线性代数[1]

《线性代数(文)》综合复习资料
一、填空题
1．排列315426的逆序数为 。

2. 行列式111
222333
D == 。

3．若A = 101λ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则矩阵A 的k 次幂k
A = 。

4．若向量组321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα+++,是线 性 的。

5．431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

6．设==D D 则,0
101111
01 。

7．设=≠-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-1
),0 A bc ad d c b a A 则（其中 。

8．已知齐次线性方程组1231231
23220
20340
x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪
+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则λ= 。

9．已知()2104,,,α=，()1024,,,β=-，32αβ-= 。

10．设向量2132122112123,ααβααβααβαα+=+=+=，，线性无关，则一定 是线性 关的。

11．在六阶行列式263265135441det(),ij D a a a a a a a =中应带 号。

12．若11022
x
c c c ,x = 则x = 。

13．矩阵1132A -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的标准形是I =。

14．设n 阶矩阵A ，满足方程2230A A E ++=，则1A -= 。

15．123312132124x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

16.排列542163的逆序数为 。

17．123
456789
D == 。

18. 设100101010⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ,则2=A。

19．若向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===线性相关，则
t ＝ 。

二、单项选择题
1.下列排列中是奇排列的是( ).
A) 4321; B) 1234 ; C) 2314; D) 4123.
2. 矩阵1234124511012⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
的秩等于( ).
A ）0；
B ）1；
C ）2；
D ）3。

3.若向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===线性相关，则t ＝（ ）； A ) 4； B ) 5； C ) 2； D ) 前面选项都不对．
4. 设A ，B 都是n 阶方阵，若AB O =（O 为n 阶零矩阵），则必有( )。

A ) A O =或
B O =； B ) 0A =或0B =；
C ) A B O +=； D) 0A B +=．
5．关于向量123411011011
,,,01110000ββββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,下述说法不正确．．．的是（ ）.
A ）12,ββ线性无关；
B ）13,ββ线性无关；
C ）124,,βββ线性无关；
D ）123,.βββ线性无关. 6. 若A 是4阶方阵，2A =，则 2A =（ ）；
A ）4；
B ）8；
C ）16；
D ）32。

7.若12021
k k -=-,则必有( ).
A) 1k =-; B) 3k =;
C) 1k =-或3k =; D) 1k ≠-且3k ≠. 8．向量组1232m ,,,,(m )αααα⋅⋅⋅≥线性相关，则（ ）。

A ）任一向量均可由其余向量线性表示； B ）m α可由其余向量线性表示； C ）123,,ααα一定是线性相关的；
D ）向量组中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。

9．若排列6 i 4 3 j 1为偶排列，则 （ ）。

A) i =2 ，j =5; B) i =5 ，j =2; C) i =j =2; D) i =j =5. 10. 设,A B 均为n 阶方阵,且0AB =,但0≠B ,则必有( ).
A ）||0≠A ；
B ）B 可逆；
C ）=AB BA ；
D ）0Ax =有非零解.
三、计算证明题
1．用初等变换法求矩阵102020103A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵。

2.设()32,1231A B ⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
，计算AB BA 与。

3．计算行列式1134
3008
30024477
D =。

4.设112340
12300120001A ,A -⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
求。

5．已知A ，B 为n 阶正交矩阵，求证B A B B A A T T +=+)(。

6．若2
A A =，且A E ≠，证明|A |=0。

7．若A,B 皆为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，证明：若 A 与B 相似，则A+E 与B+E 也相似。

四、 设A ，B ，C 为同阶方阵，且A 可逆，B 不为零矩阵 （1）证明：若AC =O ，则C =O ；
（2） 举例说明若BC=O ，不一定有C = O 。

五、设有向量组123202134
,,123101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
（1）求此向量组的秩，并求一个最大无关组，
（2）将其余向量用这个最大无关组线性表示。

六、求下列非齐次线性方程组的一般解及对应的齐次线性方程组的基础解系：
12
12341
234 522153223
x x x x x x x x x x +=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩。

七、设有向量组12
3,,ααα，证明: 向量组12αα-，23αα-，31αα-线性相关。

八、向量组12,,,(2)m m ααα≥ 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m -1个向量线性表示。

九、求齐次线性方程组 1234123412
3424702203240
x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪
+-+=⎨⎪-+-=⎩ 的一个基础解系及一般解。

十、已知向量组123,,ααα线性无关，11βα=，212βαα=+,
3123βααα=++,求证向量组123,,βββ线性无关。

十一、用消元法解下列线性方程组：123412341234101222
x x x x x x x x x x x x ⎧
⎪-+-=⎪
--+=⎨⎪⎪--+=-⎩。

十二、求一个正交矩阵P ，使AP P 1
-为对角阵，其中A =120222023-⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭。

