迭代函数系统的吸引子

x ‖ <ε.因为 K°≠ , 所以存在 Br (a) K°, 其
中 Br (a)是以 a 为 中心 , r 为半径的 开球 .记 n
个
fs
的复合为
f
n s
=fs
fs
…
f s , n ∈ N , 那么对任
意的 n ∈ N,
f
n s
也是压
缩 同 胚 映 射,
于是
f sn(Br(a))
K°且
f
n s
(B
N
N
μ(K)= μ
∪
i =1
f
i(K
)
≤
i
∑
=1
μ(f
i
(K )) =
N
i
∑
=1
r
d i
μ(K
)=μ(K
),
所
以
μ
f i(K )∩ f j (K ) =
0 , 于是 f i (K°)∩ f j (K°)= (i ≠j ).又 因为
f i(K ) K , f i 是 同 胚 , 所 以 f i (K°) K°,
China .
迭代 函数系统(Iterated Function Sy stem 简 称 IFS)是分形理论的一个重要内容 .通过它只需 对少量的参数进行反复的迭代运算 , 即可产生大 量美丽新颖的图片 .IFS 在形成分形图的过程中 , 吸引子起了很大的作用 .许多文献研究了这些内 容[ 1 ～ 5] .本文通过分析 Rd 上迭代函数系统的吸 引子 , 具体分析了 R 上由三个和多个相似变换组 成的一类迭代函数系统的吸引子的结构 .
[ a , b] = , 则称[ a , b] 是 K 的一个支区间 .K
是K 的边界 , x ∈ K , 如果存在 ε>0 , 满足(x -
ε, x )∩ K = , [ x , x +ε] K , 或者 (x , x +
ε)∩ K = , [ x -ε, x] K , 则称 x 是 K 的简单 边界点 .{〈ai , bi 〉}∞i =1 是一列可以是开的或是闭 的互不相交的区间 , 如果 i ∈ N , ai <ai +1 , 则称 此序列是递增的 ;若 ai >ai +1 , 则称 此序列是递 减的 .如果序列递增并且li i※m∞bi =β , 则称它递增趋 向于 β ;如果序列递减并且lii※m∞ai =α, 则称它递减 趋向于 α.点 α和 β 被称为它的极限点 .
N},
∑＊
=∪ n∈ N
∑n
.任 给
s
=(s1
,
s2 ,
…,
sn)∈
∑＊, 定义 fs =fs fs … fs , 式中“ ”表示函数
1
2
n
的复合运算 .
已知 K R , 若区 间[ a , b] K , 对任 意的
[ a′, b′] K , 有[ a′, b′] [ a , b] 或者[ a′, b′] ∩
一
个
开
集
,
则
μ
V
∪
i =1
f
i(V
)
>0 ,
N
所以
μV
i
∪
=1
f
i
(V
)
>
0,
μ (V ) ≠
N
N
μ
∪
i =1
f i(V)
,
矛盾
.这 样
V
∪
i =1
f
i
(V
),
V
N
N
i
∪
=1
f
i
(V
).综上
,
V
=∪ i =1
f
i
(V
),
即
V
是{f i }iN=1的
吸引子 .
b .假设 K 是{f i }iN=1 的吸引子 , K °≠ .因
所有的点经过 f 迭代后必然向其不动点靠拢 .若
把“ ≤”改为“ =” , 则称 f 是相似映 射 .一组压缩
映射{f i}iN=1 构 成了一 个迭 代函 数系统 .由 文献
[ 1] , 对 IF S{f i}iN=1 , 必存在唯一的非空紧集 K , 满
N
足K
=∪ i =1
f
i
(K
),
则称
K
是{f i}iN=1 的吸引子 .如
y ∈ K , 且 y ≠x .由 K 是吸引子 , 显然有 gk(y)∈
K (k =1 , 2 , … , ∞).由{f i }iN=1 是一 族压缩 映射
知 , 当 k ※∞时 , gk(y )※x .由于 f i 都是单射 , 那
么对任意的 k ∈ N , gk (y)≠x , 则 x 不 是孤立
第 12 期 曾 宇 :迭代函数系统的吸引子 11 1
连通分支 , 则称{f i }iN=1 满足 IOSC .记 ∑ ={1 , 2 ,
…, N }, ∑n ={(s1 , s2 , …, sn ):si ∈ ∑ , 1 ≤i ≤
的吸引子结构 .其中 , 有
f i (x )= ri x +λi(1 -ri ),
(1)
式中 , 0 <ri <1 , 0 =λ1 ≤λ2 ≤…≤λN =1 ;i =1 , 2 , …, N .
