第四章 轴向拉压杆的应力及变形
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(1)Axial tension and compression 轴向拉伸与压缩
在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力 作用下，杆件发生长度的改变（伸长或缩短）。
F
（横截面变小）
F
F
（横截面变大）
F
(2)Shear 剪切
在大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆件轴线的两组力 作用下，被剪杆件横截面相邻两边产生相对错位。
10
FNAB =30+30-20=40kN
x
20
C处虽然截面面积有变化，但由于该处没有集 中力作用，所以轴力图不会发生突变！
注意轴力图的要求： 1.数值、单位 2.正负号 3.阴影线与轴线垂直
轴力图简捷画法
Please draw the axial force diagram. ladder bar阶梯杆
4.1.2 材料力学的任务
材料力学是研究构件的强度、刚度和稳定性的科学。
1、强度是指构件在荷载作用下，抵抗破坏的能力。 2、刚度是指构件在荷载作用下抵抗变形的能力，也即变形 或位移不超过工程允许范围的能力。 3、稳定性是指构件保持其原有平衡状态的能力，也即其平 衡形式不发生突然转变的能力。
强 度 不 足 破 坏
20kN A
40kN B
10kN C D
轴力图意义:
1. 反映出轴力与截面位置变 化关系，较直观； 2. 确定出最大轴力的数值及 x 其所在横截面的位置，即 确定危险截面位置；
FN/kN -
20 +
10
20
FN/kN
×
+ 20
20
10
x （突变的方向？请同学们思考！）
3. 特点： 封闭图形 突变值 = 集中载荷大小
用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截面上内 力的方法，称为截面法。
截面法求拉压杆内力的步骤
(1)Cut( 截 开 ): 用 一 假 想 的 截 面 m-m 在需求内力处将构件 截开为两部分。
m
m m
FN
P
P x P
(2)Substitute （替代） : 任取其中一部分为 研究对象，弃去另一部分，将弃去部分对 保留部分的作用以截面上的内力来代替。
F2=8kN
C l B
F1=40kN
l A
FN/kN
D
+
C
40 B A
解题步骤：1）求各段轴力：
2）做轴力图
FN i Fi
3）用简捷画法检验 (左上右下）
4.3 应力、拉压杆内的应力 4.3.1 应力的概念
轴力是杆横截面上分布内力系的合力，若要判断杆是否会因强 度不足而破坏，还必须知道分布内力集度的大小，杆件横截面上 分布内力集度称为应力（stress）。 F4 p F 4 F A
刚 度 不 足 破 坏
稳 定 性 不 足 破 坏
4.1.3 基本假设
可变形固体的变形与材料有关。为研究方便，采用 下述假设：
1) 均匀连续性假设assumption of continuity and homogeneity 物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是密实、 连续分布的，且任何部分都具有相同的性质。 • 可取任一部分研究。其研究的表述特征具有代表性； • 变形前后不存在“空隙”或“重叠”。 2) 各向同性假设isotropy assumption
20kN A
1 40kN 1B
10kN C D
20kN
1
FN1
1 如何分段？—将集中力作用处为分段点!
x
如何选取截面？—在每段内任取截面求轴力！
1)在AB段内任一截面处用1-1截面截开 2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN1来代替（设拉力）
3)列平衡方程如下：
∑X=0: -20+FN1=0 So FN1 =20kN (tensile force) So FNAB=FN1=20kN (tensile force)
注：用截面法求轴力时，无论保留哪部分，都统一先假定截 面内力为拉力！
Examples
Given:AD element is loaded as Fig. To find: the axial force at any cross section in the AD element. Solution: (1) 求AB段的内力
按作用性质
2）内力是指外力作用引起构件内部的附加相互作用力。 内力是物体内相邻部分之间分布力系的合力，这种 附加相互作用力存在于构件内部的任意部位与其连接部 分之间。当外力变化时，内力也产生变化。在一般情况 下，内力随外力的增长而增大；当内力达到某一限度时 将引起构件破坏。
4.1.5 杆件变形的基本形式
4.3.2 轴向拉（压）杆横截面上的应力
1、观察变形
Before loading After loading
a c P a´ c´
b d b´ d´
P
2、平面假设Plane Assumption : 变形前原为平面的横截 面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。
由平面假设可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长相等。 根据材料均匀性假设，每根纵向纤维受力相同，所以横截 面上的内力是均匀分布的，即横截面上各点处正应力相等。
在分析力的平衡时用原来 的几何尺寸计算而不会产生大 的误差。（小变形问题）
基于此，固体力学研究的最基 本问题是：均匀连续介质、各向同 性材料、小变形问题。上述假设， 建立了一个最简单的可变形固体的 理想化模型。
三角杆架
4.1.4 外力与内力
1） 外力是指研究构件受到的荷载和约束反力。
按作用方式 体积力（惯性力、自重力、电磁力） 分布力 面力（风力、物体间接触力） 集中力 静荷载：指荷载缓慢地由零增加到一定值， 以后保持不变或变动量可忽略。 动荷载：指大小或方向随时间而变化的荷载。
引起纵向伸长变形的轴力为正，引起纵向缩短变形的轴力为负。
A B C D
Please draw the axial force diagram. Solution: 30kN
采用截面法保留右端：
30kN 20kN
A
FN/kN
40
B
C D
E
FN i Fi
则：FNDE =-20kN FNCD = FNBC＝ 30-20=10kN
m
轴力FN
(3)Equilibrium（平衡）: 列平衡方程（投影）。
∑X=0: -FN+P=0 so FN =P（tensile force）
对轴力的符号作如下规定：拉为正，压为负。 引起轴向拉伸变形的轴力为正(拉力) 引起轴向压缩变形的轴力为负(压力)
Remain the left part after cutting is also OK.