参考答案： 一、填空题
1．5；2. 0; 3.101k λ⎛⎫ ⎪⎝⎭; 4.无关; 5.35649⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
;
6．0；7.
1d b c a ad bc -⎛⎫
⎪--⎝⎭
; 8. 4; 9.()8, 3, 4, 4-；10. 相;
11．-； 12. 1或2; 13. 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭; 14. 1(2)3A E -+; 15. 123123123323224x x x x x x x x x ++⎛⎫
⎪
++ ⎪ ⎪
++⎝⎭; 16．9； 17. 0; 18. 100110101⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
; 19. 5;
二、单项选择题
1.D;
2. C;
3.B; 4．B; 5. D; 6．D; 7. C; 8. D; 9. A; 10. D;
三、计算证明题
1．用初等变换法求矩阵102020103A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
的逆矩阵。

解 1
3
20
5510
12110
55A -⎛⎫- ⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭。

2.设()32,1231A B ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭，计算AB BA 与。

解：369246123AB ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，10.BA =
3．计算行列式1134
300830024477
D =。

解 90D =。

4.设112340
12300120
00
1A ,A -⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪⎝⎭求。

解：11210012100120001A --⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
5．已知A ，B 为n 阶正交矩阵，求证B A B B A A T T +=+)(。

证：()T T T T A A B B AA B AB B B A A B +=+=+=+
6．若2
A A =，且A E ≠，证明|A |=0。

证：（反证）若||0,A ≠则1A -存在，在2A A =两边同乘以1
A -，得A E =，矛盾。

7．若A,B 皆为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，证明：若 A 与B 相似，则A+E 与B+E 也相似。

证：由1
P AP B -=，可得1()P A E P B E -+=+。

四、 设A ，B ，C 为同阶方阵，且A 可逆，B 不为零矩阵 （1）证明：若AC =O ，则C =O ；
（2） 举例说明若BC=O ，不一定有C = O 。

证（1）：因为A 可逆，由10,0,0AC A AC C -=⇒==故。

解（2）: 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=1111
,1111C B ,则有,BC O C O =≠但。

五、设有向量组123202134,,123101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===
⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， （1）求此向量组的秩，并求一个最大无关组，
（2）将其余向量用这个最大无关组线性表示。

解：向量组的秩为2，12αα，为一个极大无关组，且312ααα=+。

六、求下列非齐次线性方程组的一般解及对应的齐次线性方程组的基础解系：
12
12341
234 522153223
x x x x x x x x x x +=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩。

解：通解为12
3418113 ()1002x x C C R x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，齐次方程组的基础解系为1110-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

七、设有向量组12
3,,ααα，证明: 向量组12αα-，23αα-，31αα-
线性相关。

证：设有112223331()()()0k k k αααααα-+-+-= 可推出 1230k k k ===，从而知12αα-，23αα-，31αα-线性相关。

（注：也可由31
αα-12231()1()αααα=-⋅--⋅-立即知）
八、向量组12,,,(2)m m ααα≥ 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m -1个向量线性表示。

证：必要性 设12,,,m ααα 线性相关，即有一组不全为零的数12,,,m k k k
使 11220m m k k k ααα+++= ， 不妨设0m k ≠，则有
112121()()(),m m m m m m
k k k
k k k αααα--=-
+-++- 即m α可由其余向量线性表示。

充分性 设向量组中有一个向量（譬如m α）可由其余的向量线性表示， 即有 112211,m m m αλαλαλα--=+++
故 112211(1)0,m m m λαλαλαα--++++-= 因12,,,(1)λλ- 这m 个数不全为零，故12,,,m ααα 线性相关。

九、求齐次线性方程组 1234123412
3424702203240
x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪
+-+=⎨⎪-+-=⎩ 的一个基础解系及一般解。

解 基础解系为0210ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，一般解为02
,().10x k k R ⎛⎫
⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭
十、已知向量组123,,ααα线性无关，11βα=，212βαα=+,
3123βααα=++,求证向量组123,,βββ线性无关。

解：设有112233k k k O βββ++=，可推得 1230k k k ===，所以向量组123,,βββ线 性无关。

十一、用消元法解下列线性方程组：123412341234101222
x x x x x x x x x x x x ⎧
⎪-+-=⎪
--+=⎨⎪⎪--+=-⎩。

解：全部解为 1211021000112010x k k ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，（其中12,k k R ∈） 十二、求一个正交矩阵P ，使AP P 1
-为对角阵，其中A =120222023-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭。

解：特征值为1231,2,5λλλ=-==，
正交矩阵为()1
2
32
213332123331223
3
3P p p p ⎛⎫-
⎪ ⎪
⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，且1125P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。