浙大概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布PPT课件

P Xx i PXxi,Yyj pij P i •
j1
j1
i1,2,
Xxij 1 Xxi,Yyj
称Y的分布律为(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律
PYyj PX x i,Yyj p ijp .j
i 1
i 1
j1,2,
例2 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求
12
(x 2 σ μ 1 2 1)2 21 1 ρ 2 y σ 2 μ 2 ρx σ 1 μ 1 2
2
f x2 π σσ11ρe e d y X
12
(x 2 σ μ 1 2 1)2 21 1 ρ 2 y σ 2 μ 2 ρx σ 1 μ 1 2
2
令t 1 1ρ2y σ2μ2ρx σ1μ1, 则有
离散型随机变量的条件分布 连续型随机变量的条件分布 小结
在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P(A| B) P(AB) P(B)
推广到随机变量 二维随机向量 X, Y ， 在给定Y 取某个或某些值的条件下，X的概率分布.
这个分布就是条件分布.
离散型随机变量的条件分布
连续型随机变量的条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
不同的二维正态分布, 但它们的边缘分布却都是一样的. 此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
四、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布.
2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
第三节 条件分布
度为 f (x, y)
则称X 的概率密度函数为( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度
fX(x)f(x,y)dyx
称Y 的概率密度函数为( X,Y )关于Y 的边缘 概率密度
fY(y)f(x,y)dx y
例3 设(X,Y)的概率密度是
f(x,y) c(y 20 x,),0x1,其 0y 它 x
fY|X(y|
x)
f(x, y) fX(x)
例2:设二维随机变量(X,Y)的 概率密度为：
数 Fx, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FXx,F Yy, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
F X x P X x P X x ,Y Fx, F Y y P Y y P X , Y y F , y
设 X 和 Y 的联合概率密度为 f x, y,
X,Y 关于 Y 的边缘概率密度为 fY y , 若对于固定
的 y,
fYy0, 则称
f x , y 为在 Y y 的条件下 fY y
X 的条件概率密度. 记为
fX|Y(x|
y)
f(x, y) fY(y)
类似地,可以定义在X=x的条件下Y的条件概率密度为
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 y
yx
0 x1 x
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度
f
x,
y
1
2πσ1σ2 1ρ2
exp 2
1 1ρ2
(xσ12μ1)2
2ρ(xμ1)(yμ2) σ1σ2
(yσ22μ2)2
x , y ,
其中 1,2,1,2,均为常数 , 且 10,20, ρ 1 . 则称（ X,Y）服从参数为 1,2,1,2,
第二节 边缘分布
边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度 小结
整体概述
概况一
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
概况二
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概况三
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一、边缘分布函数
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
例1：第一节例题1 (P62) 求X=3的条件下Y的条件分布律
YX 1
1
2
3
4
pY ()
1/4 1/8 1/12 1/16 25/48
2
0 1/8 1/12 1/16 13/48
3
00
1/12 1/16 7/48
4
00
0
1/16 3/48
pX () 1/4
1/4
1/4
1/4
二、连续型随机变量的条件分布
例1：设(X,Y)的分布函数为
F(x,y) 1e2x 1ey x0,y0
0
其 余
求 FXx,F Yy,
二、离散型随机变量的边缘分布律
离散型随机变量( X,Y )的联合分布律为
P (X x i,Yyj) p i,j i,j 1 ,2 ,
则称X 的分布律为(X,Y) 关于X 的边缘分布律
1） (X ,Y) 的分布律
2） (X ,Y) 关于X，Y的边缘分布律
XY 0
13 0 18
1
38 0
2
38 0
3
0 18
PY yj 6 8 2 8
PXxi
18 38 38 18
由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
三、连续型随机变量的边缘概率密度 连续型随机变量 ( X,Y ) 的联合概率密
fX
x 1 e(x2σμ121)2 2πσ1
t2
e 2dt
1
e (x2σμ121)2
2πσ1
2π
1
e(
x μ1 2σ12
)2
2πσ1
x
同理 可见
fY
y
1
e(y2σμ222)2
2πσ2
y
二维正态分布的 缘两 分个 布边 都是一维 布正 ，
且不依赖于参数
也就是说， 1， 对 2， 于 1， 给 2 不 定 同 的 对 的
定义1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对 于固定的 j，若 P{Y = yj } > 0，则称
P X xi,Y yj P{X= xi |Y= yj }= P Y yj
pij p• j
，i=1,2, …
为在 Y = yj条件下随机变量X的条件分布律.
类似定义在 X= xi 条件下 随机变量Y 的条件分布律.
的二维正态分布. 记作（ X,Y）～ N( μ1,μ2,σ12,σ22,ρ).
例 4 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.
解 fXx fx,ydy
因为
(y σ2 2 μ2)22ρ(xμσ 1)1σ (y 2μ2)
y σ2μ2ρx σ1μ12ρ2(x σ1 1 μ1)2
所以
f x2 π σσ11ρe e d y X