材料力学 9-1组合变形

a
a
斜弯曲（双向弯曲） 斜弯曲（双向弯曲） 矩形截面梁的斜弯曲: ①. 矩形截面梁的斜弯曲 a . 危险点 危险点:
M Z max ⋅ Ymax σ a = σ max = IZ M Y max ⋅ Z max ≤ [ σ ] + IY
b . 中性轴及其方程 中性轴及其方程:
MZ ⋅ Y0 M Y ⋅ Z0 + =0 IZ IY
图示链条中的一个链环，受拉力P作用 已知： 作用， 例3. 图示链条中的一个链环，受拉力 作用，已知： d，e，试求最大应力。 ， ，试求最大应力。 解：(1) 外力分析
P
(2) 内力分析 N M
d
N=P， M=Pe ， 属拉弯组合变形 (3) 应力分析
e
e
P
P
(3) 应力分析
d
N M
σ max = σ M + σ N
②.圆形截面梁的双向弯曲: 圆形截面梁的双向弯曲:
仍属于平面弯曲。 仍属于平面弯曲。 危险点： 危险点：
σ (a)
Pl Pl − = σ max = , σ ( b ) = σ max = WZ WZ
+
∴ σ max ≤ [σ
]
属单向应力状态。 属单向应力状态。
z
P
x
x F
y
中性轴及危险点：
例5. 已知 E , ε a , ε b , ε c , a , 求 PX , PY , PZ 解: 1) a、b、c三点都属于单向应力状态 、 、 三点都属于单向应力状态 2)
2、相当应力计算(Calculating equal stress) 相当应力计算(Calculating 第三强度理论, 第三强度理论,计算相当应力
σr 3 = σ1 − σ3 = σ 2 + 4τ 2
第四强度理论, 第四强度理论,计算相当应力
σr 4 = σ + 3τ
2
2
3、强度校核（Check the strength)
2）内力分析： ）内力分析： 作M图与轴力图 图与轴力图 危险截面： 危险截面：B-和B+ 3）.危险点应力计算： ） 危险点应力计算 危险点应力计算： B- ：
σ
+ max
N M B− = + = 106.4 MPa < [σ ] A WZ
= M B+ WZ = 117.6 MPa < [σ ]
7.6MPa
+ σ max = σ + − σ N M − σ max = σ − + σ N M
30.8MPa
(KN)
B截面 截面 B 2.1MPa
A
(KN.m)
1.7MPa
5.0MPa 3.8MPa 2.9MPa
4）.危险点应力计算及校核 ） 危险点应力计算及校核 危险点应力计算及校核: B截面 截面: 截面
F
B A C
L
问题：设一直径为 d 的等直圆 问题： 杆 AB , B 端具有与 AB 成直角 的刚臂。研究AB杆的强度。 杆的强度。 的刚臂。研究AB杆的强度
B A
F
C
一、 外力分析
将力 F 向 AB 杆右端截面的 形心B简化得 形心B简化得 横向力 F （引起平面弯曲） 引起平面弯曲） 力偶矩 m = Fa （引起扭转） 引起扭转） AB 杆为弯、扭组合变形 杆为弯、
a
a
a
a
解： 未开槽前立柱为轴向压缩
FN F F F σ1 = = = 2 = A A (2a) 4a2
开槽后1 开槽后1-1是危险截面 危险截面为偏心压缩 将力 F 向1-1形心简化
F F
1
Fa/2 Fa/2
1
FN M F Fa / 2 2F σ2 = + = + = 2 A W 2a ⋅ a 1 2a ⋅ a2 a 6 开槽后立柱的最大压应力 2F / a2 8 = 2 = 未开槽前立柱的最大压应力 F / 4a
σ N= σ W=
Px Pcos α = A A Py ·l Wz Psinα·l = Wz
4.危险截面上各点应力叠加，确定危险点。 危险截面上各点应力叠加，确定危险点。 危险截面上各点应力叠加
5.危险点处的应力状态及应力计算： 危险点处的应力状态及应力计算： 危险点处的应力状态及应力计算 σmax= σ N+ σ W Pcos α Psinα·l = A + Wz
已知P=20KN, θ=15°，l=1.2m，A=9.2×103mm2， 例1. 已知 ° ， × Iz=26.1×106mm4， [ σ+]=20MPa ， [ σ-]=80MPa 。 × 试校核其正应力强度？ 试校核其正应力强度？
