大学物理(上册)_运动电荷间的相互作用和稳恒磁场(3)

L
B dl B 2r 0 I内
r R:
B外
I
内
I
B内 P
B外
0 I 1 2r r
L
L
o
r
I
R
P
r R:
2 I Ir 2 I r 2 内 R2 R
B
0 Ir B内 r 2 2R
r
o
R

1 r
r
L
保守场Biblioteka 稳恒磁场 B dS 0
S
无源场
B dl ?
L
？
二.稳恒磁场的安培环路定理
1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向 与电流成右旋关系。
与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为 正，反之为负。 如果规定 与L 绕向成右旋关系 I 0 与L 绕向成左旋关系 I 0
统一为：

L
B dl 0 I
2）选择在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
L L
I
d
r
B
I
Ⅹ
dl

d
r
B

2
I
无源场
非保守场、无势场 （涡旋场）
三 .安培环路定理的应用 ——求解具有某些对称性的磁场分布

L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布（磁场分布）具有某些对称性， 以便可以找到恰当的安培环路 L ，使积分

L
B dl
能够计算，成为B与路径长度的乘积形式，从而方
0 I B d l d l cos0 L L 2 r
I
L
o
r
0 I dl 0 I 0 2 r
2 r
B
若电流反向：
I
L
o
r
2 r I 0 B d l L 0 2 r dlcos
B
0 I 2 r dl 0 I 2 r 0
(穿过L )
I
i
I1 2 I 2
注意：
B:

L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
与空间所有电流有关
B dl 均有贡献
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关
穿过 L的电流：对 B 和

L
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；
对
L
便地求解 B
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
（电流分布均匀。）
I
R
o
r
P

r o L I L
dI
dI '
' dB
P
dB
对称性分析：
在 I 平面内，作以 o 为中心、半径 r 的圆环 L ， L 上各点等价： B 大小相等，方向沿切向 。 以 L 为安培环路 ，逆时针绕向为正: +
对

L
B dl 无贡献。
4）闭合路径不在垂直于电流的平面内
I
dl
L
dl

L
B dl
o
o
dl //
B (dl // dl ) L B dl // B dl L L cos 0 B dl // 0
B 方向与 I 指向满足右旋关系
思考：无限长均匀载流直圆筒 B ~ r 曲线？
B
1 r
B内 0
B dl B dl B dl
L L1 L2
0 I ( d d ) 2 I 0 ( ) 0 2
L1 L2
I
L2
L1
穿过 L 的电流：对 B 和
L B dl 均有贡献 不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；
?
第三篇 相互作用和场 第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场
第十章第三讲
本章共5.5讲
§ 10.3
磁场的高斯定理和安培环路定理（续）
一般方法： 用高斯定理和环路定理描述空间矢量场的性质。 一. 磁场高斯定理
比较 静电场
高斯定理
环路定理
有源场
1 E dS
S
0
q
内
E dl 0
B dl
无贡献
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）
比较
高斯定理
1 SE dS 0 q内
环路定理
E dl 0
L
静电场
有源场
B dS 0
S
保守场、有势场
B dl 0
L
稳恒 磁场
i （穿过 L）
dl //
L


L

0 I ( I穿 过L)
0 ( I不 穿 过 L)
5）空间存在多个长直电流时
I2
I1
I3
B B1 B2 Bn
由磁场叠加原理
L
I4
LB dl L ( B1 B2 Bn ) dl B1 dl B2 dl Bn dl

dl

L
B dl

0 I 0 I B cosdl rd L L 2 r 2


0
d 0 I
若电流反向，则为 0 I
如果规定与L 绕向成右旋关系 I 0 ，反之 I 0 B dl 0 I 统一为：

L
3）闭合路径不包围电流
L
0
( 穿 过L )
I
L
L
i
2.推广：稳恒磁场的安培环路定理

L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任意闭合路径 L 的线积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代 数和与真空磁导率的乘积.
成立条件：稳恒电流的磁场
L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）
B : 环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过 L ， 不穿过 L 的所有电流的贡献）

(穿 过L )
L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
I
i
: 穿过以 L 为边界的任意曲面的电流的代数和.
与L 绕向成右旋关系 I i 0 规定： 与L 绕向成左旋关系 I i 0 例如：