清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案

方法一：大M法 引入人工变量x6和x7,线性规划问题变为：
max Z 4 x1 x 2 Mx 5 Mx 6
3 x1 x2 x5 3
st
4
x
1
3 x2
x3
x6
x1
2x2
x4
4
6
x j 0（, j 1, ,4）
cj
CB
xB
b
-M x 5 3
-M x 6
6
0
x4
4
cj zj
4x1 x2 2x3 x4 2
(1)
stx12x1x23xx23
2x4 14 x3 x4
. 2
x1, x2, x3 0, x4无约束
解：令w Z, x4 x41 x42，其中x41，x42 0,
同时引入松弛变量 x5，剩余变量x6，则标准形式为：
maxw 3x1 4x2 2x3 5x41 5x42
。
min Z 2 x1 3 x 2 x 3
(2)
st
.
x 3
1
x
1
4
x 2
2
x
2
2
x3 6
8
x 1 , x 2 0
见下表。
max Z 4 x 1 x 2
3x1 x2 3
(3)
st
4 x
x
1
1 2
3 x
x
2
2 x
x
4
3
4
6
x j 0（, j 1 , ,4）
cj
-4
CB
xB
b
x1
-4 x1 3/5
1
-1 x 2 6/5
0
-1 0 0
i
x2
x3
x4
0 1/5 0
3
1 -3/5 0
0
x4
1
0
cj zj
0
0 [1] 1 1 0 1/5 0
-4 x1 2/5
1
-1 x 2 5/9
0
0 0 -1/5 1 0 3/5
0
x3
1
0
011
cj zj
0
0 0 -1/5
x1 0, x2 0, x3无约束
解 ： 令W Z , x11 x1 , x31 x32 x3 同 时 引 入 松 弛 变 量x4， 则 标 准 形 式 为 ：
maxW 2x112x2 3x313x32
st2x1x111x2x2 x3x131x3x232
4 x4
6
x11, x2, x31, x32, x4 0
max Z 10 x1 5x2
(1)
st
3 .5
x1 x1
4 x2 2 x2
9 8
x1, x2 0
cj
10
CB
xB
b
x1
0
x3
9
3
0
x4
8
[5]
cj zj
10
0
x 3 21/5
0
10 x1 8/5
1
cj zj
0
5
x 2 3/2
0
10
x1
1
1
cj zj
0
所以最优解为X*=(1,3/2,0,0)T
1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形
表和用单纯形法迭代后得到下面表格，试求括
弧中未知数a∼l值。
项目
X1 X2 X3 X4 X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1 3 (e) 0 1
Cj－Zj
a -1 2 0 0
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
st2x1x1 22x2x23xx33
4x4 2x4
7 3
xj 0,( j 1, 4)
maxZ 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9
(1)
st
8x1 3x1
x2 x6
4x3 0
2x5
10
xj 0（ , j 1, ,6）
x1
x2
x3
(x1,x2,x3)
第一章习题解答
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。 并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、 无界解还是无可百度文库解。
min Z 2 x1 3 x2
(1)
st
.
