《岩石力学》考研计算题

3.1 某均质岩体的纵波波速是，横波波速是，岩石容重，求岩体的动弹性模量，动泊松比和动剪切模量。

解：弹性理论证明，在无限介质中作三维传播时，其弹性参数间的关系式如下：
动泊松比
动弹性模量
动剪切模量G，按公式
计算题（普氏理论，次生应力）
1抗拉强度的公式是什么？巴西法p41.
St=2P/πD·t=0.636P/D·t
P-劈裂载荷D、t-试件直径、厚度
2将岩石试件单轴压缩压应力达到120MPa时，即破坏，破坏面与最大主应力方向夹角60
度，根据摩尔库伦准则计算1岩石内摩擦角2正应力为零时的抗剪强度（就是求C）
α=45°+ψ；τ=C+fσ=C+σtanψ增加公式Sc=2Ccosψ/（1 - sinψ）
3计算原岩自重应力的海姆假说和金尼克假说的内容?和各自的公式？p85
海姆假说：铅垂应力为上覆掩体的重量，历经漫长的地质年代后，由于材料的蠕变性及地下水平方向的约束条件，导致水平应力最终与铅垂应力相均衡。

公式：σ1=σ2=σ3=ρgz=γz
金尼克假说：铅垂应力仍是自重应力σz=γz，而水平方向上，均质岩体相邻微元体相互受到弹性约束，且机会均等，
故由虎克定律应有εx =[σx -ν(σy +σz )]/E=0
εy =[σy -ν(σx +σz )]/E=0，得到自重力的水平分量为σx=σy=νγz/（1-ν） 例题 求在自重作用下地壳中的应力状态：如果花岗岩，泊松比
，则一公里深度以下的应力
是多少？
解：因为地壳厚度比地球半径小的多。

在局部地区可以把地表看作一个半平面，在水平方向为，深度也无限。

现考
虑地面下深度Z 处的一个微小单元体。

它受到在它上边岩、土体重量的压力。

在单位面积上，这个重量是
，
其中，
是它上面物体的体积，是物理单位体积的重量，因此：
如果单元体四周是空的，它将向四周膨胀，当由于单元体四周也都在自重作用下，相互作用的影响使单元体不能向四周扩张。

即
；
解之，则得：
对于花岗岩，，一公里深度以下的应力为：
由此可见，深度每增加一公里，垂直压力增加
，而横向压力约为纵向压力的三分之一。

绪论典型题解
1.1岩石和岩体的概念有何不同？
答：所谓岩石是由矿物或岩屑在地质作用下按一定的规律聚集而形成的自然物体；所谓岩体是在一定的地质条件下，含有诸如节理、裂隙、层理和断层等地质结构面的复杂地质体。

岩石就是指岩块，在一般情况下，不含有地质结构面。

1.2在力学性质上，岩体具有什么特征？
答：岩体具有不连续性、各向异性、不均匀性、岩石块单元体的可移动性、赋存地质因子这五条特征。

-------------------------------------------------------------------
岩石和岩体的基本物理力学性质典型题解
2.1某岩石试件，测得容重3
/9.1cm kg =γ，比重△＝2.69，含水量%29=d ω，试求该岩样的孔隙比v ε，孔隙度n ，饱和度r S 和干容重d γ。

解：孔隙比：83.019
.1)
29.01(69.21)
1(=-+=
-+∆=
γ
ωεd v
孔隙度：%3.45%10083
.0183
.0%1001=⨯+=⨯+=
v v n εε
饱和度：%9483
.0%
2969.2=⨯=
=ε
ω
G S r
干容重：)/(47.183
.0169
.213cm g d
=+=+∆=
εγ 上述指标，也可利用三相图进行计算，若从以知条件V
ω
γ=入手，则可先假设V=1，然后推算出三相重量及体积，
按各物理指标的定义，即可将各指标求得：
设31cm V
=，则按容重定义：g V W 9.1=⨯=γ
按含水量定义：s s d W V W 29.0==γωω 按三相图： W W W s =+ω 即 ： 9.129.0=+s s W W
故：
g W s 47.129
.19
.1==
g W W W s 43.047.19.1=-=-=ω
按比重定义：3547.069
.247
.1cm W V s s ==∆=
水的容重：3
/1cm g =ωγ
343.0cm W V ==
ω
ω
ωγ
因而，3
023.0)43.0547.0(1)(cm V V V V s a =+-=+-=ω
345.0023.043.0cm V V V a V =+=+=ω
至此，所有的各物理量均以求得，即可由定义得：
83.0547
.0543.0===
s V V V V ε
%3.45%1001453.0%100=⨯=⨯=
V V n V
3/47.1147
.1cm g V V S r ===
ω
2.2大理岩的抗剪强度试验，当126,10n n MPa MPa σσ==时，1219.3,22n n MPa MPa ττ==。