不难得到如下的结论 :在式(1)中 , λi 是 f i 的 不动点 , 且若 λi 是 f i 的不动 点 , λj 是 f j 的不动 点 , 则 f i f j 的不动点一定介于 λi 和 λj 之间 .由于 0 是 f 1 的不动点 , 1 是 f N 的不动点 , 即 0 , 1 ∈ K 1 , 因此 K [ 0 , 1] .
单射 , K 是它 的吸引 子 , 如果 K 至 少包含 两个
点 , 则 K 一定没有孤立点 .
证明 用反证 法 .假设 x 是 K 的一个孤立
点 , 由 引 理 1 , x ∈ K 1 .即 存 在 s ∈ ∑＊ , 满 足 f s(x )=x , 令 g =f s .考虑序列{gk(y)}∞k =1 , 其中
Attractors of iterated function system
Zeng Y u Abstract :By analyzing the dist ribution of t he at tractor point s and the relation between the at tractors and the OSC set s, t he at t racto r st ruct ures of the iterated f unction system on R consisting of three or more similarities w as analyzed .T he result showed t he complexity of the at tractors of the iterated function sy stem .It w as helpful to study the properties of the f ractal set , such as Hausdo rf f dimension , measure and so on .T he result provided the basis f or other researches , such as w avelet analysis and dynamical system . Key words:iterated function system ;att racto r ;OSC sets Zeng Yu Postg raduate ;Department of Mathematics , Cent ral China Normal University , Wuhan 430079 ,
最小数目是 n (n ∈ N ), 则称{f i }iN=1满足 O SC n ,
并且称 V 为 O SCn 集 ;若 V 必须包含无限多个
收稿日期 :2004-04-30 . 作者简介 :曾 宇(1979-), 女 , 硕士研究生 ;武汉 , 华中师范大学数学与统计学学院数学 系 (430079). E-mail:smilingzeng @sohu.com 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (10375027).
N
i
∪
=1
f
i
(K
°)
K°.综上 , K°是一个 OSC 集 .
由引理 4 , 不难推出引理 5 .
引理 5 IFS{f i }iN=1 是 R 上的 一族相 似映
N
射,
ri
是
fi
的压缩率
,
且∑ i =1
r
i
=1
,则:
a.当且仅当{f i }iN=1的吸引子是由 n 个不相
交的闭区间组成 , {f i }iN=1满足 OSCn ;
1 预备知识
对于映射 f :Rd ※ Rd , 如果存在正常数 0 < r <1 , 使 得 对 任 意 的 x , y ∈ Rd , ‖ f (x )f (y)‖ ≤r ‖ x -y ‖ , 式中 ‖·‖为欧几里德范 数 , 则称 f 是 Rd 上的压缩映射 , r 为 f 的压缩率 .
如果 f (x)=x , 则 x ∈Rd 称为 f 的不动点 .显然 ,
第 32 卷 第 12 期 华 中 科 技 大 学 学 报(自然科学版) Vol.32 No .12 2004 年 12 月 J.Huazhong U niv .of Sci .& T ech .(Nature Science Edition) Dec . 2004
b .当且仅当{f i }iN=1 的吸引子包含无限多个
支区间 , {f i }iN=1满足 IO SC .
