数学建模方法

Q
7 01 065
0P(x)d x7 01 056 0.625
Q200000.625 60000
可得最佳方案是一年存储57500kg.
排队论主要是对系统建立数学模型，研究诸如 单位时间内服务系统能够服务的顾客平均数、顾客 平均排队时间、排队顾客的平均数等数列规律。
排
队
论
排队系统中的运行指标：
方
法
系统中的顾客数=等待服务的顾客数+正在被服务的顾客数
计
聚
类
模
型
原理关键词： 相似系数 距离
聚类步骤：
步骤1：定义样本间的距离（如取最简单的欧几里得距离）。开始 时，每个样本看作一类，有 d(i,j)D (i,j)
步骤2：选择 {D(i, j)} 中最小者设为 D(p,q) 为一个新类，得新类 Gr GpGq
，把 G p 和 G q 合并
步骤3：计算新类与其他类的距离 点击添加文本
数学建模方法
数学模型的建立并不一定都要用高深的知识，衡量一个 模型的好坏，要看这个模型是否易于应用。在应用效果相近 的情况下，建模所用的知识越简单就越容易被人们接受。实 际上，对于一些比较简单的问题，由于内部机理比较明确， 基本上用初等数学的方法就可以建立相应的数学模型。
初
模 型
应用实例：
等
怎样才能少淋雨
其中，f 和 hi(i1,2,,m ) 中至少有一个是 x1,x2,,xn 的非线性函数，
一般建模步骤：
1.模型建立：找出决策变量、目标函数、约束条件 2.模型求解：用Lingo求解。
在研究一些实际问题时，常常无法直接得到各变量
之间的联系，而问题的特性往往会给出关于变化率的
一些关系，由此，我们可以建立相应的微分方程模型。
0.15
0.1
建立数学模型：源自文库设每天订购Q份报纸，则收益函数为
利润的期望为：
分别求出Q=0,1,2,3,4,5时的利润期望，通过比较期望，取期望最大 时的Q。
需求为连续型随机变量的存储模型:
实例：物质存储模型 煤炭供应部门煤的进价为26元/kg，需售价70元/kg。若当年卖不出 去，则第二年削价处理，如果供应短缺，有关部门罚款10元/kg， 已知顾客对煤炭年需求量x服从均匀分布，分布函数：
max(min)z c1x1 c2x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn (, )b1
s.t.a21x1
a22 x2
a2n xn (,
点击添加文本
)点b2击添加文本
am1点x1击 添am加2 x文2 本 amnxn (, )bn x1, x2 , , xn 0
它们之间具有如下线性关系 y i 0 1 x i 1 2 x i 2 p x i p , i 1 , 2 , , n
其中， i 是随机误差，相互独立且满足E(i)0,vair) (2
一般非线性模型的形式： 其中， f 是一般的非线性函数， 是 p维参数向量，是一随机 误差变量，E()0,va)r (2
关联度的量化结果与定性分析不符的情况。
色
系
统
方
法
原理关键词：灰色朦胧集 灰序列生成 关联分析
研究对象往往受到诸多不确定因素的影响，问题中涉
及的变量往往是随机变量，变量间的关系也错综复杂，
无法用确定的函数关系来描述。若为了使建立模型简单，
模 拟 方 法
我们可以将其中的部分变量看作常量，但这样建立的模 型却不能真实地反应实际问题，只能是对问题的近似描 述。在解决某些实际问题时，常常需要对随机现象进行 模拟。
建模步骤：
1.模型假设 2.模型建立与求解 3.结果分析 4.模型评价
灰色系统理论提出了关联分析方法，它根据因素
之间发展趋势的相似程度来衡量因素间的关联程度，
揭示事物间动态关联的特征与程度。由于关联分析方
法以发展趋势为立足点，所以它对统计数据的多少和
有无规律都没有过分要求，计算量小，而且不会出现
灰
非
线
性
规 划
原理关键词：非线性函数 约束条件 目标函数
模
型
一般模型：
1.无约束的非线性规划模型:
min f (x1, x2, , xn ), s.t. (x1, x2, , xn )
其中，f 是 x1,x2,,xn非线性函数，Rn 。称 为可
行域。 2.约束的非线性规划模型：
min f(x1,x2,,xn), s.t. hi(x1,x2,,xn)0,i1,2,,m