该岩石作三轴
抗压强度试验时，当0,100a C S MPa σ==则。

求侧压力6a MPa σ=时，其三轴抗压强度等于多少？
解：（1）计算内摩擦角φ
φστtg C n n 11+= （1）
φστtg C n n 22+= （2）
联立求解： 021********
0.73510060
n n n n tg ττφφσσ--=
==⇒=--
（2）计算系数K ：
7.335sin 135sin 1sin 1sin 10
=-+=-+=φφK
（3）计算三轴抗压强度：
01000 3.760122.2C a S S K MPa σ=+=+⨯=
2.3设有截面积为A ，长为l 的花岗岩柱体与其它岩块连接（图2—2）。

设柱体温度突然下降20℃而两端仍保持距离不变。

问由于柱体收缩而引起在岩体内的应力有多少？取花岗岩的线膨胀系数α＝7×10-6/℃，α是升高或降低1℃、单位长度的伸长或缩短量。

已知花岗岩的弹性模量E=5×104MPa ，抗拉强度为5MPa ，又问该花岗岩会不会破裂？
解：先作定性分析。

由于柱体收缩而又不让它收缩，这将使体内产生拉应力。

设两端的约束反力为P 1和P 2,岩柱体轴向的静力平衡条件给出P 1-P 2=0, 即 P 1＝P 2,但不能决定其大小,需要补充一个变形条件。

由于降温，柱体的变形量为：△l 1=α△TL =7×10-6×(-20)×L=-1.4×10-4L
变形条件是柱体的长度不变。

也即柱体由于受力而产生伸长变形的量△l 和由于冷却而缩短的量之和等于零。

△l+△l 1=0
由此得：△l=-△l 1=-1.4×10-4L 又从：△l
1
PL AE
=
，可得补充方程：
1P AE ＝1.4×10-4
于是： 441
1.4105107P MPa A
σ-=
=⨯⨯⨯= ∵σ＞σt ∴该花岗岩柱体将产生拉破裂。

2.4 三块
立方体试件，分别作倾角为480，550，640的抗剪强度试验，其施加的最大荷载分别为4.5T ，
2.8T 和2T ，试求岩石的C 、φ值，并绘出抗剪强度的曲线图。

解：（1）求每块试件破坏面上的剪应力和正应力
01
4814500sin sin 481800.74313.455
P MPa A τα=
==⨯=⨯ 01
4814500cos cos481800.6691255P MPa A σα=
==⨯=⨯
025522800sin sin551120.8199.255P MPa A τα===⨯=⨯
025522800cos cos481120.574 6.255
P MPa A σα=
==⨯=⨯ 03
6432000sin sin 64800.8997.255P MPa A τα=
==⨯=⨯ 03
6432000cos cos64800.438 3.555
P MPa A σα=
==⨯=⨯ （2）求岩石的C ，φ值，根据以上各值作τσ-关系图，如下图所示： 由公式：C tg τσϕ=+
484813.4,12MPa MPa τσ==
13.412C tg ϕ=+ ∴ 13.4C tg ϕ=- （1）
55559.2, 6.4MPa MPa τσ==
9.2 6.4C tg ϕ=+ （2）
将（1）式代入（2）式，则得：
9.213.412 6.44.24.2 5.60.755.6
tg tg tg tg ϕϕ
ϕϕ=-+=⇒== （3）
故
037ϕ=
将（3）式代入（1）式，则得：13.4120.75 4.4C MPa =-⨯= 绘出抗剪强度的曲线图，如图2—1
图2—1
2.5三轴试验时，岩石的应力-应变曲线通常有那四个特征区？试用应力-应变关系曲线加以说明（图2—3）。

