山西省长治市第二中学2020-2021学年高三11月月考数学(理)试题

山西省长治市第二中学【最新】高三11月月考数学（理）试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{|31,}A x x k k ==+∈N ，{|41,}B y y k k ==-∈N ，
{1,2,3,4,5,6,7,8}C =，则()A B C ⋃⋂=（ ）
A ．{7}
B ．{2,4,7}
C ．(1,3,7)
D ．(1,3,4,7)
2．已知复数z 满是2()1mi
z m R i
+=∈-且||=2z ，则m 的值为（ ） A ．2
B ．-2或2
C ．3.
D ．-3或3
3．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数()f x 满足(2)1()(2),(0)2f x f x f x f +-=+=，则
(2018)(2020)f f +=（ ）
A ．-1
B ．2
C ．1
D ．12
-
5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为11A D 中点，则异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ）
A B C D 6．已知函数()f x 为定义在R 上的增函数且其图象关于点(2,0)对称，若
()(2)g x f x =-，则不等式(3)(12)0g x g x ++-的解集为（ ）
A ．[2,)+∞
B ．[4,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．[2,4]
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
103
B ．83
C ．2
D ．
73
8．函数2
211
()sin f x x x x π
=+
-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
9．已知角,a β满足sin(2)3sin αββ+=，若11
tan tan tan λαβα
-=，则实数λ的值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
10．已知函数3()33f x x x =-，过点()1
0A -，的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为（ ） A ．3,64⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．2,6(6,)3⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
C ．3,6(6,)4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
D ．3
,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
11．已知函数()sin()cos()0,||2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫
=+-+><
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
3
π个
单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的最小正周期为,3
x π
π=为函数()g x 的
一条对称轴，则函数()g x 的一个增区间为（ ） A ．0,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．5,36ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．,63ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 12．已知数列{},{}n n a b 满足1111112
1.1,0.2,,,233
n n n n n n b a a b a b a b n ++++====+∈N ，令n n n c a b =-，则满足41
10
n c ≤的n 最小值为（ ） A ．9 B ．10
C ．11
D ．12
二、填空题
13．已知函数3
()(0)f x ax ax a =->的图象在0x =和1x =处的切线互相垂直，则a =
________.
14．若实数,x y 满足不等式组20
220440x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪--≤⎩
，存在可行解(,)x y 满足60mx y m --=，
则实数m 的最小值为________. 15．已知函数1ln ()1()x
k x
f x e k x
-+=-
-∈R 在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，则下列说法中正确的是________.（请将所行正确的序号填在梭格上） ①2k =；②2k >；③00ln x x =-；④
0112
x e <<. 16．在三棱锥P ABC -中，已知,,24PA BC PB AC PA PB PC AB ⊥⊥====，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________.
三、解答题
17．已知平面向量()()()1,2,,3,a b k k R ==∈. （1）若//a b ，求k 的值；
（2）若a b ⊥，求向量a b +与b 夹角的余弦值.
18．已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e
,R x
f x m m -=-∈.
（1）当1
2
m =
时，求函数()f x 的单调区间; （2）若函数()()1
4
g x f x =-有两个零点：求实数m 的取值范围.
（1）求证：1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设()
()*
2
211
n n b n a n n +=
∈+N ，数列{}n
b 的前n 项和为n S
，
若不等式999
1000
n S ≥成立，求正整数n 的最小值.
20．如图，在ABC 中，已知1,2,60AB BC ABC ︒==∠=，M 为BC 中点，E ，F 分别为线段AB ，AC 上动点（不包括端点），记EMB θ∠=.
（1）当
EM FM ⊥
时，求证：EM =；
（2）当60EMF ︒∠=时，求四边形AEMF 面积S 关于θ的表达式，并求出S 的取值范围.
21．如图1，在直角梯形ABCD 中，,E F 分别为AB 的三等分点FG ED BC ∥∥，
BC AB ⊥，BC CD ⊥， 3 ,2AB BC ==，若沿着,FG ED 折叠使得点,A B 重合，
如图2所示，连结,GC BD .
（1）求证：平面GBD ⊥平面BCE ； （2）求二面角C GB D --的余弦值. 22．已知函数()cos ()x f x e x ax a R =+-∈.
（1）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）当1a =-时，若实数()1212,x x x x <满足()()124f x f x +=，求证：120x x +<
参考答案
1．D 【解析】 【分析】 利用()()()A B C A C B C =，可分别计算A C 和B C ⋂，再求并集。