(3)torsion扭转
在一对大小相等、方向相反、位于垂直杆轴线的两平面内的外 力偶作用下，杆的任意两横截面绕轴线发生相对转动。
Δ Δ Δ
A
m
O B m
(4)bending弯曲
在横向力或一对方向相反、位于杆轴线的纵向平面内的外力偶作 用下，杆件将在纵向平面内发生弯曲，即杆件的轴线由直线变为曲线。
材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。这样的 材料称为各向同性材料。 使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化。 若存在两个垂直方向有不同的力学性能的材料称为 正交各向异性材料。
3) 小变形假设Small deformations theory 假设受力构件相对于其原始尺寸非常微小，变形 后尺寸改变的影响可以忽略不计。
2P A FN B 3P
5P C
2P D E
P
P
x
2P
直接画法：由左至右画，遇到向左的集中力则轴力图向上突变； 遇到向右的集中力则轴力图向下突变；突变值等于集中力的大小。 其它为水平线，最终形成一个封闭图形。
轴力图中有突变的地方一定对应有集中力作用！（检验）
用简捷画法作出轴力图
48kN
D l 48
∑X=0: -20+40-10+FN3=0 FN3 = -10kN (compressive force)
So FNCD=FN3= -10kN (compressive force)
Axial force diagram轴力图
表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线——轴力图
FN/kN
o
20kNห้องสมุดไป่ตู้A FN/kN 40kN B 10kN C
So FNBC=FN2= -20kN （compressive force）
20kN A
1 40kN
2
10kN
3
注意:
也可保留右段研究，但一定要 注意要先求D处的约束反力。
1
B
2 C
20kN
A
40kN
B
3 D 3 10kN FN3 3
C
x
(3)求CD段的内力
1)在CD段任一截面处用3-3截面截开
2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN3来代替 3)写平衡方程如下：
x
D
注意: 截面法求得： 1)轴力图应从左向右画在 FNAB= -20kN FNBC= 20kN ; 载荷图下方对应位置上 FNCD=10kN 2)标注正负号、单位和特
征值;
20 +
10 x
20
3)阴影线垂直于横坐标,不 是斜线。
轴力图坐标原点在左侧，x轴方向向右！ 轴力图突变的位置对应有集中力作用！否则轴力图不会突变！
4.2
拉压杆横截面上的轴力及轴力图
F1
F2
A
C
截面法(section method) 处于平衡状态的物体，其任一部分 也必然处于平衡状态。必须截开物体， 内力才能显示。 F1 F2 A
B
M F3
F1 C
F2 A
Fy C
My
Fz Mz
Mx Fx
内力分布在截面上,可向截面形心简化，内力一般可表 示为六个，由平衡方程确定。
20kN A
1 40kN 2 10kN 1 B
20kN A (2)求BC段的内力
2 C 40kN 2
D
B
2
FN2
x
1)在BC段内任一截面处用2-2截面截开 2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN2来代替 3)写平衡方程如下：
∑X=0: -20+40+FN2=0 FN2 = -20kN
（compressive force）
第四章
轴向拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基本假设及基本概念
4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
4.3 应力.拉压杆内的应力
4.4 轴向拉（压）杆的变形. 胡克定律
4.5 拉压超静定问题
4.1
材料力学的基本假设及基本概念
4.1.1 材料力学的研究对象
在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体 （deformable body），而构件一般均由固体材料制成，故构件一 般都是变形固体。 静力学中，力为滑移矢量，力偶矩矢为自由矢。 材料力学中，力与力偶矩矢均不能自由平移（不再接受刚体假设）
力的可传性
力的平移定理
变 形 不 等 效
4.1
材料力学的基本假设及基本概念
材料力学研究的变形固体主要是杆件：一个方向（长 度方向或纵向）的尺寸远大于其它两个方向（横向）的 尺寸的构件。主要几何特征：横截面和轴线。（等截面 杆，变截面杆；直杆和曲杆 ）。
（a）斜拉桥
（b ）建筑物的立柱
图4-1 拉压杆实例
A 0
A
dA
应力单位: Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa= 109Pa
p
C
F4
（在具体计算中通常各物理量采用国际单位制，最后再进行换算!）
F3
