数列-课件ppt

由数列的前几项写出数列的通项公式 写出下列数列的一个通项公式． (1)5,10,15,20,25，…； (2)5,10,20,40,80，…； (3)1，－3,5，－7,9，－11，…； (4)1,11,111,1111，…； (5)，，，，…； (6)1,2,1,2,1,2，….
解析： (1)方法一：3＝4－1＝22－1,8＝9－1＝32－ 1，
15＝16－1＝42－1,24＝25－1＝52－1,35＝36－1＝62 －1.
因此所给数列的一个通项公式为an＝(n＋1)2－1. 方法二：3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6,35＝
5×7，因此所给数列的一个通项公式为an＝n(n＋2)．
数列
数列的概念
1．了解数列、通项公式的概念．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
3．能根据数列的通项公式确定数列的某一项．
4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公 式．
1．数列及通项公式的概念．(重点)
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公 式．(难点)
3．常与函数、不等式结合命题，多以选择题、 填空题形式命题.
(1)分析序数n与项an之间的变化规律； (2)间接地利用项与项特别是相邻项之间的关系入手解
决．
[解题过程] 20，…
(1)a1 ＝ 5 ， a2 ＝ 10 ， a3 ＝ 15 ， a4 ＝
归纳得an＝5n. (a归21)＝纳a15得＝×a51n，＝，a5a2×＝2＝21n50－×，1.2a，3＝a32＝0，5×a42＝2，40a，4＝…5可×以23，看…作 (3)每一项正负相间，考虑(－1)n＋1具有转换符号
已知数列{an}的通项公式为 an＝9n29－n29－n＋ 1 2. (1)求这个数列的第 10 项； (2)19081是否是该数列中的项？5681是否是该数列中的项？ 为什么？ (3)在区间13，23内有无该数列中的项？若有，有几项？ 若没有，请说明理由．
[策略点睛]
[规范作答] (1)∵an＝9n92－n2－9n1＋2＝33nn－ －1133nn－ ＋21 ＝33nn－ ＋21， ∴a10＝33× ×1100－ ＋21＝2381；
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
2．数列的通项公式 (1)由数列的前几项归纳其通项公式 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细
观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；
答案： an＝(n－1)2
5．写出数列 3， 7， 11， 15， 19，…的一个通项 公式，并判断 3 11是否为这个数列的项，若是，是第几项．
解析： 由已知可得数列的通项公式为 an＝ 4n－1， 令 4n－1＝3 11，则 4n－11＝99， ∴n＝25，∴3 11是这个数列中的项，且是第 25 项．
答案： C
2 ． 以 下 四 个 数 中 ， 哪 个 数 是 数 列 {2n(n －
1)}(n∈N＋)中的一项( )
A．12
B．23
C．25
D．11
答案： A
3其．第已3项知和数第列5{项an分}的别通为项__公__式__是__a．n＝n2－1，则
答案： 8,24
4 ． 数 列 0,1,4,9 ， … 的 一 个 通 项 公 式 为 ________．
无穷数列 项数 无限 的数列
2.数列的通项公式
(1)数列的函数刻画
从函数观点看，数列可以看成是以 正整数集N＋或其有限子
集{1,2，…，n}为定义域的函数an＝f(n) 大的顺序依次取值时，所对应的
，当自变量n按 一列函数值
照从小到 ，其图
像为一组 离散 的点．
(2)通项公式
如果数列{an}的 第n项an与n
的作用，而每项的绝对值为1,3,5,7,9，…是连续 奇数可归纳得：
an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
(4)a1＝1，a2＝11，a3＝111，a4＝1111，… 各项乘以9得9,99,999,9999，… 再加上1得10,100,1000,10000，… 即10＝9a1＋1,100＝9a2＋1,1000＝9a3＋1 ∴10n＝9an＋1，
(2)数列可化为 3， 9， 15， 21， 27，
即 3×1， 3×3， 3×5， 3×7， 3×9，
每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数 3，
后一个因数为 2n－1，
故原数列的一个通项公式为 an＝ 32n－1＝ 6n－3.
(3)原数列可变形为 1－110，1－1102，1－1103，1－1104， 故所给数列的一个通项公式为 an＝1－110n. (4)数列的符号规律是(－1)n＋1，使各项的分子都为 4，则 变为42，－45，48，－141，…再把各分母都加上 1，又变为43， －46，49，－142，… ∴数列的一个通项公式是 an＝4×3n－－11n＋1.
④各项符号特征和绝对值特征等，并对此进行 归纳，猜想．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
1．如果 f(x)＝x2－1，x∈{1,2,3,4,5}．则 f(x)的值域为 {0,3,8,15,24}．可以写成{8,3,0,24,15}吗？
2．将前 5 个正整数的倒数按由大到小排成一列 1，12，13， 14，15.若写成15，14，13，12，1 还符合要求吗？
3．函数 f(x)＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}的图像上共有 5 个 点，它们是(1,3)，(2,5)，(3,7)，(4,9)，(5,11)．能说 f(x)的图 像是直线吗？
(2)由题设条件知 an＝ n＋2n. ∴a4＝ 4＋2×4＝10， a25＝ 25＋2×25＝55.