【详解】
由题意知集合C 中元素在集合A 中或在集合B 中的有1，3，4，7，故(){1,3,4,7}A B C =.
故选：D 。

【点睛】
本题考查集合的运算，掌握集合的运算法则是解题基础，注意集合运算的性质：
()()()A B C A C B C =。

2．B 【解析】 【分析】
化简复数z 为(,)a bi a b R +∈形式，再由复数模的运算列方程解得m ． 【详解】
由题意知2i 2(2)i 1i 2m m m z +-++==-，因为||2z =，所以22
(2)(2)44m m -++=，即24m =，解得2m =±.
故选B ． 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题． 3．A 【分析】
构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即
可. 【详解】
e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，
令()e 2(0)x f x x x =->，则()e 2x
f x '=-， 令()0f x '=，解得ln 2x =， 因为()'
f
x 为R 上的增函数,
所以当()0,ln 2x ∈时,()'
0f
x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >,
故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-, 即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；
但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-, 所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<， 故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.
综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件. 故选A 【点睛】
本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数的单调性进行判断;属于中档题. 4．D 【分析】
由已知得出递推式：1
(2)1()
f x f x +=
-，连续利用递推关系可得函数是周期函数且周期为
6，这样利用周期性和递推关系可求得(2018)f 和(2020)f ． 【详解】
1
(2)1()f x f x +=
-，11(4)11(2)()f x f x f x +==--+，1(6)()1(4)
f x f x f x +=
=-+， 所以()f x 的周期为6，(2018)(63362)(2)1f f f =⨯+==-，
1(2020)(63364)(4)2f f f =⨯+==
，所以1(2018)(2020)2
f f +=-. 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的周期性，确定函数的周期是解题关键．在已知()()f x a f x +=-或
1
()()
f x a f x +=
等关系时，可得函数是周期函数，且2a 是其一个周期． 5．A 【分析】
取AD 的中点N ，连结CN ，1D N ，易知1AM ND ∥，故1ND C ∠（或其补角）即为异面直线AM 与1CD 所成的角.在三角形中计算即可． 【详解】
取AD 的中点N ，连结CN ，1D N ，易知1AM ND ∥，故1ND C ∠（或其补角）即为异面直线AM 与1CD 所成的角.不妨设1AB =
，则11CN D N CD ==
=
，故1552cos 5ND C +-
∠==. 故选A ．
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，解题时需先作出这个角（同时证明），即作其中一条直线的平行线，与另一条相交，相交直线之间的夹角就是异面直线所成的角，然后在三角形中求解． 6．B 【分析】
由若()(2)g x f x =-知()g x 的图象关于原点对称，从而它是奇函数，()f x 是增函数，则
()g x 是减函数，利用奇函数变形不等式为(3)(21)g x g x +≥-，再由减函数得解．
【详解】
由题意知()g x 为R 上奇函数且为减函数，不等式(3)(12)0g x g x ++-≥等价于
(3)(12)g x g x +≥--，即(3)(21)g x g x +≥-，故321x x +≤-，解得4x ≥.
故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性，由函数()g x 的定义与()f x 的性质可得()g x 的性质，从而可求解函数不等式．本题关键是确定()g x 的性质． 7．C 【分析】
由三视图还原出原几何体，可以看作是由一个直三棱柱削去两个三棱锥得到的。

【详解】
该几何体为一个直三棱柱削去两个三棱锥后剩下的几何体ACM －DE ，故体积为
111111
2222222222232232
V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.
故选：C 。

