3-1 2019高三一轮复习课件导数的概念及应用

x.
cos x cos (4)y′＝ ex ′＝
x′ex－cos xex′ sin x＋cos x ＝－ . ex ex2
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规律方法
(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导
数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形 对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算
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第1讲 导数的概念及运算
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考试要求
1.导数的概念及其实际背景，A 级要求；2.导数的几何意
1 义，B 级要求；3.根据导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝ ，y＝x2， x y＝x3，y＝ x的导数，A 级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导数，B 级要求；5.求简单复合 函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b))的导数，B 级要求．
(4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错．
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
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3 2． (选修 2－2P14 练习 2 改编)有一机器人的运动方程为 s(t)＝t ＋ t (t
2
是时间， s 是位移 ) ，则该机器人在时刻 t ＝2 时的瞬时速度为 ________． 3 解析 由题意知， 机器人的速度方程为 v(t)＝s′(t)＝2t－t2， 故当 3 13 t＝2 时，机器人的瞬时速度为 v(2)＝2×2－22＝ 4 . 13 答案 4
3
x
x
x
x1
ln ＝ x
1 x x＋ xe .
1 (2)因为 y＝x ＋1＋x2， 所以 y′＝(x
3
1 2 2 )′＋(1)′＋ x2 ′＝3x －x3.
1 (3)因为 y＝x－2sin x， 所以
1 1 1 y′＝x－2sin x′＝x′－2sin x′＝1－ cos 2
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3．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函 数，则f′(0)的值为________． 解析 因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3. 答案 3
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知 识 梳 理 1．导数的概念 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且 x0∈(a，b)，若 Δx 无限 Δy fx0＋Δx－fx0 趋近于 0 时， 比值Δx＝ 无限趋近于一个常数 A， 则 Δx 称 f(x)在 x＝x0 处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导 数，记作 f′(x0)． 若函数 y＝f(x)在区间(a， b)内任意一点都可导， 则 f(x)在各点的导 数也随着 x 的变化而变化，因而是自变量 x 的函数，该函数称作 f(x)的导函数，记作 f′(x) ．
________．
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1 解析 (1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x· x＝2 018＋ln x．由 f′(x0)＝2 018， 得 ln x0＝0，则 x0＝1.
(2)f′(x)＝aln
1 x＋x·＝a(1＋ln x)． x
由于 f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又 f′(1)＝3，所以 a＝3.
(0 ， － 1) ， 并 且 与 曲 线 y ＝ f(x) 相 切 ， 则 直 线 l 的 方 程 为
________．
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解析 (1)设 x＞0， 则－x＜0， f(－x)＝ln x－3x， 又 f(x)为偶函数， f(x) 1 ＝ln x－3x，f′(x)＝ －3，f′(1)＝－2，切线方程为 y＝－2x－1. x (2)∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上， ∴设切点为(x0，y0)． 又∵f′(x)＝1＋ln
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5．复合函数求导的运算法则
一般地，设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝
f(u)在u处有导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也 有导数，用y′x＝y′u·u′x.
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诊断自测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同． ( )
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解析
由 y′＝ex，知曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线斜率 k1＝e0＝1.
1 1 设 P(m，n)，又 y＝ x (x>0)的导数 y′＝－x2， 1 1 曲线 y＝x (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m2. 依题意 k1k2＝－1，所以 m＝1，从而 n＝1. 则点 P 的坐标为(1,1)．
又切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直．
1 － ＝－1，则 ∴－a· 2
a＝－2.
答案 (1)(e，e) (2)－2
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[思想方法]
1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0) 的导数，而函数值 f(x0) 是一个常数，其导数一定为 0 ，即 (f(x0))′＝0. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原
y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有
可能和曲线还有其他的公共点． (2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的 切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标． (3) 当曲线 y ＝ f(x) 在点 (x0 ， f(x0)) 处的切线垂直于 x 轴时，函数
在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.