分解并平移) 解：1）外力分析 分解并平移 ）外力分析(分解并平移 PY = Psinθ =5.18(KN) θ PX = Pcosθ =19.3(KN) θ 分组:属压弯组合变形。 分组 属压弯组合变形。 属压弯组合变形 Mz= 48 Px =926(N.m)
6.强度条件及强度计算： 强度条件及强度计算： 强度条件及强度计算 σmax≤[σ] σ
讨论： 讨论： 在拉弯、压弯组合变形中， 1. 在拉弯、压弯组合变形中，危险点处 属单向应力状态。 属单向应力状态。 2. 中性轴与弯曲时的中性轴不重合。 中性轴与弯曲时的中性轴不重合。 若为压弯组合， 3. 若为压弯组合，对塑性材料和脆性 材料的梁如何建立强度条件？ 材料的梁如何建立强度条件？
+ σ A max
∴梁的强度满足！ 梁的强度满足！
讨论：如下分组是否正确？
已知P=12KN，[ σ ]=160MPa，试校核梁 的强度。 例2.已知 已知 ， ，试校核梁AC的强度。 (梁AC为No.14工字钢 工字钢) 梁 为 工字钢 外力分析： 解：1）.外力分析： ） 外力分析 ( a ) 支反力： 支反力： T = 30.9(kN) XA=21.8(kN), YA=9.82(kN) ( b ) 分解，平移： 分解，平移： TX=21.8 (kN) TY=21.8 (kN) MB= 2.18kN.m ( c ) 分组： 分组：
ε=
σ
E
1 Px Py ⋅ l Pz ⋅ l εa = ( 2 + 3 + 3 ) a a E a 6 6
1 Px Py ⋅ l Pz ⋅ l εb = ( 2 + 3 − 3 ) a a E a 6 6
1 Px Py ⋅ l Pz ⋅ l εc = ( 2 − 3 − 3 ) a a E a 6 6
2）内力分析:(N，M图） ）内力分析 ， 图 可能的危险截面在A或 处 可能的危险截面在 或B处
(KN)
(KN.m)
3）.危险点应力计算 ） 危险点应力计算
(KN)
A截面 截面 2.1MPa B 9.7MPa
A
σN
+ σM
N = A
(KN.m)
− σM 28.7MPa
+ M A ⋅ y max = Iz − M A ⋅ y max = Iz
B+ ：
σ
A=21.5cm2 Wz=102cm3
+ max
∴梁的强度满足！ 梁的强度满足！
§8－ 3、拉（压）弯组合变形问题的扩充
1. 偏心拉伸(压缩) 偏心拉伸(压缩)
+ 危险点属单 向应力状态
σ
− max
Pe P = + ≤ [σ ] WZ A
讨论：1)若P点不在y和z轴上,应力又如何计算呢？ 讨论：1)若 点不在y 轴上,应力又如何计算呢？ 2)若要使截面上的正应力都是压力,P力作 2)若要使截面上的正应力都是压力,P力作 若要使截面上的正应力都是压力,P 用在什么范围？ 用在什么范围？
§8－ 2、拉弯或压弯组合变形
1.外力分析：(分解） 外力分析： 分解 外力分析 分解） PX=P cos α PY=P sinα 2.分组： 2.分组：属拉弯组合变形 分组
3.内力分析： 内力分析： 内力分析 找出危险截面 (作相关的内力图 作相关的内力图) 作相关的内力图
固定端截面为危险截面
σ
τ
C1
τ
σ
σr ≤ [σ ]
讨 论
1 σ = σ −σ = σ 2 + 4τ 2 r3 1 3
σr 4 = σ 2 + 3τ 2
该公式适用于图示的平面应力状态。σ 是危险点的正 该公式适用于图示的平面应力状态。 应力， 是危险点的切应力。 应力，τ 是危险点的切应力。且横截面不限于圆形截面 该公式适用于 弯，扭 组合变形；拉（压）与扭转的组合 组合变形； 变形; 变形;以及 拉（压），扭转 与 弯曲的组合变形 ），扭转
− σ B max − M B ⋅ Y B max N = + = 3.8MPa IZ A + M B ⋅ Y B max N = − = 2.9 MPa IZ A
<[σ-] <[σ+] <[σ-] <[σ+]
+ σ B max
A截面 截面: 截面
− σ A max