【点睛】
本题考查三视图，考查几何体的体积，解题关键是由三视图还原出原几何体。

8．C 【分析】
根据奇偶性排除A ，D ，根据()0,f π=(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负可选出选项. 【详解】
由题可得2
211
()sin f x x x x π
=+
-是偶函数，排除A,D 两个选项， ()0,f π=当(0,)x π∈时，2211sin 0,
x x x π
>>，()0f x >， 当(,2)x ππ∈时，2211sin 0,
x x x π
<<，()0f x <， 所以当(2,2)x ππ∈-时，()f x 仅有一个零点. 故选：C 【点睛】
此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论
(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负便可得出选项.
9．A 【分析】
利用两角和的正弦公式及二倍角公式展开化简,然后弦化切即可求解. 【详解】
由sin(2)3sin αββ+=可得，sin 2cos cos 2sin 3sin αβαββ+=， 两边同时除以cos β得sin 2cos 2tan 3tan ααββ+=， 即()3cos2tan sin 2αβα-=,所以
13cos 2tan sin 2α
βα
-=， 由正余弦的二倍角公式可得,sin 22sin cos ααα=,
()()2222223cos 23sin cos cos sin 4sin 2cos ααααααα-=+--=+,
所以
2214sin 2cos tan 2sin cos αα
βαα+=,等式右边的式子分子分母同除2cos α可得, 2224sin 2cos 4tan 2
2sin cos 2tan αααααα
++=
12tan tan αα=+， 所以112tan tan tan αβα=+,即11
2tan tan tan αβα
-=，所以2λ=,
故选: A 【点睛】
本题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的灵活运用;灵活运用两角和的正弦公式和二倍角公式把弦化为切是求解本题的关键;属于中档题. 10．C 【分析】
设过点(1,0)A -的直线方程为(1)y k x =+，题意说明方程3
(1)33k x x x +=-有三个不同的
根，注意其中1x =-已经是一个根，则3(1)k x x =-有两个不等于－1的根。

由判别式可得。

【详解】
设过点(1,0)A -的直线方程为(1)y k x =+，则若直线l 与函数()f x 的图象有3个交点，即
方程3
(1)33k x x x +=-有三个不同的根，所以(
)
2
(1)313(1)(1)k x x x x x x +=-=+-，即
3(1)k x x =-有2个不等于-1的根.而当1x =-时6k =，所以9430
6k k ∆=+⨯>⎧⎨≠⎩
，解得
34k >-且6k ≠，故3,6(6,)4k ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
.
故选：C 。

【点睛】
本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题方法是转化方程根的个数问题，由于有一个特殊根－1，因此问题又转化为二次方程有两个不等于－1的根，从而由判别式即可求解。

