第二节 中心极限定理

第二节中心极限定理
独立同分布序列的中心极限定理
定理1设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具
有相同数学期望和
方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。

记随机变量
的分布函数为F n（x），则对于任意实数x，有
（不证）
其中φ（x）为标准正态分布函数。

由这一定理知道下列结论：
（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N（nμ，nσ2）。

我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。

中心极限定理进一步告诉我们。

不论X1,X2,…X n,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Z n
近似服从正态分布。

（2）考虑X1,X2,…X n,…的平均值，有
它的标准化随机变量为，即为上述Y n。

因此的分布函
数即是上述的F n（x），因而有
由此可见，
当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布
[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标
的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100
次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。

解设X i为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则为100次射击中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同
分布且相互独立。

由定理1可知，随机变量近似服从标准正态
分布，故有
[例]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。

现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。

解设第i只电器元件的寿命为X i=（i=1,2,…16）,
E（X i）=100，D（X i）=1002=10 000，
则是这16只元件的寿命的总和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，
则所求概率为：
棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理1的特殊情况。

定理2（棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理）设随机变量Z n是n 次独立重复试验中
事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意实数x
其中q=1-p,φ（x）为标准正态分布函数。

由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：
（1）在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p。

又设Z n
为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，Z n
近似服从正态分布N（np,npq）。

（2）在贝努利试验中，若事件中A发生的概率为p，为n
次独立重复试验中事件A发生的频率，则当n充分大时，近似
服从正态分布
【例】设某单位内部有1000台电话分机，每台分机有5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？
解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验，则各次试验相互独立，设X为1000台分机中同时使用外线的分机数，则X～B（1000，0.05），
np=1000×0.05=50,
根据题意，设N为满足条件的最小正整数
由于φ（-7.255）≈0，故有
查标准正态分布表得φ（1.65）=0.9505，
故有
由此
N≥61.37
即该单位总机至少需要62条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用。