应力具有以下特征： 应力定义在受力构件的某一截面上的某一点处； 应力是矢量。对于正应力，规定离开截面的正应力（拉 应力）为正，指向截面的正应力（压应力）为负； 整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成，为 该截面上的内力。
C
C
F 平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度： p A 一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋 于一定极限，得到： F dF
p lim
F3
F3
应力总量P 可以分解: 垂直于截面的分量σ －－正应力(normal stress) 平行于截面的分量τ －－剪应力或切应力(shearing stress)。
沿着从左到右的顺序，遇到向左的集中力则轴力图向上突 变，遇到向右的集中力则向下突变！其余部分均为水平线！
Given: F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN; Please draw the axial force diagram. 解：各段轴力， FNAB=F1=10kN F1=10kN F2=20kN F3=35kN F4=25kN FNBC=F1-F2=-10kN FNCD=F1-F2+F3=25kN 25 FN / kN 10 + 由平衡方程可得： + x FN i Fi 10 任一横截面上的轴力等于保留段上所有外力在轴线上投影 的代数和。关于代数符号的规定如下： 若保留段是左段，则向左的轴向外力为正，向右的为负。 若保留段是右段，则向右的轴向外力为正，向左的为负； （左左正、右右正）
在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力 作用下，杆件发生长度的改变（伸长或缩短）。
F
（横截面变小）
F
F
（横截面变大）
F
(2)Shear 剪切
在大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆件轴线的两组力 作用下，被剪杆件横截面相邻两边产生相对错位。
10
FNAB =30+30-20=40kN
x
20
C处虽然截面面积有变化，但由于该处没有集 中力作用，所以轴力图不会发生突变！
注意轴力图的要求： 1.数值、单位 2.正负号 3.阴影线与轴线垂直
轴力图简捷画法
Please draw the axial force diagram. ladder bar阶梯杆
4.1.2 材料力学的任务
材料力学是研究构件的强度、刚度和稳定性的科学。
1、强度是指构件在荷载作用下，抵抗破坏的能力。 2、刚度是指构件在荷载作用下抵抗变形的能力，也即变形 或位移不超过工程允许范围的能力。 3、稳定性是指构件保持其原有平衡状态的能力，也即其平 衡形式不发生突然转变的能力。
强 度 不 足 破 坏
20kN A
40kN B
10kN C D
轴力图意义:
1. 反映出轴力与截面位置变 化关系，较直观； 2. 确定出最大轴力的数值及 x 其所在横截面的位置，即 确定危险截面位置；
FN/kN -
20 +
10
20
FN/kN
×
+ 20
20
10
x （突变的方向？请同学们思考！）
3. 特点： 封闭图形 突变值 = 集中载荷大小
用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截面上内 力的方法，称为截面法。
截面法求拉压杆内力的步骤
(1)Cut( 截 开 ): 用 一 假 想 的 截 面 m-m 在需求内力处将构件 截开为两部分。
m
m m
FN
P
P x P
(2)Substitute （替代） : 任取其中一部分为 研究对象，弃去另一部分，将弃去部分对 保留部分的作用以截面上的内力来代替。
F2=8kN
C l B
F1=40kN
l A
FN/kN
D
+
C
40 B A
解题步骤：1）求各段轴力：
2）做轴力图
FN i Fi
3）用简捷画法检验 (左上右下）
4.3 应力、拉压杆内的应力 4.3.1 应力的概念
轴力是杆横截面上分布内力系的合力，若要判断杆是否会因强 度不足而破坏，还必须知道分布内力集度的大小，杆件横截面上 分布内力集度称为应力（stress）。 F4 p F 4 F A
刚 度 不 足 破 坏
稳 定 性 不 足 破 坏
4.1.3 基本假设
可变形固体的变形与材料有关。为研究方便，采用 下述假设：
1) 均匀连续性假设assumption of continuity and homogeneity 物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是密实、 连续分布的，且任何部分都具有相同的性质。 • 可取任一部分研究。其研究的表述特征具有代表性； • 变形前后不存在“空隙”或“重叠”。 2) 各向同性假设isotropy assumption
20kN A
1 40kN 1B
10kN C D
20kN
1
FN1
1 如何分段？—将集中力作用处为分段点!