[题后感悟] 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要 注意 n＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运 算化简后再求值，并注意函数的性质的应用．
n，n为奇数 2．(1)已知数列 an＝n2，n为偶数 ， 试写出其前四项； (2)已知数列{an}中， a1＝2，an＋1＝12an＋3，写出其前 5 项．
∴an＝10n9－1.
(5)分式型应单独考虑分子和分母． 分子：2,3,4,5，…，为 n＋1 分母为：3,4,5,6，…，为 n＋2 故 an＝nn＋＋12.
(6)n 为奇数时为 1，n 为偶数时为 2， ∴an＝12nn为为奇偶数数 .
[题后感悟] (1)若已知数列的项是整数，求 通项公式的一般规律是：
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
正
数
项
？
并
求
出
这
些
解析： (1)设 an＝An＋B(A≠0)， 由已知，得38AA＋ ＋BB＝ ＝4－，6， 解得AB＝ ＝2－，12. ∴an＝2n－12；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)令 an＝20 即 2n－12＝20，得 n＝16，
因此 20 是此数列中的第 16 项，即 a16＝20；
(3)由an≤0即2n－12≤0， ∴n≤6.又n∈N＋， ∴n＝1,2,3,4,5,6.
[题后感悟] (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的 位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n， 就可以求出数列的相应项，反过来，判断一个数是不
是一个数列中的项，要看以n为未知数的方程有没有正 整数解，有正整数解就是，否则就不是．
(2) 数 列 {an} 中 的 通 项 an ＝ f(n) 是 关 于 数 列 项 数 n 的 函 数．其定义域是正整数集N＋(或它的有限子集)，这里 的有限子集是指{1,2，…，n}，而不是其他子集．如 {3,4}不是an＝f(n)的定义域．
(3)假设数列{an}在13，23内有项，且为 ak，
则13＜ak＜23，即3333kkkk－ ＋－ ＋2121＞ ＜1323
，∵3k＋1＞0，
∴不等式组变形为99kk－ －66＞ ＜36kk＋ ＋12 ，解得76＜k＜83， 又∵k∈N＋，∴k＝2， ∴数列{an}在区间13，23内有项且只有一项，是第 2 项．
◎判断68是否是数列{3n2－28n}的项． 【错解】 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， ∵Δ＝282－4×3×(－68)＞0， ∴n有解，∴68是数列中的项． 【错因】 错解忽略了n∈N＋的前提，故只有当n有正
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(1)若{an}的通项公式为 an＝cosn2π，分别求出其前 4 项与 第 10 项；
(2)已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加 上序号的 2 倍，求这个数列的第 4 项与第 25 项．
(1)要注意利用余弦函数的周期性； (2)要先写出通项公式再求项．
[解题过程] (1)a1＝cosπ2＝0，a2＝cos π＝－1，a3＝cos32π ＝0，a4＝cos 2π＝1，a10＝cos 5π＝cos π＝－1.
1．数列及有关概念
(1)数列的有关概念及表示
一般地，按一定次序 排列的一列数叫做数列，数 列中的每一个数 叫做这个数列的项，数列一般形式
可数首以项写；列成an是a1，数的a列2，的a第第3，n项…，a1n也…叫简项数记列为的a1 {a通n}项也，．
其
中 称
(2)数列的分类 类别
含义
有穷数列 项数 有限 的数列
(3)解决是否存在型问题，可先假设存在，然后代入条 件或参数的值或范围，若符合题意，则存在，若不符
合题意，则不存在．
3数．，已且知a3数＝列－{6a，n}a的8＝通4项. 公式是关于n的一次函 (1)求{an}的通项公式； (2)判断20是否是此数列中的项；
(3)数 项．
列
{an}
中有
几
个非
②根据所给项的结构拆项，转化成项为整数的
n个新数列．
③利用(1)的方法求出这n个新数列的通项公
式．
④“组装”：将新数列的通项公式“组装”成 原数列的通项公式.
1．写出数列的一个通项公式，使它的前几项是下列各 数．
(1)3,8,15,24,35； (2) 3，3， 15， 21，3 3； (3)0.9,0.99,0.999,0.9999； (4)2，－45，12，－141，27，－147.
即{an}中共有6个非正数项， 分别为a1＝－10，a2＝－8，a3＝－6，a4＝－4，
a5＝－2，a6＝0.
1．数列概念的理解
(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一 个数列不仅与组成数列的“数”有关，而且与 这些数的排列顺序有关．因此，如果组成数列 的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同 的数列．
①分析项与相应项数的关系，寻找用项数表示 项的具体表达式．
②分析项与项之间的变化特征，统一用项数表 示项．
③推广为一般，即数列的通项公式．
(2)若已知数列的项不是整数，求通项公式的 一般规律是：
①将给出的项统一表示形式(如一个数列有的 项是整数，有的项是分数，我们可以把整数的 项统一化为分数形式)．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)