幂函数考点和题型归纳
幂函数考点和题型归纳
一、基础知识
1．幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；
(2)xα的系数为1；
(3)只有一项．
2．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性
质y＝x y＝x2y＝x3y＝x
1
2y＝x
－1
图象
定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增
(－∞，0)
减，
(0，＋∞)增
增增
(－∞，0)和
(0，＋∞)减
公共点(1,1)二、常用结论
对于形如f(x)＝x n
m(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
考点一 幂函数的图象与性质
[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3
3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n
(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是
减函数，则n 的值为( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
[解析] (1)设f (x )＝x α，将点(3，3
3)代入f (x )＝x α，解得α＝1
3，所以f (x )＝x 1
3，可知函
数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x
23－n n
在(0，＋∞)上是减函数，
∴?????
n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，
∴n ＝1，
又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1. [答案] (1)C (2)B
[解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略
(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．
(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．
[题组训练]
1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( ) A ．y ＝x －
4 B ．y ＝x －
1 C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 1
3
解析：选A 函数y ＝x －4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x －1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 13
为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
2.[口诀第2、3、4句]已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．
解析：当p >0时，根据题意知p <1，所以0
答案：(－∞，1)
考点二 比较幂值大小
[典例] 若a ＝????1223
，b ＝????1523，c ＝????121
3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a
D ．b [解析] 因为y ＝x 2 3 在第一象限内是增函数，所以a ＝????122 3 >b ＝????152 3，因为y ＝????12x 是减函数，所以a ＝????122 3 ?121 3，所以b [题组训练] 1．若a ＝????3525 ，b ＝????2535，c ＝????252 5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．b >c >a 解析：选B 因为y ＝x 2 5 在第一象限内为增函数，所以a ＝????352 5 >c ＝????252 5，因为y ＝??? ?25x 是减函数，所以c ＝????2525 >b ＝??? ?253 5，所以a >c >b . 2．若(a ＋1)12<(3－2a )12 ，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 1 2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以???? ? a ＋1≥0，3－2a ≥0， a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <2 3 . 答案：? ???－1，23 [课时跟踪检测] 1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( ) A ．4 B.2 C ．22 D ．1 解析：选C 设f (x )＝x n ，由条件知f (4)＝2，所以2＝4n ，n ＝1 2， 所以f (x )＝x 12 ，f (8)＝812 ＝2 2. 2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( ) A ．1 B ．2 C.12 D ．－1 解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D. 3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1 为偶函数，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．3 解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A. 4．(2018·邢台期末)已知幂函数f (x )的图象过点????2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x 2 4 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 解析：选A 设幂函数f (x )＝x α. ∵f (x )的图象过点????2，14，∴2α＝1 4，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0. ∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝x －2＋x 2 4 ＝1x 2＋x 2 4 ≥21x 2·x 2 4 ＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1. 5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m － 1|与y ＝x 2 3－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数， 则满足条件的整数m 的值为( ) A ．0 B ．1和2 C ．2 D ．0和3 解析：选C 由题意可得???? ? |m －1|>0， 3m －m 2 >0， m ∈Z ， 解得m ＝2. 6．已知a ＝34 5 ，b ＝425 ，c ＝1215