11．C 【分析】
由辅助角公式化简函数()f x 解析式,利用三角函数的平移变换公式得到函数()g x 的解析式,利用最小正周期公式求出ω,再利用正弦函数sin y x =的对称轴(),2
x k k z π
π=+∈求出ϕ,
由正弦函数sin y x =的单调递增区间()2,2,22k k k z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
求解即可.
【详解】
由题意知,()4f x x πωϕ⎛
⎫=
+- ⎪⎝
⎭，
所以()(334g x f x x πωππωϕ⎫
⎛
⎫=-
=-+-⎪ ⎪⎭⎝
⎭， 因为g x （）的最小正周期为π，所以
2π
πω
=，解得2ω=，
所以()2234g x x ππϕ⎛⎫=
-+- ⎪⎝
⎭,
由3x π
=
为g x （）的一条对称轴，则()42
k k π
π
ϕπ-
=
+∈Z ，
即()3,4k k z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,可得4
πϕ=-
所以函数7()26g x x π⎛
⎫=
-
⎪⎝
⎭
， 因为函数sin y x =的单调递增区间为()2,2,22k k k z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
,
所以令7222()2
62
k x k k π
ππππ-
+≤-
≤+∈Z ，解得()5,36k x k k z ππ
ππ+≤≤
+∈, 当0k =时,53
6
x π
π
≤≤
, 故选:C 【点睛】
本题考查利用正弦函数的有关性质求正弦型函数()sin y A ωx φ=+解析式及单调区间;熟练掌握正弦函数的有关性质是求解本题的关键;属于中档题. 12．B 【分析】
由已知递推式求出11n n a b ++-与n n a b -之间的关系，即{}n c 的递推关系，从而知数列{}n c 是等比数列，由此可求得其通项公式，由通项公式知其是递减的等比数列，从而可通过解不等式41
10
n c ≤
得出结论． 【详解】
()111111111211
22223323
n n n n n n n n n n n n b a a b b b a a b a a b ++++++⎛⎫-=
-=-+=-++=- ⎪⎝⎭，1110.9c a b =-=，故{}n c 是首项为0.9，公比为13的等比数列，故11
0.93
n n c -=⨯，则
14
110.9310
n -⨯
≤，即33310n -≥，当9n =时，63372910=<；当10n =时，733218710=>，显然当10n ≥时，33310n -≥成立，故n 的最小值为10. 故选B ． 【点睛】
本题考查数列的递推式，考查等比数列的通项公式，解题关键是则已知递推关系得出数列
{}n c 是等比数列，从而易于求解．
13．
2
【分析】
求出导函数，则'(0)'(1)1f f =-可得。

