管理运筹学排队论
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第十章
• • • •
排队论
二、表示排队模型的符号 D.G.Kendall 于1953 年提出排队符号: (i/j/c) i:到达过程的分布;j:服务过程分布;c:服务员数 到了1971年进一步定为：
(到达分布/服务分布/服务员数/系统容量/顾客源/排队规则) (M/M/1/∞/∞/FCFS) 常规表示法为(M/M/1)
2
• .
第十章
排队论
顾客:机器、飞机、轮船、病人…… 顾客到达——等待服务——接受服务——顾客离去
服 务 系 统
服务员：机修工、码头设备、医生…… 到达时间>服务时间 到达时间=服务时间 系统空闲 充分利用,无排队
到达时间<服务时间
排队越来越长
3
问题是: 到达间隔、服务时间均为随 机变量，这也是随机服务系统 的基本特征。所以难以确定系 统状态，只能求期望值。我们 希望借助随机服务系统理论来 揭示这些规律。
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第十章
排队论
• 1、输入过程 刻划顾客按怎样的规律到达 服务系统，主要有以下几方面： • 1）顾客总体（顾客源）数可能是有限的（例 厂内故障设备数）也可能是无限的（到达售票 窗口前的顾客总体）； • 2）顾客可能是单个到达，也可能是成批到达； • 3）顾客相继到达的间隔时间分布可以是确定 型，也可以是随机型； • 4）顾客的到达可以是相互独立的，即以前的 到达情况对以后顾客的到来没有影响；
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第十章
排队论
第十章
• • • • •
排队论
b）等待（或逗留）时间有限制的情形 排队时间>t0,离去;反之排下去 4)从队伍的数目看,可以是单列,也可以是多列 a)顾客可转移; b)顾客不可转移;
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第十章
• • • • • • •
排队论
3、服务机构 1）服务员的数目 串列、并列、串并混合 2）服务方式 对单个顾客服务或对成批顾客服务 3）服务时间 分确定型和随机型服务时间
第十章 排队论
1
第十章
• §10.1概述
排队论
• • • • • • •
排队论（Queing Theory）也称随机服务 系统。任何一个服务系统均由客体和主 体组成。前者是要求服务的对象，我们 一律称之为“顾客”；后者是提供服务的 机构或人员，一律称之为“服务员”。顾 客可泛指机器、病人、飞机、轮船等， 服务员可泛指机修工、医生、码头等。
• 6、
•{w s t} e
（ 1 ）t
进入系统的顾客等待时间超过t的概率。
• 7、
• P{wq t} e
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第十章
• • • • • • •
排队论
5）输入过程可以是平稳的（指描述相继到达的 2 间隔时间分布和所含参数（如 x和 等） 都与时间无关，否则称为非平稳的； 6）具有不耐烦顾客的输入 a）弃长队而去 b）排队太久而去 c）转队
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• • • • • • • • • •
2、排队规则（到达的顾客按什么样的规则接受服务） 1）损失制 即服务台一旦占用，顾客随即离去； 2）等待制 顾客到达后须等待服务，服务次序为： a）先到先服务 b）后到先服务 c）随机服务 d）有优先权的服务 3）混合制（损失制与等待制的混合） a）队长有限制的情形 队长<k，排队;队长>k，离去
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• 三、排队模型中常用参数 • ：到达速度（单位时间到达顾客数）； • ：服务速度（单位时间服务完成数）； • 1/ ：相继顾客到达的平均间隔时间； • 1/ ：一个顾客的平均服务时间；
第十章
排队论
• =（1/ ：1/ ）= / 称为服务强度，指相同 时 • 间区间内顾客到达的平均数与能被服务完的平均 顾 • 客数之比；
6
对于随机服务系统希望知道： 1、在系统中平均队长L——从长远来看，平均等待 服务加上正接受服务的货轮期望数； 2、在队中平均队长Lq——从长远来看，平均等待服 务的货轮期望数； 3、系统中平均逗留时间 ——从长远看，任一 进 W 入系统货轮用于等待服务加上接受服务的期望时间；
第十章
排队论
4、在队中平均等待时间 Wq 进
4
第十章
排队论
第十章
排队论
例：某港口装卸台负责货轮装卸工作，货轮即顾客以 某固定周期间隔到达港口，比如每隔a=6小时到达一艘， 而装卸台卸货需要一段时间，假定它对每艘货轮的服 务时间也是定长的，比如每艘需卸时间为s=4小时。这 一服务系统的特征是到达和服务时间均是确定不变的 定长。 结论： as 如果s<a,则服务员的空闲时间为总时间的 倍； 如果s=a，则服务员得到充分利用，且无货轮等待； a 如果s>a，则形成等待卸货队伍，且队长不断增加。
