四章 光的发射和吸收(一)

第四章 光的发射和吸收

光的发射和吸收是光谱学所要讨论的主要过程，而这些过程中所涉及的吸收系数、发射和吸收截面、振子强度等概念和有关的计算公式是激光材料光谱和激光性能研究中经常要用到的。因此，从电动力学和量子力学的基本原理出发,比较系统地叙述这些概念并推导出相关的计算公式是必要的，这是本章的中心问题。在讨论中，我们把概率论的全概率公式应用到光跃迁几率的计算中，对各向异性介质中的跃迁几率计算给出比较清晰的论述。另一方面也给出振子强度的正确定义。

一.电磁场与激活离子的相互作用

材料中的激活离子受到周围晶格离子的静态晶场作用以及晶格振动和外场的各种相互作用，这是它表现出各种发射和吸收特性的物理基础。这一章先讨论它与电磁场的相互作用，介绍激活离子发射和吸收电磁辐射的计算公式。

要统一处理受激辐射(吸收)和自发辐射必须用全量子理论，即电磁场和激活离子及其相互作用都用量子力学方法讨论和计算。自发辐射是无法用经典或半经典理论解释的。在量子理论中，电磁场由一个个能量为 ωk 、动量为 k 的光子体现。如果用α标记光子的偏振状态，引入光子的产生算符a +k α和湮灭算符a k α，它们遵守如下对易规则

[]ααααδδ''+''=k k k k ,a ,a ，[]0=''ααk k a ,a (4.1) 这些算符作用在光子数表象的电磁场波函数⎪n k α>上可以得到

11++=+

ααααk k k k n n n a ，1-=α

αααk k k k n n n a ，a a n n n k k k k k ααααα+= (4.2) 经典电动力学用Maxwell 方程描写电磁波。引入满足0=⋅∇≡A A div 的电磁场的矢势A ，可以将磁场强度表示成 A A B ⨯∇≡=rot

而t

c ∂∂A E 1＝ 由电磁学的安培定律和法拉第总结出的磁感应电的定律，Maxwell 导出如下称为Maxwell 电磁场方程组

01=∂∂⨯∇t c B E ＋,01=∂∂-⨯∇t

c D

H ,0=⋅∇B , 0=⋅∇D (对应于无自由电荷的

电磁场)

此处H B μ＝，E D ε＝

研究光的发射和吸收必须用量子力学化的电动力学公式，因此首要的任务是用光子产生算符a +k α和湮灭算符a k α来表示在光跃迁中起最重要作用的电磁场强度物理量，或者说在光子数表象下描写电磁场物理量。

在这种表象中，如果把电磁场的矢势A 表示成下式，就可以得到光子能量哈密顿量的正确表示式。

()()()[]

∑⋅-+⋅+⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ααααεωπk r

k k r k k k k e A i i e t a e t a V c 2

122 (4.3)

式中

()t i e a t a k k k ωαα-=，()t

i e

a t a k k k ωαα++= (4.4) e α(k )是表示偏振方向的单位矢量，其中α=1，2，c 为真空中的光速，ε为介质的介电常数，V 为电磁场占据的空间体积。根据电动力学的计算公式

()()()[]

r

k k r k k k k k e A E ⋅-+⋅-⎪⎭⎫ ⎝

⎛=-=∑i i e

t a e t a V i t c ααααεωπ∂∂2

121 (4.5) 利用公式()⎰'⋅'-=k k r k k δτV d e i 和()()ααααδ''=⋅k e k e ，同时注意到偏振矢量与光波的行

进方向矢量k 是正交的，即e 1(k )⋅k =e 2(k )⋅k =0，电磁场的能量算符就可以表示成

∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎜⎠⎛⎪⎭⎫

⎝⎛=+

α

ααωτπ

εk k k k E 2142ph a a d H

(4.6)

由于a +k αa k α是光子数算符，式(4.6)表示：电磁场的能量等于光子数乘以

单个光子的能量再加上零场能量，这就是熟知的光子能量哈密顿量算符。以上推导也从证明了(4.3)式的正确性。

再看看激活离子中的电子与电磁场相互作用哈密顿量的数学形式。暂时不考虑电子自旋，先看空间中静电势为零时相互作用的经典哈密顿量H i 。下面将证明，当哈密顿量取如下形式时，可以导出正确的电子运动方程−-以结果的正确性反证假设的正确性。

2

i 21⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=c e m H A p

(4.7)

式中p 是电子的动量，m 是电子的质量。根据力学中的哈密顿方程

d dt H r p =∂∂，d dt H p r

=-∂∂ 式中r ，p 均为矢量，所以这里共有六个方程，例如x 分量的方程为

x

p H

x dt d ∂∂=，x H p dt d x ∂∂-= 以质点的一维运动说明以上哈密顿方程 代入式(4.7)给出的哈密顿量的形式，可得

d dt x m p

e c

A x x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪1

(4.8)

显然其矢量形式为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=A p r c e m dt d 1 (4.8')

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x c e c e m p dt d x ∂∂A A p 1 (4.9)

微分式(4.8)并利用式(4.9)和式(4.8')得

x x x A dt d c e x c e dt d A dt d c e p dt d dt

x d m -⋅=-=∂∂A r 22

(4.10)

因为A x =A (x,y,z,t )，上式的全微分可以表示成

t

A dt dz z A dt dy y A dt dx x A dt dA x

x x x x ∂∂∂∂∂∂∂∂+++= 这样一来式(4.10)就变成

x z x x y A t c e x A z A dt dz y A x A dt dy c e dt x d m ∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=22 (4.11)

利用前面谈到的电动力学公式

B =∇⨯A ，E A =-

1c t

∂∂

很容易从式(4.11)证明

()x x c e

eE dt

x d m B v ⨯+=22 (4.12)

上式右边是洛伦兹力的x 分量,显然式(4.12)就是电子运动牛顿方程的x 分量。哈密顿量取式(4.7)可以导出正确的电子运动方程，这就证明了式(4.7)的正确性。 由于

()2

2222

222121A p A A p p A p mc

e mc e m c e m +⋅+⋅-=

⎪⎭⎫ ⎝⎛- 如果忽略掉包含A 2的小项，则电子与电磁场的相互作用能算符可以写成

H i =(e /2mc )(p ⋅A +A ⋅p )。将动量算符p 写成-i ∇，利用关系∇⋅A =0可以证明如下算符等式成立

p ⋅A =A ⋅p -i ∇⋅A =A ⋅p

这样

()()()[]

r

k k r k k k k p k e A p ⋅-+⋅+⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⋅=∑i i e t a e t a V m e mc e H ααααεω2

1i π2 (4.13)

(4.13)式包含作用在电子波函数的算符p 和作用在电磁场波函数上的光子产

生和湮灭算符。

二、发射和吸收过程及其几率的数学表示式

第一节里已经讨论了电子系统与电磁场相互作用的机制及其数学表达式，这一节将进一步讨论光子的发射和吸收过程及如何计算这些过程发生的