解：岩石在进行三轴试验时，其应力-应变关系曲线，通常有4个特征区。

Ⅰ区：表现为裂隙的闭合，应力应变
成非线性关系。

为不可逆变形。

Ⅱ区：弹性变形区，即裂隙闭合后，
岩石在外载荷作用下，产生弹性变形。

应力-应变关系呈线性关系。

Ⅲ区：塑性变形区，出现塑性变形，
裂隙呈稳定状态，应力-应变曲线基本呈
直线关系。

Ⅳ区：裂隙不稳定发展区，裂隙进入
不稳定发展状态，应力-应变关系呈非线性关系。

如果还继续施加荷载，则岩石试件进入破坏区，
应变增加应力反而降低，进入到破裂阶段。

2.6有一个直径比d1略小一点的圆柱岩石试件放在内径比d1略大一点的钢制套筒内，上下都放有刚性垫块，现施加压力P，问试件和钢筒内的应力各是多少？（图2—4）。

已知d1=4cm，d2=6cm，岩石的弹性模量E1=5×104MPa,钢的弹性模量E2=21×104MPa，P=100t。

解：先分析受力情况：在压力P的作用下，岩石和钢筒各处都受到轴向压力，都有相同的缩短，因此在岩石内和在钢筒内的应力应该是均匀的，它们的合力P1和P2是沿着轴线向上和外力P相平衡的。

因为没有水平方向的力，而垂直力都在一条轴线上，所以水平力和力矩的平衡方程都自动满足，剩下一个平衡方程为：P1+P2＝P
即：
222
11212
()
44
d d d p
ππ
σσ
+-=
2226
11212
() 1.010
44
d d d
ππ
σσ
+-=⨯
12
1.25795
σσ
+=(1)
还必须从变形条件列出补充方程：其变形条件依题意是岩石和钢套筒的变形一样。

图2-3
△l 1＝1
1
111
Ph h A E E σ= △l 2＝22
222
P h h
A E E σ= △l 1＝△l 2 即： 1
212
h h E E σσ= 112225
21
E E σσσ=
= (2) 由（1）（2）两式联立得：
σ1＝127MPa ； σ2=534MPa
岩体的基本力学性能典型题解
4.1如图4-1所示。

一条隧道沿着倾斜岩层的走向开挖，层面节理倾角为β=50°，向洞里倾斜，垂直应力（上覆岩层引起）为σ1=2.0MPa ，节理面的内摩擦角φ=40°，粘结力C=0，洞内干燥，无水压。

试求因垂直荷载引起作用于洞壁上的水平推力。

解：由公式()
3
13221cot sin 2c f f σσσββ+--＝ 又∵C=0；
∴()()33
1322tan 1cot sin 21tan cot sin 2f f σϕσσσββϕββ
-=
--＝ ∴
()132tan 11tan cot sin 2σϕσϕββ
=+- ()tan tan 50
0.1tan tan10
ββϕ=
=≈-
∴310.10.1 2.00.2MPa σσ==⨯=
4.2某岩块强度符合库仑准则，C=5MPa ，φ=30°。

如果三轴应力状态下的 σ3=10MPa=const ，求极限
图 4-1
图 2-4
平衡时的σ1=？
若此时σ1、σ3作用方向分别为铅直和水平，而岩块内仅包有一条节理。

该节理C=0，φ=30°。

节理对水平的倾角或为30°，或为45°，或为60°，或为75°，或为90°。

问：
1）在何种情况下，节理不破坏，仅岩石破坏？
2）在何种情况下，节理不破坏，或岩石和节理都破坏且岩块破裂面和节理重合？ 3）在何种情况下，岩块和节理都破坏，但岩块破裂面并不与节理重合？ 解：（一）由摩尔应力圆可得：
13
13sin 2
2
tan C σσσσϕϕ-+⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
∴131sin 2cos 1sin 1sin C ϕϕσσϕϕ
+=
+
-- 10.525cos30
1047.3210.510.5
MPa +⨯=
+--＝ 且破坏面与水平方向的夹角为60°。

（二）∵()sin 2(cot )sin m m C τβϕσϕϕ-=+ 式中：13
2
m σστ-=
，13
2
m σσσ+=
∴()11cot 2sin sin m m
C σϕβπϕϕτ-⎡⎤
+=+-⎢
⎥⎣⎦ ()12cot 2sin sin m m
C σϕβϕϕτ-⎡⎤
+=+⎢
⎥⎣⎦
计算得：β1=80°，β2=40°
所以：1）在节理对水平的倾角为30°和90°时，节理不破坏，仅岩块破坏。

2）在节理对水平的倾角为60°时，岩块和节理都破坏且岩块破裂面与节理重合。

3）在节理对水平的倾角为45°和75°时，岩块和节理都破坏，但岩块破裂面并不与节理重合。

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工程岩体分类典型题解
5.1某地下工程岩体的勘探后得到如下资料：单轴饱和抗压强度强度Mpa R c 5.42=；岩石较坚硬，但岩体较破碎，岩石的弹性纵波速度s m V pr
4500=、岩体的弹性纵波速度s
m V pm 3500=；工作面潮湿，有的地方出现点滴
出水状态；有一组结构面，其走向与巷道轴线夹角大约为25度、倾角为33度；没有发现极高应力现象。