− M A ⋅ Y A max N = + = 30.8MPa IZ A + M A ⋅ Y A max N = − = 7.6 MPa IZ A
M N = + Wz A
32 P ⋅ e 4 P = + 2 πd 3 πd
讨论： 讨论：当e=d时， 时
σ max
e
P
32 P 4 P = + 2 πd 2 π d = 9σ N
例题4 正方形截面立柱的中间处开一个槽， 例题4 正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求开槽后立柱的的最大压 面积为原来截面面积的一半。 应力是原来不开槽的几倍。 应力是原来不开槽的几倍。 F F
σ
C2
ττC2σ Nhomakorabeaτ
C1
τ
σ
四、强度分析 (Analysis of strength condition)
1、主应力计算 (Calculating principal stress)
σ τ
C1
τ
σ
σ1 σ σ 2 2 σ 1 2 = ± ( ) +τ = ± σ + 4τ 2 σ2 = 0 σ3 2 2 2 2
A截面 截面
C1
C3 C4
σ τ
C3
C2 C1
τ
T C4
τ
τ
C2
对于许用拉、压应力相等的 对于许用拉、 塑性材料制成的杆， 塑性材料制成的杆，这两点的
σ
C3
C1
A截面 截面
C1
τ
C3 C4
τ
T C4
危险程度是相同的。 危险程度是相同的。 可取任 意点C 来研究。 意点C1 来研究。 C1 点处于平面应力状态, 处于平面应力状态, 该点的单元体如图示
第八章
1、基本变形 、
组合变形
§8－1、组合变形的概念及其强度计算的一般分析方法
2、组合变形：构件上同时存在两种或两种以上的基本变 、组合变形： 形的组合。 形的组合。
3、杆件组合变形强度计算的一般分析方法 、
3、杆件组合变形强度计算的一般分析方法 、 外力分析 外力（分解，向轴线平移） 外力（分解，向轴线平移） 内力分析 分别进行内力分析( 分别进行内力分析(图) 应力分析 危险点 危险点处的应力叠加 选择相应的强度理论 强度计算 计算相当应力 强度条件 强度计算 危险截面 分组 根据各变形在横 截面上的应力分布
A
l
m
x B
F
二、 内力分析
画内力图确定危险截面
m
A A
F
Fl
m
固定端A 固定端A截面为危险截面
三、应力分析(Stress analysis) 应力分析(Stress
σ
危险截面上的最大弯曲 正应力σ 发生在C1 、C2 处 发生在C 最大扭转切应力 τ 发生在截面 周边上的各点处。 周边上的各点处。 危险截面上的危险点为C 危险截面上的危险点为C1 和 C2 点
Ea (ε a + ε c ) Px = 2
2
Ea (ε b − ε c ) Py = 12l
3
Ea 3 (ε a − ε b ) Pz = 12l
作业： 9.3 9.6 9.7
（简明材料力学）
作业： 8.3 8.7 8.8
（材料力学）
§8-4 扭转与弯曲的组合
研究对象： 研究对象：圆截面杆 受力特点： 受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用 变形特点： 变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形
分组原则： 分组原则：使每组载荷对应一种基本变形
1.在组合变形强度计算中 剪力Q引起的 在组合变形强度计算中, 注：1.在组合变形强度计算中,剪力 引起的 剪应力(对细长杆件)忽略不计。 剪应力(对细长杆件)忽略不计。 2.在线弹性、小变形范围的条件下， 2.在线弹性、小变形范围的条件下，原 在线弹性 始尺寸原理适用。 始尺寸原理适用。
任意点的正应力 M Z ⋅Y MY ⋅ Z σ= + IZ IY
⇒ M Z ⋅ I Y ⋅Y0 + M Y ⋅ I Z ⋅ Z 0 = 0 是一条通过形心C的直线。 是一条通过形心 的直线。 的直线 c .斜弯曲特点：挠度曲线所在平面与载荷作用 斜弯曲特点： 斜弯曲特点 面不重合，故不是平面弯曲。 面不重合，故不是平面弯曲。 或者说： 或者说：外力作用面与中性轴不垂直