x
如何选取截面？—在每段内任取截面求轴力！
1)在AB段内任一截面处用1-1截面截开 2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN1来代替（设拉力）
3)列平衡方程如下：
∑X=0: -20+FN1=0 So FN1 =20kN (tensile force) So FNAB=FN1=20kN (tensile force)
注：用截面法求轴力时，无论保留哪部分，都统一先假定截 面内力为拉力！
Examples
Given:AD element is loaded as Fig. To find: the axial force at any cross section in the AD element. Solution: (1) 求AB段的内力
按作用性质
2）内力是指外力作用引起构件内部的附加相互作用力。 内力是物体内相邻部分之间分布力系的合力，这种 附加相互作用力存在于构件内部的任意部位与其连接部 分之间。当外力变化时，内力也产生变化。在一般情况 下，内力随外力的增长而增大；当内力达到某一限度时 将引起构件破坏。
4.1.5 杆件变形的基本形式
4.3.2 轴向拉（压）杆横截面上的应力
1、观察变形
Before loading After loading
a c P a´ c´
b d b´ d´
P
2、平面假设Plane Assumption : 变形前原为平面的横截 面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。
由平面假设可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长相等。 根据材料均匀性假设，每根纵向纤维受力相同，所以横截 面上的内力是均匀分布的，即横截面上各点处正应力相等。
在分析力的平衡时用原来 的几何尺寸计算而不会产生大 的误差。（小变形问题）
基于此，固体力学研究的最基 本问题是：均匀连续介质、各向同 性材料、小变形问题。上述假设， 建立了一个最简单的可变形固体的 理想化模型。
三角杆架
4.1.4 外力与内力
1） 外力是指研究构件受到的荷载和约束反力。
按作用方式 体积力（惯性力、自重力、电磁力） 分布力 面力（风力、物体间接触力） 集中力 静荷载：指荷载缓慢地由零增加到一定值， 以后保持不变或变动量可忽略。 动荷载：指大小或方向随时间而变化的荷载。
引起纵向伸长变形的轴力为正，引起纵向缩短变形的轴力为负。
A B C D
Please draw the axial force diagram. Solution: 30kN
采用截面法保留右端：
30kN 20kN
A
FN/kN
40
B
C D
E
FN i Fi
则：FNDE =-20kN FNCD = FNBC＝ 30-20=10kN
m
轴力FN
(3)Equilibrium（平衡）: 列平衡方程（投影）。
∑X=0: -FN+P=0 so FN =P（tensile force）
对轴力的符号作如下规定：拉为正，压为负。 引起轴向拉伸变形的轴力为正(拉力) 引起轴向压缩变形的轴力为负(压力)
Remain the left part after cutting is also OK.