4 3
x1 x1
6 x2 2 x2
6 4
x1 , x2 0
max Z 3x1 2x2
(2)
st
.32xx11
x2 2 4x2 12
0
16/3
-7/6
(x2,x4,x6)
0
10
0
(x2,x5,x6)
0
3
0
(x3,x4,x6)
0
0
-5/2
(x3,x5,x6)
0
0
3/2
(x4,x5,x6)
0
0
0
x4
x5
x6
是否基
Z
可行解
0
0
0
否
-7
0
0
否
0
7/2
0
是
3
0
0
21/4
否
8
0
0
否
0
8
0
是
3
0
0
3
否
3
5
0
是
0
-2
0
15/4
否
0
2
9/4
是
9/4
8 10
x 1 , x 2 0
目标函数最优值（下界）为：6.4
l.7 分别用单纯形法中的大M法和两阶
段法求解下列线性规划问题，并指出属哪—类 解。
max Z 3 x 1 x 2 2 x 3
x1 x2 x3 6
(1)
st
2
2 x1 x2
x3 x3
0
2
x j 0（, j 1, ,3）
0
0
0
否
-7
0
0
否
0
7/2
0
是
3
8
0
0
否
0
8
0
是
3
3
5
0
是
0
所有基可行解中最优解为X=(0,3,0,0,3.5,0)T和X=(0,0,1.5,0,8,0)T
minZ 5x1 2x2 3x3 2x4
(2)
st2x1x1 22x2x23xx33
4x4 2x4
7 3
xj 0,( j 1, 4)
(x1,x2) (x1,x3) (x1,x4) (x2,x3) (x2,x4) (x3,x4)
mimW x 5 x 6
3 x1 x2 x5 3
st
4
x
1
3x2
x3
x6
x1
2 x2
x4
4
6
x j 0（, j 1 , ,4）
cj
CB
xB
b
-1 x 5 3
-1
x6
6
0
x4
4
cj zj
0
x1
1
-1 x 6 2
0
x4
3
cj zj
0
0
0
x1
x2
x3
[3]
1
0
4
3 -1
1
20
4x1 x2 2x3 x4 2
(1)
stx12x1x23xx23
2x4 14 x3 x4
. 2
x1, x2, x3 0, x4无约束
minZ 2x1 2x2 3x3
(2)
st
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
x1 0, x2 0, x3无约束
minZ 3x1 4x2 2x3 5x4
0
61/3
-7/6
(x1,x2,x4)
0
10
0
(x1,x2,x5)
0
3
0
(x1,x2,x6)
7/4
-4
0
(x1,x3,x4)
0
0
-5/2
(x1,x3,x5)
0
0
1.5
(x1,x3,x6)
1
0
-0.5
(x1,x4,x5)
0
0
0
(x1,x4,x6)
5/4
0
0
(x1,x5,x6)
3/4
0
0
(x2,x3,x6)
Cj－Zj
0
0
0 -1/5 2/5 0
1
0 3/5 -1/5 0
0
x3
1
0
0
1
1
1 -1
cj zj
0
0
0 -1/5 -M+7/5 -M
由于上表中所有检验数都小于等于零(且非基变量检验数都 小于0)，因此已经得到唯一最优解，最优解为：
X * 25 ,9 /5 ,1 ,0 ,0 ,0 T
方法二：两阶段法
第一阶段：
5 00
x2
x3
x4
4 10
2 01
5 00
[14/5] 1 -3/5
2/5 0 1/5
1 0 -2
1 5/14 -3/14
0 -1/7 2/7
0
-5/14 25/14
0点
A1点 A2点
max Z 2 x1 x2
3x1 5x2 15 (2) st.6 x1 2 x2 24
x1, x2 0
解：上界对应的模型如下（c,b取大，a取小）
max Z 3 x1 6 x 2
st
.
1x1 2 x2 2 x1 4 x2
12 14
x1 , x 2 0
目标函数最优值的上界为：21
解：下界对应的模型如下（ c,b取小，a取大）
max Z x 1 4 x 2
st
.
3 x1 5 x2 5 x1 6 x2
cj
-4
CB
xB
b
x1
-4 x1 3/5
1
-1 x 2 6/5
0
-1
0
0 -M -M
i
x2
x3
x4
x5
x6
0 1/5 0 3/5 -1/5 3
1 -3/5 0 -4/5 -3/5
0
x4
1
0
cj zj
0
0 [1] 1
1 -1 1
0
1/5
0 -M+8/5 -M-1/5
-4 x1 2/5
1
-1 x 2 5/9
x1, x2 0
max Z x1 x2
(3)
st
6 .
x1 10x2 5 x1
120 10
5 x2 8
max Z 5x1 6 x2
(4)
st
.
2 x1 2 x1
x2 3x2
2
2
x1, x2 0
min Z 2 x 1 3 x 2
(1)
st
.
