2010年(全国卷II)(含规范标准答案)高考理科数学

2010年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）

数学(理)试题

一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)

（1）复数2

31i i -⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

( )

（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + （2）函数1ln(1)

(1)2

x y x +-=

>的反函数是( ) （A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈

（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪

⎨⎪+⎩

≥≥≤，则2z x y =+的最大值为( )

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=( )

（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35

（5）不等式

26

01

x x x ---＞的解集为( ) （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ （C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ （6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( )

（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种

（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π

=+的图像

( )

（A ）向左平移

4π个长度单位 （B ）向右平移4π

个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π

个长度单位

（8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若＝a ，＝b ，|a |＝1，

|b |＝2，则

等于( )

（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355

a b +

（9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )

（A ）1 （B 3 （C ）2 （D ）3

（10）若曲线1

2

y x -=在点1

2,a a -⎛

⎫ ⎪⎝⎭

处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为

18，则a =( )

（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8

（11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点( )

（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个

（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=＞＞的离心率为3

2，过右焦点F 且斜率为

(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r

，则k =( )

（A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）已知a 是第二象限的角，4

tan(2)3

a π+=-，则tan a = ．

（14）若9()a

x x

-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．

（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 3的直线与

l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =u u u u r u u u r

，则p = ．

（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ． 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤．

（17

）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13

B =

，3

cos 5

ADC ∠=，求AD ．

（18）（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n .

（Ⅰ）求lim

n

n n

a S →∞； （Ⅱ）证明：12

222312n n a a a n

+++…＞．

（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AA 1＝AB ，D 为BB 1的中点，E 为AB 1上的一点，AE ＝3EB 1.

（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．

（20）（本小题满分12分） 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ；

（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；

（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．

（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：

()22

22100x y a b a b

-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． （Ⅰ）求C 的离心率；

（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF =g ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．

（22）（本小题满分12分）设函数()1x f x e -=-． （Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1

x

f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1

x

f x ax ≤+，求a 的取值范围．