(3)torsion扭转
在一对大小相等、方向相反、位于垂直杆轴线的两平面内的外 力偶作用下，杆的任意两横截面绕轴线发生相对转动。
Δ Δ Δ
A
m
O B m
(4)bending弯曲
在横向力或一对方向相反、位于杆轴线的纵向平面内的外力偶作 用下，杆件将在纵向平面内发生弯曲，即杆件的轴线由直线变为曲线。
材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。这样的 材料称为各向同性材料。 使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化。 若存在两个垂直方向有不同的力学性能的材料称为 正交各向异性材料。
3) 小变形假设Small deformations theory 假设受力构件相对于其原始尺寸非常微小，变形 后尺寸改变的影响可以忽略不计。
2P A FN B 3P
5P C
2P D E
P
P
x
2P
直接画法：由左至右画，遇到向左的集中力则轴力图向上突变； 遇到向右的集中力则轴力图向下突变；突变值等于集中力的大小。 其它为水平线，最终形成一个封闭图形。
轴力图中有突变的地方一定对应有集中力作用！（检验）
用简捷画法作出轴力图
48kN
D l 48
∑X=0: -20+40-10+FN3=0 FN3 = -10kN (compressive force)
So FNCD=FN3= -10kN (compressive force)
Axial force diagram轴力图
表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线——轴力图
FN/kN
o
20kNห้องสมุดไป่ตู้A FN/kN 40kN B 10kN C
So FNBC=FN2= -20kN （compressive force）
20kN A
1 40kN
2
10kN
3
注意:
也可保留右段研究，但一定要 注意要先求D处的约束反力。
1
B
2 C
20kN
A
40kN
B
3 D 3 10kN FN3 3
C
x
(3)求CD段的内力
1)在CD段任一截面处用3-3截面截开
2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN3来代替 3)写平衡方程如下：
x
D
注意: 截面法求得： 1)轴力图应从左向右画在 FNAB= -20kN FNBC= 20kN ; 载荷图下方对应位置上 FNCD=10kN 2)标注正负号、单位和特
征值;
20 +
10 x
20
3)阴影线垂直于横坐标,不 是斜线。
轴力图坐标原点在左侧，x轴方向向右！ 轴力图突变的位置对应有集中力作用！否则轴力图不会突变！
4.2
拉压杆横截面上的轴力及轴力图
F1
F2
A
C
截面法(section method) 处于平衡状态的物体，其任一部分 也必然处于平衡状态。必须截开物体， 内力才能显示。 F1 F2 A
B
M F3
F1 C
F2 A
Fy C
My
Fz Mz
Mx Fx
内力分布在截面上,可向截面形心简化，内力一般可表 示为六个，由平衡方程确定。
20kN A
1 40kN 2 10kN 1 B
20kN A (2)求BC段的内力
2 C 40kN 2
D
B
2
FN2
x
1)在BC段内任一截面处用2-2截面截开 2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN2来代替 3)写平衡方程如下：
∑X=0: -20+40+FN2=0 FN2 = -20kN
（compressive force）
第四章
轴向拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基本假设及基本概念
4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
4.3 应力.拉压杆内的应力
4.4 轴向拉（压）杆的变形. 胡克定律
4.5 拉压超静定问题
4.1
材料力学的基本假设及基本概念
4.1.1 材料力学的研究对象
在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体 （deformable body），而构件一般均由固体材料制成，故构件一 般都是变形固体。 静力学中，力为滑移矢量，力偶矩矢为自由矢。 材料力学中，力与力偶矩矢均不能自由平移（不再接受刚体假设）
力的可传性
力的平移定理
变 形 不 等 效
4.1
材料力学的基本假设及基本概念
材料力学研究的变形固体主要是杆件：一个方向（长 度方向或纵向）的尺寸远大于其它两个方向（横向）的 尺寸的构件。主要几何特征：横截面和轴线。（等截面 杆，变截面杆；直杆和曲杆 ）。
（a）斜拉桥
（b ）建筑物的立柱
图4-1 拉压杆实例
A 0
A
dA
应力单位: Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa= 109Pa
p
C
F4
（在具体计算中通常各物理量采用国际单位制，最后再进行换算!）
F3
应力具有以下特征： 应力定义在受力构件的某一截面上的某一点处； 应力是矢量。对于正应力，规定离开截面的正应力（拉 应力）为正，指向截面的正应力（压应力）为负； 整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成，为 该截面上的内力。
C
C
F 平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度： p A 一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋 于一定极限，得到： F dF
p lim
F3
F3
应力总量P 可以分解: 垂直于截面的分量σ －－正应力(normal stress) 平行于截面的分量τ －－剪应力或切应力(shearing stress)。
沿着从左到右的顺序，遇到向左的集中力则轴力图向上突 变，遇到向右的集中力则向下突变！其余部分均为水平线！
Given: F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN; Please draw the axial force diagram. 解：各段轴力， FNAB=F1=10kN F1=10kN F2=20kN F3=35kN F4=25kN FNBC=F1-F2=-10kN FNCD=F1-F2+F3=25kN 25 FN / kN 10 + 由平衡方程可得： + x FN i Fi 10 任一横截面上的轴力等于保留段上所有外力在轴线上投影 的代数和。关于代数符号的规定如下： 若保留段是左段，则向左的轴向外力为正，向右的为负。 若保留段是右段，则向右的轴向外力为正，向左的为负； （左左正、右右正）