压缩映象原理及其应用

第六节 压缩映象原理及其应用

本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach 压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。

随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach 压缩映象定理。 定义（压缩映象）

设T 是度量空间X 到X 中的映照，如果对都有

（是常数）则称T 是X 上的一个压缩映照。

从几何上说：压缩映照即点x 和y 经过映照T 后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍）

定理1（Banach 压缩映照原理）1922年

（Banach 1892-1945 波兰数学家）

设（X,d ）是一个完备度量空间，T 是X 上的一个压缩映照，则丅有唯一的不动点。即的使 证：任取令

（此即解方程的逐次迭代法） 先证是Cauchy 点列 ① ① 先考虑相邻两点的距离

②再考虑任意两点的距离 当n>m 时

0x ()00x x g =X y X x ∈∈∀,()()y x d Ty Tx d ,,α≤10<<αα∃X x ∈.x Tx =,0X x ∈,...,...,11201-===n n Tx x Tx x Tx x {}n x ()()()()()

01212111,...,,,,x x d x x d x x d Tx Tx d x x d m m m m m m m m m ααα≤≤≤≤=----+

=

=

是Cauchy 点列

是完备度量空间,使

下证x 为不动点

再证不动点唯一 若还有,使 则

因 必须

注:①定理条件(a)X 完备,(b)缺一不可，反例如下

(a)若X 不完备,则定理不成立

例如:令X=(0,1),用欧氏距离,

则

但不动点

(b)定理不成立

例如:令 X=R 用欧氏距离

则 但显然T 无不动点。

②若将空间X 条件加强为紧距空间，则压缩因子条件可放

宽为1，即可改为

限于我们的学时，我们只介绍一下Banach 压缩映象原理的简单应用。

定理2（隐函数存在定理）

设在带状区域上处处连续，处处有关于y 的偏导数

,且如果存在常数m,M ，适合

.则方程f 在闭区间上有唯一的连续

函数,使。

()()()()n n m m m m m n x x d x x d x x d x x d ,...,,,1211-++++++≤()()()011

01101,...,,x x d x x d x x d n m m -++++≤ααα()

()0111,...x x d n m m

-++++ααα

()()()0

,1,110101−−→−-≤--∞

→-m m m n m x x d x x d ααααα{}n x ∴

X

X x ∈∃∴x x n →()()()()()Tx Tx d x x d Tx x d x x d Tx x d n n n n ,,,,,1-+≤+≤()()0,,1−−→−+≤∞

→-n n n x x d x x d αX x ∈'''x Tx =()()()''',,,x x d Tx Tx d x x d α≤=∴<,1α()'

'0,x x x x d =⇒=1<αx Tx 21=

()()y x d y x y x Ty Tx d X y x ,21

,,,=-<-=

∈∀X ∉01=α1+=x Tx ()()y x d y x Ty Tx d X y x ,,,,=-=∈∀α()()y x d Ty Tx d ,,<()y x f u ,=(){}+∞<<-∞≤≤=y b x a y x D ,:,()

y x f y ,'()M

y x f m y ≤≤<,0'()0,=y x []b a ,()x y ϕ=()()0,≡x x f ϕ

证：（在中考虑映照，若其为压缩映照，

则有不动点）

在完备度量空间中作映照,显然,对

由连续函数的运算性质有

。

是到自身的一个映照

下证是压缩的.

即证

,任取

由微分中值定理,存在,使

令

则 ,故 取最大值

映照T 是压缩的.由Banach 压缩映象定理

在上有唯一的不动点使 显然这个不动点适合

注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach 压缩映照定理解题的一般方法。

② ② 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数.

下面我们介绍Banach 不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard 定理. 定理3：（Picard 定理 Cauchy--Peano 微分方程解的存在唯一

性定理）

（Picard 法国人 1856—1941 Peano 意大利人1858--1932） 设在矩形上连续,设

[]C b a ()()x x f M T ϕϕϕ,1

-

=()()x x f T ϕϕϕ,⇒=0≡[]

C b a

()()x x f M

T ϕϕϕ,1

-

=[]

C b a

∈∀ϕ[]

C b a

T ∈ϕT ∴[]

C b a

()()[]

1

0,,,,,212121<<∈∀≤αϕϕϕϕαϕϕC b a

d T T d []

C b a

∈21,ϕϕ10<<θ()()()()x x f M x x f M T T 112212,1,1ϕϕϕϕϕϕ---

=-()()()()()[]()

12121'

12,1ϕϕϕϕθϕϕϕ--+--=x x x x f M

y ()()⎪

⎭⎫ ⎝⎛

--≤M m x x 112ϕϕM m

-

=1α10<<α1212ϕϕαϕϕ-≤-T T ()()10,,,1212<<≤⇒αϕϕαϕϕd T T d ∴[]C b a ()x ϕϕϕ=T ()()0,≡x x f ϕϕ=y ()x ()x t f ,(){}b x x a t t x t R ≤-≤-=00,:,