3 主要结果
在此处 , 将具体研究形如下式的 IFS{f i }iN=1
11 2 华 中 科 技 大 学 学 报(自然科学版) 第 32 卷
N
果存 在有界的 开集 V
Rd , V
∪
i =1
f
i
(V
),
f i(V)∩ f j(V )= (i ≠j ), 则称 IFS{f i }iN=1满
足开集条件(简称 OSC), 并称 V 是{f i}iN=1 的满 足开集条件的集(简称 OSC 集).这样的开集并不
一定唯一 .如果这样的开集 V 所包含连通分支的
则V
N
N
∪
i =1
f
i(V
)
=
i
∪
=1
f
i
( V ),
且有
N
N
N
μ∪ i =1
f i(V)
= i
∑
=1
μ(f
i
(V
))=
i
∑
=1
rdi
μ
(
V
)
=
μ(V)(其 中 μ为 Lebesgue 测 度), 所 以 V
N
N
i
∪
=1
f
i
(V
)=
.否则 , 若 V
∪
i =1
f
i(V
)≠
,因V
N
N
i
∪
=1
f
i(V
)是
它的 OSC 集之间的关系 .
引理 4 如果 IF S{f i }iN=1是 Rd 空间的一族
N
相似映射
,
ri
是
fi
的压缩率
,
且 i
∑=1
rdi
=1
, 则有
:
a.如果 V 是一个 OSC 集 , 那么 V 是这个
IFS 的吸引子 ;
b .如果 K 是这个 IF S 的吸引子 , 并且 K°≠
, 那么 K°是一个 OSC 集 . 证明 a .假设 V 是{f i }iN=1的一个 O SC 集 ,
r(a))是开集
.
由于
fs
是压缩映射
,
lim
n ※∞
f
n s
(a
)=
xs
,
因此对
上面的
ε, 存在
N
∈N,当
n
>N
时,
‖
ห้องสมุดไป่ตู้
f
n s
(a )-
xs
‖ <ε,
‖
f
n s
(a
)-
x
‖
≤‖
f
n s
(a
)-
xs
‖+
‖ xs -x ‖ <2ε.而 f ns (a)是 K 的一个内点 , K =
K °.
接下来的引理 4 给出了 IFS 吸引子的内点与
2 几个引理
引理 1[ 2] 如果 K 是 IFS{f i }iN=1的吸引子 , K 1 ={x :f s(x)=x , 式中 s ∈ ∑＊}, 即 K 1 是 f s , s ∈ ∑ ＊的所有不动点组成的集合 , 则 K =K 1 .
引理 2 {f i }iN=1是一族压缩映射 , 并且都是
点 .这与假设矛盾 , 因此 K 一定没有孤立点 .
引理 3 {f i}iN=1是一族压缩同胚映射 , K 是
它的吸引子 , 如果 K 的内点集 K°≠ , 则 K =
K °.
证明 若 x ∈ K , 由引理 1 , 则对任意的 ε>
0 ,存在 s ∈ ∑ ＊, xs 是 fs 的不动点 , 使得 ‖ xs -
迭代函数系统的吸引子
曾 宇 (华中师范大学 数学与统计学学院数学系 , 湖北 武汉 430079)
摘要 :研究了迭代函数系统的吸引子 .通过分析 Rd 上迭代函数系 统的吸引子 的点的分布 情况以及 它与 OSC 集之 间的关系 , 具体分析了 R 上由三个和多个相似变换组成的一类迭代函数 系统吸引 子的结构 .研究结 果显 示了迭代函数系统的吸引子的复杂性 , 对分形几 何中关于研究分形集的某些性质 , 如豪斯多夫维数 、测度等具 有帮助作用 , 同时对小波分析 、动力系统等其他方面的研究工作提供了依据和参考 . 关 键 词 :迭代函数系统 ;吸引子 ;OSC 集 中图分类号 :O174 文献标识码 :A 文章编号 :1671-4512(2004)12-0110-04