第二章连续时间系统的时域分析2概论

激励 (t)
LTI系统
零状态
响应 h(t)
(t-)
e()(t-)
e( ) (t- )d
-
‖
e(t)
h(t-) （时不变性）
e()h(t-) （齐次性）
e( )h(t- )d （线性）
-
‖
rzs (t ) e(t ) h (t )
所以：系统零状态响应 是输入与单位冲激响应的卷积。
系统对输入e(t)的零状态响应
得到： a 1,b 7a 6,c 7b 10a 4 a 1,b 1,c 1
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a 1,b 1,c 1
h"(t) a "(t) b '(t) c (t) h '(t) a '(t) b (t)
对h"(t)两边从0到0 积分： h '(0 ) h '(0 ) c 所以h '(0 ) c 0 1 对h '(t)两边从0到0 积分： h(0 ) h(0 ) b 所以h(0 ) b 0 1 注意，零状态响应，0 条件均为0。
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10
用微分特性不变法求解单位冲激响应？
11
单位冲激响应与单位阶跃响应
对于LTI系统,其单位阶跃响应就是单位冲激响应的积分。
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2.7 卷积
内容包括： • 卷积的概念及用卷积法求系统的零状态响应 • 卷积的运算 • 卷积的性质
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卷积的概念及卷积法求系统的零状态响应
信号与系统分析的基本思想是： 分解输入信号→ 每个分量作用于系统→ 各个分量产生的响
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任意信号的其它分解： 矩形分解
f (t) f (k )U t k U t (k 1) k
当 0时
f (t) f ( ) (t )d
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用冲激函数表示任意信号：
f (t) f ( ) (t )d
f (t) f (t) * (t)
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卷积法才是真正能够用计算机(DSP)求解系统响应的方法! 前述微分方程求解方法不是。
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卷积法求系统的零状态响应
r(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应=======
输入与单位冲激响应的卷积
这一公式表明：LTI系统对任意输入信号的零状态响应， 可以由该信号与系统的单位冲激响应的卷积积分得到。
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卷积法求系统的零状态响应
意味着：单位冲激响应h(t)可以完全描述一个LTI系统。 意味着：信号与系统找到了另一种描述系统的方法,分析 系统特性时,分析h(t)就可以了。 意味着：系统也可以用信号描述 意味着：……
•输入为u(t)时LTI系统的零状态响应称为单位阶跃响应。 用g(t)表示。
计算系统的单位冲激响应是利用卷积法求系统的零状态响应 的首要问题。
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单位冲激响应
单位冲激响应的求法： 1、微分方程的输入e(t)用δ (t)代入 2、求出δ (t)所引起的初始条件由0-向0+的跳跃（求冲激响应不可 避免要涉及δ函数匹配法） 3、求方程在0+时刻的齐次解（方程右端为0）
h '(t) a '(t) b (t) 不定积分
h(t) a (t)
将h"(t)、h '(t)、h(t)带入微分方程，
用函数匹配法平衡系数 [a "(t) b '(t) c (t)] 7[a '(t) b (t)] 10[a (t)] "(t) 6 '(t) 4 (t)
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[a "(t) b '(t) c (t)] 7[a '(t) b (t)] 10[a (t)] "(t) 6 '(t) 4 (t)
这一积分就称为卷积积分 也可以表示成：r(t) e(t) * h(t)
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Recall
• 函数匹配法怎么回事?怎么求？
• 系统响应的第三种求法？它只能求？ • 卷积表达式(两个): • 单位冲激响应、单位阶跃响应定义？ • 单位冲激响应、单位阶跃响应求法？ • 信号与系统信号分解的思想？ • 输入与单位冲激响应的卷积是系统的？为什么？ • 系统的零状态响应是借助系统的什么求得的？
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单位冲激响应
已知系统的微分方程为
d2 dt 2
r(t)
7
d dt
r(t)
10r(t)
d2ห้องสมุดไป่ตู้dt 2
e(t)
6
d dt
e(t) 4e(t)
求系统的单位冲激响应h(t)。
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求解单位冲激响应，微分方程变成：
d 2 h(t) 7 d h(t) 10h(t) d 2 (t) 6 d (t) 4 (t)
应叠加→ 得到原输入信号引起的响应。
分解：表示成基本函数如单位冲激、阶跃、指数函数等的加权 和。
冲激函数是非常重要的连续时间函数→ 其引起的响应称单 位冲激响应→ 卷积积分法的原理就是将冲激函数作为构成任意 输入函数的基本单元，借助系统的冲激响应，求解系统对任意 输入的零状态响应。
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系统零状态响应为什么是输入与单位冲激响应的卷积？
9
h '(0 ) 1
代入h(t)
A1 A2 1
2 A1 5A2 1
A1
4 3
，A2
1 3
h(0 ) 1
h(t) A1e2t A2e5t , (t 0 )
h(t) a (t) a 1
而齐次解只是0 之后解，0时刻h(t)中有一项（t）,
所以：冲激响应为：
h(t) （t） ( 4 e2t 1 e5t )u(t)
连续时间系统的时域分析方法 之三: 卷积法 (仅限于求线性时不变系统的零状
态响应)
1
在学习卷积法解线性时不变系统的零状态 响应之前，必须先掌握两个重要的概念和 卷积运算概念：
• 单位冲激响应 • 单位阶跃响应 • 卷积运算
2
2.6 单位冲激响应、单位阶跃响应
• 输入为δ (t)时LTI系统的零状态响应称为单位冲激响应。 用h(t)表示。
dt 2
dt
dt 2
dt
h(0-）=0
h '(0 ) 0
因为定义是零状态响应。
6
d2 dt 2
r(t)
7
d dt
r(t)
10r(t)
d2 dt 2
e(t)
6
d dt
e(t) 4e(t)
解：齐次解h(t) A1e2t A2e5t , (t 0 )
利用函数匹配法：
设：h"(t) a "(t) b '(t) c (t)
就是卷积
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卷积的概念及卷积法求系统的零状态响应
用冲激函数表示任意信号：
e(t) e( ) (t )d
说明输入e(t)是（t）及其移位的线性组合。 (t) h(t)
e(t) (t)及其移位的线性组合 r(t)
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卷积的概念及卷积法求系统的零状态响应
r(t)也应是h(t)的线性组合
r(t) e( )h(t )d