【详解】
()2()31f x a x '=-，由(0)(1)1f f ''⋅=-，即221a =，解得a =.。

【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直的条件。

属于简单题。

14．1- 【分析】
根据题意作出可行域,由直线60mx y m --=可得其恒过定点(6,0),围绕定点(6,0)旋转直线60mx y m --=找出与可行域有公共点的直线的斜率的最小值的位置,求出此时直线的斜率即可. 【详解】
根据题意作出可行域,如图阴影部分所示：
因为直线60mx y m --=,即为直线()60m x y --=, 所以直线60mx y m --=恒过定点(6,0)， 围绕点(6,0)旋转直线()60m x y --=,
可知当直线()60m x y --=过点P 时其斜率有最小值, 即当直线()60m x y --=过点P 时m 有最小值，
解方程组44020x y x y --=⎧⎨
-+=⎩,解得2
4
x y =⎧⎨=⎩,
所以点P 坐标为()2,4,又因为直线()60m x y --=过(6,0)点, 所以此时斜率40
126
m -==--, 故答案为:1- 【点睛】
本题考查不等式组表示的平面区域与直线过定点问题;正确作出不等式组表示的平面区域和观察出直线过定点是求解本题的关键;属于中档题. 15．①③ 【分析】
()0f x =有唯一解0x ，即e ln 10x x x x k ---+=的根为0x .令()e ln 1x
g x x x x k =---+，
求出'()g x ，研究()g x 的性质，而'()0g x =在(0,)+∞上有唯一解t ，
()g x 在(0,)t 上递减，在(,)t +∞上递增，考虑0x →和x →+∞时函数的变化，只能有0x t =，这样可判断①③
正确，②错误，结合③再由零点存在定理判断④错误． 【详解】
由题意知()0f x =有唯一解0x ，即e ln 10x x x x k ---+=的根为0x .令
()e ln 1x g x x x x k =---+，11()(1)e (1)e x
x x g x x x x x +⎛
⎫'=+-
=+- ⎪⎝⎭
，令0g x '=（）得
1e x x =
，当0x >时，1e x
x
=有唯一解t ，满足e 1t t =，故()g x 在(0,)t 上单调递减，(,)t +∞上单调递增.又因为0x →，();,()g x x g x →+∞→+∞→+∞，因此0t x =，即()00g x =，故002,ln 0k x x =+=.另外，令1
()ln ,()10h x x x h x x
'=+=
+>，故h x （）在(0,)+∞上单调递增，11111e 10,ln 2ln 0e e 2224h h ⎛⎫⎛⎫
=-+<=-+=< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故④错误. 故答案为①③． 【点睛】
本题考查函数零点分布问题，首先把问题转化，使得要研究的函数简单化，再利用导数研究此函数性质，得出零点需满足的条件．本题难度较大，属于困难题． 16．
19211
π
【分析】
作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ，连接,,HA HB HC ，利用线面垂直的判定及性质可得H 为ABC △的垂心，利用三角形全等可得H 为ABC △的外心，从而可得ABC △为等边三角形,在Rt AHP ∆和Rt AOH ∆中利用勾股定理求出PH 和半径R ,代入球的表面积公式求解即可. 【详解】 如图，
作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ，连接,,HA HB HC ， 所以PH BC ⊥,因为PA BC ⊥,PA PH P =,
所以BC ⊥平面AHP ，
由线面垂直的性质可得,BC AH ⊥,
同理可得AC BH ⊥，故H 为ABC △的垂心,
因为PA PB PC ==,所以Rt AHP Rt BHP Rt CHP ∆≅∆≅∆, 所以可得AH BH CH ==，即H 为ABC △的外心. 所以ABC △为等边三角形， 在ABC △中,因为2AB =,
所以223233
AH AB =
⨯==
，
在Rt AHP ∆中,PH ===设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ,在Rt AOH ∆中,222AO AH OH =+， 即2
2
2
()PH R AH R -+=，可得2220PH PH R AH -⋅+=,
即
444033
R -+=,解得2
4811R =， 故所求外接球表面积为2
48192441111
S R π
ππ==⨯=, 故答案为:19211
π
【点睛】
本题考查利用线面垂直的判定及性质解决三棱锥的外接球问题;证明H 为ABC △的外心和利用勾股定理求外接球的半径是求解本题的关键;属于中档题.
17．（1）32k ；（2 【分析】
()1由两向量共线的坐标表示12210x y x y -=,列出关于k 的方程求解即可;
()2由两向量垂直的坐标表示12120x x y y +=求出k 的值,利用向量坐标的线性运算及向量