排队论
（系统人数）
1
2 （j 1 ） j （排队人数） • 3、 Lq 1 j 1
1 1 W （逗留时间） • 4、 （ 1 ）
• 5、 Wq
（等待时间） （ 1 ）
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第十章
排队论
进入系统的顾客逗留时间超过t的概率。
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第十章
排队论
• 四、系统的稳态性态 • 1、 j——稳态概率 • j定义为稳态系统中有j个顾客（包括正在服务 的） j • 的概率。
j 0 0
j
0=1- ——称为系统空闲的概率
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• 2、
L j j
j 0
5
.如果货轮到达时间间隔是随机变量,码头卸货时间也为随 机变量,则构成一个随机服务系统。即便货轮到达时间间 隔的平均时间还为6小时，但每一个间隔时间Xi（i=1、 2……）并不都是6小时，只是指：
第十章
排队论
x
i 1
nБайду номын сангаас
i
/ n 6小时
同理，平均服务时间为4小时，从而会产生排队或服务空 闲时间。但事先无法确定。
——从长远看，任一
入系统货轮用于等待服务的期望时间。
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第十章
排队论
• 一、服务系统的结构 • 假如将要求服务的对象统称为“顾客”，
• 进行服务的统称为“服务机构”或“服务员”， 一 • 个排队系统就能抽象地描述为： • 为了获得某种服务而到达的顾客，若不能立即 • 获得服务，而又允许排队等待，则加入等待队 • 伍，获得服务之后离开系统。 • 作为服务系统基本上由三个部分组成：
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• • • •
排队论
二、表示排队模型的符号 D.G.Kendall 于1953 年提出排队符号: (i/j/c) i:到达过程的分布;j:服务过程分布;c:服务员数 到了1971年进一步定为：
(到达分布/服务分布/服务员数/系统容量/顾客源/排队规则) (M/M/1/∞/∞/FCFS) 常规表示法为(M/M/1)
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排队论
顾客:机器、飞机、轮船、病人…… 顾客到达——等待服务——接受服务——顾客离去
服 务 系 统
服务员：机修工、码头设备、医生…… 到达时间>服务时间 到达时间=服务时间 系统空闲 充分利用,无排队
到达时间<服务时间
排队越来越长
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问题是: 到达间隔、服务时间均为随 机变量，这也是随机服务系统 的基本特征。所以难以确定系 统状态，只能求期望值。我们 希望借助随机服务系统理论来 揭示这些规律。
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排队论
• 1、输入过程 刻划顾客按怎样的规律到达 服务系统，主要有以下几方面： • 1）顾客总体（顾客源）数可能是有限的（例 厂内故障设备数）也可能是无限的（到达售票 窗口前的顾客总体）； • 2）顾客可能是单个到达，也可能是成批到达； • 3）顾客相继到达的间隔时间分布可以是确定 型，也可以是随机型； • 4）顾客的到达可以是相互独立的，即以前的 到达情况对以后顾客的到来没有影响；
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排队论
b）等待（或逗留）时间有限制的情形 排队时间>t0,离去;反之排下去 4)从队伍的数目看,可以是单列,也可以是多列 a)顾客可转移; b)顾客不可转移;
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3、服务机构 1）服务员的数目 串列、并列、串并混合 2）服务方式 对单个顾客服务或对成批顾客服务 3）服务时间 分确定型和随机型服务时间
第十章 排队论
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• §10.1概述
排队论
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排队论（Queing Theory）也称随机服务 系统。任何一个服务系统均由客体和主 体组成。前者是要求服务的对象，我们 一律称之为“顾客”；后者是提供服务的 机构或人员，一律称之为“服务员”。顾 客可泛指机器、病人、飞机、轮船等， 服务员可泛指机修工、医生、码头等。
• 6、
•{w s t} e
（ 1 ）t
进入系统的顾客等待时间超过t的概率。
