考前三个月·浙江专用高考数学文二轮配套教案:第一部分 专题复习篇 专题二 第二讲
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第二讲不等式
1.不等式的基本性质
(1)对称性:a>b⇔b (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c. (3)加法法则:a>b⇔a+c>b+c. (4)乘法法则:a>b,c>0⇒ac>bc. a>b,c<0⇒ac (5)同向不等式可加性:a>b,c>d⇒a+c>b+d. (6)同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. (7)乘方法则:a>b>0⇒a n>b n(n∈N,n≥1). (8)开方法则:a>b>0⇒错误!>错误!(n∈N,n≥2). 2.一元二次不等式的解法 解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0),可利用一元二次方程,一元二次不等式和二次函数间的关系.一元二次不等式的解集如下表所示: 判别式 Δ=b2—4ac Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的 图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的根 有两相异实根 x1,x2(x1 2) 有两相等实根 x1=x2=— 错误! 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a>0){x|x>x2或x 1} {x|x∈R 且x≠—错误!} R 的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集 {x|x1< x 3. 利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”. 4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等; (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:1画出可行域;2根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;3求出目标函数的最大值或者最小值. 5.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题 (1)恒成立问题 若不等式f(x)>A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)min>A; 若不等式f(x) (2)能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立,则等价于在区间D上f(x)max>A; 若在区间D上存在实数x使不等式f(x) (3)恰成立问题 若不等式f(x)>A在区间D上恰成立,则等价于不等式f(x)>A的解集为D; 若不等式f(x) 1.(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为错误!,则f(10x)>0的解集为 ()A.{x|x<—1或x>—lg 2} B.{x|—1 C.{x|x>—lg 2} D.{x|x<—lg 2} 答案D 解析由已知条件0<10x<错误!,解得x 2.(2012·福建)下列不等式一定成立的是()A.lg错误!>lg x(x>0) B.sin x+错误!≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.错误!>1(x∈R) 答案C 解析当x>0时,x2+错误!≥2·x·错误!=x, 所以lg错误!≥lg x(x>0),故选项A不正确; 当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确; 由基本不等式可知,选项C正确; 当x=0时,有错误!=1,故选项D不正确. 3.(2013·浙江)设z=kx+y,其中实数x,y满足错误!若z的最大值为12,则实数k=________. 答案2 解析作出可行域如图阴影部分所示: 由图可知当0≤—k<错误!时,直线y=—kx+z经过点M(4,4)时z最大,所以4k+4=12,解得k=2(舍去);当—k≥错误!时,直线y=—kx+z经过点(0,2)时z最大,此时z的最大值为2,不合题意;当—k<0时,直线y=—kx+z经过点M(4,4)时z 最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合题意.综上可知,k=2. 4.(2013·湖南)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为________.答案12 解析方法一∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2), ∴a2+4b2+9c2≥错误!(a+2b+3c)2=错误!=12. ∴a2+4b2+9c2的最小值为12. 方法二∵a+2b+3c=6, ∴1×a+1×2b+1×3c=6. 由柯西不等式,可得 (a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2, 即a2+4b2+9c2≥12. 当且仅当错误!=错误!=错误!, 即a=2,b=1,c=错误!时取等号. 5.(2013·四川)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2—4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是________. 答案{x|—7 解析令x<0,则—x>0,∵x≥0时,f(x)=x2—4x,∴f(—x)=(—x)2—4(—x)=x2+4x,又f(x)为偶函数,∴f(—x)=f(x),∴x<0时,f(x)=x2+4x,故有f(x)=错误!再求f(x)<5的解,由错误!得0≤x<5;由错误!得—5 题型一不等式的解法 例1(1)不等式错误!≤0的解集为()A.错误! B.错误! C.错误!∪[1,+∞) D.错误!∪[1,+∞) (2)(2012·江苏)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x) 审题破题(1)可以将不等式转化为等价的二次不等式求解;(2)已知二次不等式的解集,可以