模的坐标表示及向量数量积的坐标表示,代入夹角公式求解即可. 【详解】
（1）由//a b 可得3120k ⨯-⨯=，解得3
2
k
； （2）由a b ⊥得0a b ⋅=，即1230k ⨯+⨯=， 解得6k
=-，则()()1,2,6,3a b ==-,
则()5,5a b +=-,()
()()565345a b b +⋅=-⨯-+⨯=,
所以()
5a b +=
-=()
2
6b =
-=
设向量a b +与b
的夹角为θ，则()cos a b b a b b
θ+⋅=+⋅，
所以cos
10θ=
=，
【点睛】
本题考查两向量共线的坐标表示和两向量垂直的坐标表示及向量数量积的坐标表示和向量的夹角公式;着重考查学生的运算能力;属于中档题.
18．（1）()f x 的单调递减区间为(,ln 2)-∞-,(0,ln 2)，单调递增区间为
(ln 2,0),(ln 2,)-+∞；（2）1144m -<≤或3544
m <<
【分析】
()1根据题意求出函数()f x 在[)0,+∞上的单调区间,再利用偶函数在对称区间上单调性相
反求出函数()f x 在区间
,0上的单调区间即可;
()2由函数()f x 为定义在R 上的偶函数,只需方程1
()4
f x =
在[)0,+∞上有一个根即可,分三种情况0m ≤,01m <<,m 1≥分别求出0x ≥时,函数()f x 的解析式,利用函数的单调性求出其值域,进而求出实数m 的取值范围即可. 【详解】
（1）由题意可得,当0x ≥,12
m =
时，1()e 2x
f x -=-，
令0f x
，即1
02
x e --
=,解得ln 2x =， 当0ln 2x <<时,1
02x
e --
>,所以1()e 2
x f x -=-， 因为函数x
y e -= 在()0,ln 2上单调递减，
所以函数1
()e
2
x
f x -=-在()0,ln 2上单调递减; 当ln 2x >时,102x
e --<,所以1()e 2
x f x -=-，
因为函数x
y e -= 在()ln 2,+∞上单调递减,
所以函数x
y e -=-在()ln 2,+∞上单调递增,
所以函数1()e 2
x
f x -=
-在()ln 2,+∞上单调递增; 因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数, 由偶函数在对称区间上单调性相反可得,
函数()f x 在()ln 2,0-上单调递增,在(),ln 2-∞-上单调递减,
故函数()f x 单调递减区间为(,ln 2)-∞-,(0,ln 2)，单调递增区间为(ln 2,0),(ln 2,)-+∞. （2）由题可得,函数()()1
4
g x f x =-有两个零点， 即方程1
()4
f x =
有两个不同根， 因为()f x 为定义在R 上的偶函数,其图象关于y 轴对称, 故方程1
()4
f x =
在[)0,+∞上有一个根即可.
当0m ≤时，则0m -≥,因为0x e ->， 所以当0x ≥时,()e x
f x m -=-，
所以1
e
4x
m -=-
在[)0,+∞上有一个根， 由于1e 4
x
y -=-在[)0,+∞上单调递减,01x e -<≤,
所以113,444x
y e -⎛⎤=-∈- ⎥⎝⎦,即13,44m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦
, 故实数m 的取值范围为1
04
m -
<≤； 当01m <<时，令e 0x m --=，解得ln x m =-， 因为函数x
y e
m -=-为R 上的减函数,
所以当[)0,ln x m ∈-时,e 0x
y m -=->,
所以函数()x
f x e
m -=-为[)0,ln m -上的减函数,
所以()01f x m <≤-, 当[)ln ,x m ∈-+∞时，e
0x
y m -=-<,
所以函数()x
f x m e -=-为[)ln ,m -+∞上的增函数， 所以()0f x m ≤<, 要使方程1
()4
f x =
在[)0,+∞上有一个根, 只需1141401m m m ⎧
-≥⎪⎪⎪≤⎨⎪<<⎪⎪⎩或1141401m m m ⎧-<⎪⎪
⎪
>⎨⎪
<<⎪⎪⎩
，解得104m <≤或314m <<,
故实数m 的取值范围为104m <≤
或3
14
m <<; 当m 1≥,0x ≥时,因为01x e -<≤,所以0x e m --≤， 所以函数()e
x
f x m -=-,
因为函数x
y e -=在[
)0,+∞上单调递减，
所以函数()e
x
f x m -=-在[
)0,+∞上单调递增, 因为01x e -<≤,所以1x m m e m --≤-<, 即()[)1,f x m m ∈-，
故只需114m m -<<，即514
m ≤<, 故实数m 的取值范围为5
14m ≤<.
综上可得，实数m 的取值范围为1144m -<≤或35
44
m <<.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求函数的单调区间及利用函数的单调性和奇偶性求函数的零点问题;利用分类讨论思想和函数的单调性正确求出函数值域是求解参数范围的关键;属于综合型强,难度大型试题. 19．（1）证明见解析，121
