离心率的求法总结精
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圆锥曲线中的离心率问题
离心率两大考点:求值、求围
求值: 1. 利用a与c的关系式(或齐次式)
2. 几何法
3. 与其它知识点结合
、不等关系求解.
求围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c
、不等关系求解
2. 运用数形结合建立a c
3. 利用曲线的围,建立不等关系
4. 运用函数思想求解离心率
5. 运用判别式建立不等关系求解离心率
一、求离心率的值
1. 利用a与c的关系式(或齐次式)
题1:(市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点,则该椭圆的离心率为.
题2:已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个角为60°,
6
则双曲线C的离心率为
题3:设双曲线()222200x y a b a b
-=1>,>的渐近线与抛物线2
1y =x +相切,则该双曲线的
离心率等于( )
(A )3 (B )2 (C )5 (D )6
解:由题双曲线()22
2200x y a b a b
-=1>,>的一条渐近线方程为a bx y =,代入抛物线方程
整理得02=+-a bx ax ,因渐近线与抛物线相切,所以0422=-a b ,即
5522=⇔=e a c ,故选择C 。
题4:(2009理) 过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线,该直线
与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ,C .若1
2
AB BC =,则双曲线的离心率是( ) (A )2 (B )3
(C )5
(D )10
2. 几何法
题1: 以椭圆的右焦点F ,为圆心作圆,使这圆过椭圆的中心,且交椭圆于点M ,若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线,M 是切点,则椭圆的离心率是
1121
1,2,3,31MF F F MF e
题2: F l,F2为椭圆的左、右两个焦点,过F2的直线交椭圆于P、Q两点,PF1PQ,且
1
PF PQ,求椭圆的离心率.
题3:
122
12
(05,,
221
A. B. C. 2 2 D. 21
22
F F F P
F PF
全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()
-
--
∆
(采用离心率的定义以及椭圆的定义求解)
解:如右图所示,有12
22
2||||
21
22221
c c c
e
a a PF PF
c c
===
+
===-
++
离心率的定义椭圆的定义
故选D
3. 与其它知识点结合
题1:已知M为椭圆上一点,F l,F2是其两个焦点,且∠MF l F2= 2,∠MF2F l=(≠ 0),则椭圆的离心率为( )
(A)1—2sin (B)l—sin 2 (C)1-cos2
(D)2cos-1
题2:已知P 为双曲线右支上一点,F l 、F 2是其左、右两焦点,且∠PF l F 2= 15°,∠PF 2F l =75°,
则双曲线的离心率为 .
练习:
.
222
21(0
),4
x y a
b a b 1.设双曲线
半焦距为c,直线l 过点(a,0),(0,b)
两点,已知原点到
直线l ,则双曲线的离心率为( )
A
3
2.已知双曲线的渐近线为34y
x ,则双曲线的离心率为 55,34
3.过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦MN ,A 为双曲线的距F 较远的顶点,∠MAN=90°,
双曲线的离心率等于 2
22
1212224.(071(0,0)||A.x y F F a b A B O OF a b
F AB 安徽卷)
和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径
的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为( D )-=>>∆
2
b a c
a
22
121222125.(07190,
||3||,51015A. B. C. D. 5x y F F A F AF a b
AF AF 全国Ⅱ)
设、分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使且则双曲线的离心率为( B )
-=∠==
二、求离心率的取值围
1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解.
题1:(2008)双曲线22
221x y a b
==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且
|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值围为( )
A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
分析 求双曲线离心率的取值围需建立不等关系,题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢?
解析:∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1||PF 2|=|PF 2|=2a ,|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥ 所以双曲线离心率的取值围为13e <≤,故选B.
点评:本题建立不等关系是难点,如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -)则可建立不等关系使问题迎刃而解.