按我国工程岩体分级标准（GB50218－94）该岩体基本质量级别和考虑工程基本情况后的级别分别确定为（ ）。

（A ）Ⅲ级和Ⅲ级 （B ）Ⅲ级和Ⅳ级 （C ）Ⅳ级和Ⅳ级 （D ）Ⅳ级和Ⅳ级
解:由我国工程岩体分级标准中的各分项指标的确定方法确定各分项指标后，再由分级方法中提供的公式计算岩体基本质量指标BQ （注意满足公式中的限制条件）， 依据BQ 值查表5-4（岩体基本质量分级表，所有用表见重点提示）
确定基本质量级别；又根据工程情况修正后的岩体基本质量指标［BQ ］，还是利用表5-4确定岩体的最终级别。

（1）计算岩体的基本质量指标
v c K R BQ 250390++= （1）
其中： 单轴饱和抗压强度强度 Mpa R c 5.42=；
岩体完整性指标
66.0450035002
222
===
pr
pm v V V K 检验限制条件：
5.324.89306
6.0903090=>=+⨯=+c v R K ，所以c R 仍取为32.5Mpa
66.01.24.05.4204.04.004.0=>=+⨯=+v c K R ，所以v K 仍取为0.66 将c R 和v K 的值代式（1）得：38366.02505.42390=⨯+⨯+=BQ （2）查表5-4（岩体基本质量分级表）
该岩体基本质量级别确定为Ⅲ级。

（3）计算岩体的基本质量指标修正值
)(100][321K K K BQ BQ ++-= （2）
其中： 1K 为地下水影响修正系数，由表5-5查得1K ＝0.1；
2K 为主要软弱结构面产状影响修正系数，由表5-6查得2K ＝0.5； 3K 为初始应力状态影响修正系数，由查得3K ＝0.5。

所以： 273)5.05.01.0(100383][=++-=BQ （4）查表5-4（岩体基本质量分级表）
该岩体质量级别最终确定为Ⅳ级。

所以，本题答案选（B ）。

岩体的初始应力状态典型题解
设某花岗岩埋深一公里，其上复盖地层的平均容重为3
/26m KN =γ，花岗岩处于弹性状态，泊松比25.0=μ。

该花岗岩在自重作用下的初始垂直应力和水平应力分别为（ ）。

（A ）2600和867Kpa （B ）26000和8667Kpa （C ）2600和866Mpa （D ）2600和866.7Kpa
解：（1）垂直应力计算
Kpa H i n
i i Z 260001000261
=⨯==∑=γσ
（2）水平应力计算
z y x λσσσ==
其中：侧压力系数λ的大小与岩体的性质有关，当岩体处于弹性状态时，采用弹性力学公式；当岩体比较破碎时，采用松散介质极限平衡理论公式；当岩体处于潜塑状态时，采用海姆公式。

因为本题岩体处于弹性状态，所以采用弹性力学公式，侧压力系数λ为
3
1
25.0125.01=-=
-=
μ
μ
λ 所以： Kpa Y X 8667326000===σσ
可见，本题的正确答案为（B ）
岩体力学在洞室工程中的应用典型题解
7.2有一半径为a=3m 的圆形隧洞，埋藏深度H=50m,岩石容重327/KN m γ=，泊松比0.3μ=，岩体弹性模量
41.510E MPa =⨯。

试求000,90θ=处的隧洞周边应力和位移。

解：（1）计算隧洞周边应力 0.3
0.43110.3
μ
λμ
=
=
=-- p H γ=
∵1,r a λ≠=
∴(1cos2)(12cos2),0r p p θσθλθσ=++-=
当00θ=
()()2750120.432750123469.5KPa θσ=⨯++⨯⨯-= 当090θ=
()()2750120.43275012391.5KPa θσ=⨯-+⨯⨯+= （2）求隧道周边的位移 当00θ=时：
()()()()()()2
234
1121cos 210.327105010.433210.43310.071.510p u a a E
mm μλλθ-=
+--⎡⎤⎣⎦-⨯⨯⨯=+⨯--⨯⨯=⎡⎤⎣⎦⨯
()(
)2
121sin 20p U a E
μλθ-=
-=⎡⎤⎣
⎦
当090θ=时：
()()()2
3
4
10.32710
50
10.433210.433(1)0.631.5100
u mm U -⨯⨯⨯=
+⨯--⨯⨯-=⎡⎤⎣⎦⨯=。