n a n =-；（2）31 【分析】
()1利用等差数列的定义,由()121n n n a a a +=+可得,121n n n
a a a +=+,推出1
1
1
n n
a
a +-
为一个常数即可证得1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列,由等差数列通项公式即可求得数列{}n a 的通项公式.
()2由()1可得1n a +的表达式,代入求得()2
2111n b n n =
-+,利用裂项相消法求出n S ,解不等式即可. 【详解】
()1证明:因为()121n n n a a a +=+，即121
n
n n a a a +=
+，
所以121112n n n n
a a a a ++==+，即
111
2n n a a +-=， 故1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，首项
1
11a ，公差为2，
由等差数列通项公式可得,1
1(1)221n
n n a =+-⨯=-， 所以所求数列{}n a 的通项公式为1
21
n a n =
-； ()2因为121
n a n =
-,所以11
21n a n +=+，
因为()
()*
22
11n n b n a n n +=∈+N , 所以222222
112111
(1)(1)(1)n n n b a n n n n n n ++=
==-⋅+⋅++，
因为数列{}n b 的前n 项和为n S , 所以22211111223n S ⎛⎫⎛⎫=-
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (222)
1
111(1)(1)n n n ⎫⎛+-=-⎪ ++⎝⎭
令219991(1)1000n -
≥+，即2
11
(1)1000
n ≤+,可得2(1)1000n +≥， 当30n =时，2319611000=<； 当31n =时，23210204100=>， 故当31n ≥时，不等式999
1000
n S ≥成立, 所以使不等式999
1000
n S ≥成立的正整数n 的最小值为31. 【点睛】
本题考查定义法证明等差数列和利用裂项相消法求数列的前n 项和及等差数列的通项公式;熟练掌握等差数列的概念和裂项相消法求和是求解本题的关键;属于中档题.
20．（1）证明见解析（2
）1()023S πθθ⎫=+<<⎪⎭
，()S θ∈⎝⎭
【分析】
（1）用余弦定理和勾股定理逆定理证得ABC ∆是直角三角形，然后用正弦定理求得
,EM FM 后可证结论成立；
（2）用正弦定理求出,BE CF ，求出BEM ∆和CFM ∆的面积，四边形AEMF 的面积就等于直角三角形ABC 的面积减去这两个三角形的面积，从而得()S θ，在直角三角形中得出
0θ3
，用导数可求得()S θ的单调性，得其取值范围． 【详解】 （1）在ABC 中，根据余弦定理得214212cos603AC ︒=+-⨯⨯⨯=，
故222BC AB AC =+，因此90,30BAC ACB ︒︒∠=∠=.
当EM FM ⊥时，在BEM △中，()sin 60
sin 60BM EM θ︒︒=+， 即(
)sin 60sin 60EM θ︒︒==+； 在CFM △中，()90,60,sin 30
sin 60CM FM CMF CFM θθθ︒︒︒︒∠=-∠=+=+， 即(
)sin 30sin 60FM θ︒︒==+，
故EM =；
（2）当60EMF ∠=︒时，在BEM △中，()1sin sin 60BE θθ︒=+，即()
sin sin 60BE θθ︒=+； 在CFM △中，()()
1120,30,sin 120sin 30CF CMF CFM θθθθ︒︒︒︒∠=-∠=+=-+， 即()
()sin 120sin 30CF θθ︒︒-=+.
故11sin 60sin 3022
BEM CFM S S BE CF ︒︒+=
⋅+⋅ ()()()sin 12014sin 60sin 30θθθθ
︒︒︒⎡⎤-⎢⎥=+++⎢⎥⎣⎦ ()()()sin 1201=4sin 60sin 30θθθθ
︒︒︒⎡⎤-
⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
124= 所以四边形AEMF 面积
()BEM CFM S S S θ=--
10
423πθ⎫=+<<⎪⎭，
()0S θ'=<，
故()S θ在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，(0)438
S S π⎛⎫== ⎪⎝⎭，
故()S θ∈⎝⎭
.
【点睛】
本题考查解三角形在几何图形中的应用，主要考查正弦定理，余弦定理的应用．解题关键是用正弦定理求得三角形的边长．在求出面积的函数表达式后，当函数式较复杂时可用导数研究函数的性质，得其取值范围．
21．(1)证明见解析；(2)
5 【分析】
（1）证明面面垂直，只需在一个平面内寻找一条直线垂直于另一个平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，用向量方法求二面角的大小.
【详解】
（1）取,BD BE 的中点分别为,O M ，