4 3
x x
1 1
0
0
0 -M -M
i
x2
x3
x4
x5
x6
0 1/5 0 3/5 -1/5
1 -3/5 0 -4/5 -3/5
0 [1] 1
0
0
0
1 -1
-1 -1
该模型最优解为X=（3/5，6/5，0，1，0，0）T， 其基变量不含人工变量，说明原问题的一个基可行解为 X=（ 3/5，6/5，0，1 ）T，转入第二阶段。
1.3 对下述线性规划问题找出所有基解， 指出哪些是基可行解，并确定最优解。
maxZ 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9
(1)
st
8x1 3x1
x2 x6
4x3 0
2x5
10
xj 0（ , j 1, ,6）
minZ 5x1 2x2 3x3 2x4
(2)
x1
x2
-4
11/2
2/5
0
-1/3
0
0
1/2
0
-1/2
0
0
x3
x4
是否基
Z
可行解
0
0
否
11/5
0
是
43/5
0
11/6
否
2
0
是
5
0
2
否
1
1
是
5
所有基可行解中最优解为X=(0,1/2,2,0)T和X=(0,0,1,1)T
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述
线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
6 x2 2 x2
6 4
x 1 , x 2 0
无穷多最优解
(蓝色线段上的点都是最 优解）
x1
6 5
, x2
1 5
, 是其中一个最优解
max Z 3 x 1 2 x 2
(2)
st
2 . 3
x1 x1
x2 2 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
该问题无可行解
max Z x 1 x 2
4x1 x2 2x3 x41 x42 2
st
x1 x2 x3 2x1 3x2
2x41 2x42 x3 x41 x42
x5 x6
14 2
x1, x2 , x3 , x41, x42, x6 0
minZ 2x1 2x2 3x3
(2)
st
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
-4 x1 1
-M x 6 2
0
x4
3
cj zj
-4
-1 0
x1
x2
x3
[3]
1
0
4
3 -1
1
20
7M-4 4M-1 -M
1
1/3 0
0 [5/3] -1
0
5/3 0
0 5M/3+1/3 -M
0 -M -M
i
x4
x5
x6
0
10
1
0
0 1 3/2
1
00
4
0
00
0 1/3 0 3
0 -4/3 1 6/5 1 -1/3 0 9/5 0 -7M/3+4/3 0
(3)
st
.
6
x
1 10 5 x
x2 1
120 10
5 x 2 8
唯一最优解， x1 10 , x 2 6
Z 16
max Z 5 x1 6 x 2
(4)
st
.
2 2
x1 x1
x2 3x
2
2
2
x1 , x 2 0
该问题有无界解
1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
min Z 3x1 4x2 2x3 5x4
c,d的l.值5 如上何题变(1化)中，，使若该目问标题函可数行变域为的m每ax个Z顶=点c依x1次+使d目x2标，函讨数论
达到最优。
最优值
1)c<0
2)c=0 3)c>0
d<0
d=0
d>0
d<0
d>0
d<0
d=0 d>0
0 c 3 d4
c3 d4
3 c 5 4d 2
c5 d2 c5 d2
O点 OA3线段 A3点 OA1线段 A3点 A1点 A1点 A3点
7
4 -1
1
1/3 0
0 [5/3] -1
0
5/3 0
0
5/3
-1
0 -1 -1
i
x4
x5
x6
0
10
1
0
0 1 3/2
1
00
4
0
00
0 1/3 0 3
0 -4/3 1 6/5 1 -1/3 0 9/5 0 -7/3 0
cj
0
CB
xB
b
x1
0
x1 3/5
1
0
x 2 6/5
0
0
x4
1
0
cj zj
0
由于上表中所有检验数都小于等于零(且非基变量检验数都 小于0)，因此已经得到唯一最优解，最优解为：
X *25,9/5,1,0T
max Z 10 x 1 15 x 2 12 x 3
5 x1 3 x2 x3 9
(4)
st
5
x
1
2
x1
6x2 x2 x3
15 x 3 5
15
x j 0（, j 1, ,3）
A2A3线段
A2点
A1A2线段
A1点
l.6 考虑下述线性规划问题：
max Z c1 x1 c2 x2
st
.
a11 x1 a 21 x1
a12 a 22
x2 x2
b1 b2
x1 , x2 0
21上0≤界≤a。式1b22≤中≤5，1,481,试≤≤确bc11定≤≤目132, 标,42≤函≤c数a2≤2最1≤6优,5-值,14≤的≤a下a112≤界2≤3和,6,