• 7、
• P{wq t} e
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第十章
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排队论
5）输入过程可以是平稳的（指描述相继到达的 2 间隔时间分布和所含参数（如 x和 等） 都与时间无关，否则称为非平稳的； 6）具有不耐烦顾客的输入 a）弃长队而去 b）排队太久而去 c）转队
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2、排队规则（到达的顾客按什么样的规则接受服务） 1）损失制 即服务台一旦占用，顾客随即离去； 2）等待制 顾客到达后须等待服务，服务次序为： a）先到先服务 b）后到先服务 c）随机服务 d）有优先权的服务 3）混合制（损失制与等待制的混合） a）队长有限制的情形 队长<k，排队;队长>k，离去
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• 三、排队模型中常用参数 • ：到达速度（单位时间到达顾客数）； • ：服务速度（单位时间服务完成数）； • 1/ ：相继顾客到达的平均间隔时间； • 1/ ：一个顾客的平均服务时间；
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排队论
• =（1/ ：1/ ）= / 称为服务强度，指相同 时 • 间区间内顾客到达的平均数与能被服务完的平均 顾 • 客数之比；
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对于随机服务系统希望知道： 1、在系统中平均队长L——从长远来看，平均等待 服务加上正接受服务的货轮期望数； 2、在队中平均队长Lq——从长远来看，平均等待服 务的货轮期望数； 3、系统中平均逗留时间 ——从长远看，任一 进 W 入系统货轮用于等待服务加上接受服务的期望时间；
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4、在队中平均等待时间 Wq 进
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排队论
例：某港口装卸台负责货轮装卸工作，货轮即顾客以 某固定周期间隔到达港口，比如每隔a=6小时到达一艘， 而装卸台卸货需要一段时间，假定它对每艘货轮的服 务时间也是定长的，比如每艘需卸时间为s=4小时。这 一服务系统的特征是到达和服务时间均是确定不变的 定长。 结论： as 如果s<a,则服务员的空闲时间为总时间的 倍； 如果s=a，则服务员得到充分利用，且无货轮等待； a 如果s>a，则形成等待卸货队伍，且队长不断增加。
排队论
（系统人数）
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2 （j 1 ） j （排队人数） • 3、 Lq 1 j 1
1 1 W （逗留时间） • 4、 （ 1 ）
• 5、 Wq
（等待时间） （ 1 ）
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排队论
进入系统的顾客逗留时间超过t的概率。
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第十章
排队论
• 四、系统的稳态性态 • 1、 j——稳态概率 • j定义为稳态系统中有j个顾客（包括正在服务 的） j • 的概率。
j 0 0
j
0=1- ——称为系统空闲的概率
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第十章
• 2、
L j j
j 0
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.如果货轮到达时间间隔是随机变量,码头卸货时间也为随 机变量,则构成一个随机服务系统。即便货轮到达时间间 隔的平均时间还为6小时，但每一个间隔时间Xi（i=1、 2……）并不都是6小时，只是指：
第十章
排队论
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i 1
nБайду номын сангаас
i
/ n 6小时
同理，平均服务时间为4小时，从而会产生排队或服务空 闲时间。但事先无法确定。
——从长远看，任一
入系统货轮用于等待服务的期望时间。
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第十章
排队论
• 一、服务系统的结构 • 假如将要求服务的对象统称为“顾客”，
• 进行服务的统称为“服务机构”或“服务员”， 一 • 个排队系统就能抽象地描述为： • 为了获得某种服务而到达的顾客，若不能立即 • 获得服务，而又允许排队等待，则加入等待队 • 伍，获得服务之后离开系统。 • 作为服务系统基本上由三个部分组成：