连结,,GO OM MF .OM ED ∥且12
OM DE =，
又∵GF ED ∥，且12
GF ED = ∴GF OM ∥且GF OM =
∴四边形OMFG 是平行四边形，故GO FM ∥
∵M 是EB 的中点，三角形BEF 为等边三角形，
故FM EB ⊥
∵平面EFM ⊥平面BCDE
∴FM ⊥平面BCDE ，因此GO ⊥平面BCDE
故平面GBD ⊥平面BCE
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，
()0,1,2C ，()0,0,2D ，1,12G ⎫⎪⎪⎝⎭
，
故()0,0,2BC =，31,12BG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,2BD =-
设平面CBG 的法向量为(),,m x y z =，则
00
m BC m BG ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即2020z y z =⎧⎪-+=， 令1x =得()1,3,0m =， 设平面DBG 的法向量为n (),,x y z =，则 00
n BD n BG ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即2020y z y z -=⎧⎪-+=， 令1z =得n ()0,2,1=， cos ,m n =m n m n ⋅
⋅5== ∵二面角C GB D --的平面角是锐角，设为θ
∴cos θ=
15 【点睛】
（1）证明面面垂直的关键在于如何在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线，这条直线通常在特殊位置，垂直于交线；
（2）建立空间直角坐标系，用向量方法求二面角的大小，一定注意法向量的计算不可出错，另外，判断二面角与法向量所成角的关系，只需法向量一进一出，则法向量所成角就是二面角的平面角的大小.
22．（1）1a ≤（2）证明见解析
【分析】
（1）由'()sin 0x f x e x a =--≥在(0,)+∞上恒成立可得，即sin x a e x ≤-，为此只要求
得()sin x h x e x =-的最小值即可； （2）由（1）()cos x f x e x x =++在(0,)+∞上单调递增，又(0)2f =，这样满足
12()()4f x f x +=的12,x x 必满足120x x <<，因此只要证明21x x <-，也即只要证21()()f x f x <-，只要证114()()f x f x -<-，即11()()40f x f x +-->，为此考虑函数
()()()4g x f x f x =+--在(,0)-∞上的性质即可．注意(0)0g =，因此只要证0x <时，()(0)g x g >，这又可利用导数研究函数的性质得到证明．
【详解】
（1）()e sin x f x x a '=--，
由()f x 在(0,)+∞上单调递增，
故当0x >时，e sin 0x x a --≥恒成立，
即e sin x a x ≤-恒成立.
设()e sin (0)x h x x x =->，()e cos x
h x x '=-，
因为0x >，所以e 1,cos 1x x >≤， 所以cos 0x e x ->，即()0h x '>.
故()h x 在(0,)+∞上单调递增，
故()(0)1h x h >=，故1a ≤；
（2）当1a =-时，()e cos x f x x x =++，
()e sin 10x f x x '=-+>，
故()f x 在R 上单调递增，
又因为(0)2f =，且()()124f x f x +=，
故120x x <<.
要证120x x +<，只需证21x x <-，
因为()f x 在R 上单调递增，
故只需证()()21f x f x <-，
即只需证()()114f x f x -<-，
即只需证()()1140f x f x -+->.
令()()()4(0)g x f x f x x =-+-<，
()()()g x f x f x '''=--
e sin 1e sin 1x x x x -=-+---
e e 2sin x x x -=--，
令()e e
2sin x x x x ϕ-=--， 则()e e 2cos 22cos 0x x x x x ϕ-'=+->-≥，
所以()e e 2sin x x x x ϕ-=--在(,0)-∞上单调递增，
所以()(0)0x ϕϕ<=，
故()g x 在(,0)-∞上单调递减，
故()(0)2(0)40g x g f >=-=，
故原不等式成立.
【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．本题不等式的证明关键是由函数的单调性及(0)2f =确定出120x x <<，这样证明21x x <-可转化为证明函数不等式21()()f x f x <-，即114()()f x f x -<-，而这个不等式又可转化为证明函数
()()()40g x f x f x =+-->在(,0)-∞上恒成立，再采取常用的方法即可．本题中转化与化归的思想应用到了极致，难度很大．。