1 1 1 1 依题意，－ ＋ ＝ ，∴x0＝1，则 P1，－2， 2 x0 2
又切点
1 P1，－2在直线
1 y＝2x＋b 上，
1 1 故－ ＝ ＋b，得 b＝－1. 2 2
答案 －1
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规律方法
(1) 导数f′(x0) 的几何意义就是函数 y ＝ f(x) 在点 P(x0 ，
速度，减少差错．
(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
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【训练1】 (1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝ ________. (2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其
中 a 为实数， f′(x) 为 f(x) 的导函数．若 f′(1) ＝ 3 ，则 a 的值为
则．在实施化简时，必须注意交换的等价性．
3 ．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲 线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相 切只有一个公共点．
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[易错防范] 1 ．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防
止与乘法公式混淆．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0) 的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0) 不一定为切点． 3 ．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数
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4.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)± g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； ； (2)[f(x)· g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
fx (3) gx′＝
f′xgx－fxg′x (g(x)≠0)． 2 [gx]
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x f(x)＝ex
f′(x)＝ cos x
f′(x)＝－sin x f′(x)＝ ex
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f(x)＝ax(a>0) f(x)＝ln x f(x)＝logax (a>0，且 a≠1)
f′(x)＝axln a 1 f′(x)＝ x 1 f′(x)＝ xln a
答案 (1,1)
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命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围) 1 1 【例 2－3】 已知直线 y＝ x＋b 与曲线 y＝－ x＋ln x 相切，则 b 2 2 的值为________．
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解析
设切点坐标为 P(x0，y0)，
1 1 1 由 y＝－2x＋ln x，得 y′＝－2＋x . 1 1 ∴y′|x＝x0＝－2＋x ， 0
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． (4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2，则f′(x)＝3a2＋2x.
(
( (
)
) )
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解析
(1)f′(x0) 表示函数 f(x) 的导数在 x0 处的值，而f((x0))′ 表示
函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错． (2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错．
答案 (1)1 (2)3
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考点二 导数的几何意义(多维探究)
命题角度一 求切线方程
【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时， f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方 程是________． (2)(2017·扬州中学质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点
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2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，就是曲线y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 ，过点P的切线方程为y －y0＝f′(x0)(x－x0)．
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3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝ 0
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考点一
导数的计算
【例 1】 求下列函数的导数： (1)y＝exln x；
1 1 2 (2)y＝xx ＋x ＋x3；
x x (3)y＝x－sin cos ； 2 2 cos x (4)y＝ x . e
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解
(1)y′＝(e )′ln x＋e (ln x)′＝e ln x＋e
5．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1， f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 解析 由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，则f′(1)＝3a＋1，
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)， ∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 答案 1
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【训练 2】 (1)若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1 ＝0，则点 P 的坐标是________． x＋1 (2)(2017· 常州复习检测)已知曲线 y＝ 在点(3,2)处的切线与直 x－1 线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a＝________.
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y0＝x0ln x0， x，∴ y0＋1＝1＋ln x0x0，
解得 x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线 l 的方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0.
答案 (1)2x＋y＋1＝0 (2)x－y－1＝0
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命题角度二 求切点坐标 【例 2－2】 (2017· 苏、锡、常、镇四市调研)设曲线 y＝ex 在点(0,1) 1 处的切线与曲线 y＝x (x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为 ________．
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解析 率为 2.
1 (1)由题意得 y′＝ln x＋x·＝1＋ln x， 直线 2x－y＋1＝0 的斜 x
设 P(m，n)，则 1＋ln m＝2，解得 m＝e， 所以 n＝eln e＝e，即点 P 的坐标为(e，e)．
－2 1 (2)y′x＝3＝ 2x＝3＝－ ， 2 x － 1
4． (2017· 镇江期末 ) 曲线y ＝－ 5ex＋3 在点 (0，－ 2) 处的切线 方程为________． 解析 ∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－
5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋
2＝0. 答案 5x＋y＋2＝0
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