D(r,k)mind{(r,k)rGr,kGk,kr} mind{(j,k) jGpGq,kGk,kj}
min{mdi(nj,{k) jGp,kGk}m , ind{(j,k) jGq,kGk}}
minD{(p,k),D(q,k)}
点击添加文本
点击添加文本
步骤4：重复步骤2和步骤3，直至满足聚类为止。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性与模 糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性， 而又具有模糊性量的变化规律的一种数学方法。
模
点击添加文本
糊
数 学
原理关键词： 模糊集 隶属函数 模糊关系 模糊矩阵
方 法
点击添加文本
点击添加文本
建模方法：
模糊聚类分析方法： 1. 数据标准化 点击添加文本 2. 建立模糊相似矩阵 3. 聚类分析
数
桌子是否能在不平的地上放稳
学
公平席位的分配方法
物品交换
夫妻过河
动物的体型
层次分析法（简称AHP法）是一种定性分析与定量分
析相结合的多目标决策分析方法。特别是将决策者的经验
判断给予量化，对目标（因素）结构复杂且缺乏必要数据
的情况下更为实用。
层
次
分
析
原理关键词： 权数 矩阵 一致性
法
建模步骤：
1. 建立层次结构模型 2. 当问题中所包含的因素划分为不同层次时，用框图
形式说明层次的递阶结构与因素的从属关系。 2. 构造判断矩阵 3. 当相互比较因素的重要性能够用具有实际意义的比
值说明时，判断矩阵相应的值则可以取这个比值。 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 通过判断矩阵的特征根得到特征向量，经过一系列
归化后即为同一层次相关因素对于上一层次某因素相对 重要性的排序权值，然后进行一致性检验。 4. 层次总排序 5. 计算同一层次所有因素对于最高层相对重要性的排 序。 5. 层次总排序的一致性检验 6. 这一步骤也是从高到低逐层进行的。
三条特征： 排队方式：损失制、等待制、混合制； 排队可以是有形的也可是无限的，其容量可为有限也可为无限 排队数目可以单列也可队列，有的可以互相转移有的不可转移。
服务机构：对顾客提供服务的设施或对象，从机构的
形式和工作情况来分有一下特征：
服务机构可以没有服务员（台）也可有多个服务员 （台）；
对于多个服务台的情况可以是并列，可以是串联，也可 混合排列；
随 机 存 储 模 型
需求为离散型随机变量的存储模型 实例：报童问题 已知每100份报纸报童全部卖出可获得7元，如果当天卖不掉，第二 天可削价全部卖出，但每100份将赔4元。报童每天售出的报纸数x （百份）是一随机变量，问报童每天订多少报纸最佳？
X
0
1
P(x)
0.05
0.1
2
3
4
5
0.25
0.35
0, x 20000 F(x) x620000000,200000x80000
1, x 80000
求一年煤炭最优存储策略。 建立模型： 设存储的煤炭为Q，收益为：
7x 0 5(Q 6 x ) 6Q ,5 x Q 1x 4 9 Q ,x Q y 7Q 0 1(x 0 Q ) 6Q ,5 x Q 1Q 5 1x ,0 x Q
回
归
分
析
法
模
原理关键词：“黑箱” 估计预测 统计规律
型
一元线性回归的基本应用过程：
1.画散点图 2.直接观察 3.设定模型 4.拟合模型中参数 5.检验 6.预测
多元线性回归模型：
设因变量为 y，自变量为 x1,x2,,xp，假设已
得到 n 组独立数据 (y i,x i1 ,x i2 , ,x i) p i (1 ,2 , ,n )，并设
微分方程模型不仅在自然科学和工程技术领域中得到
了广泛的应用，而且在生物学、医学、等领域也起到
微
了很大作用。
分
方
应用实例：
程 模
单种群模型(Malthus Logistic )
型
两种群模型
传染病模型（SI SIS SIR）
作战模型
商品销售模型
回归分析是研究变量间统计规律的方法，属于”黑 箱“建模中常用的方法，根据自变量的数值和变化， 估计和预测因变量的相应数值和变化。有线性回归和 非线性回归。
服务方式可以是一个一个来也可成批服务；
服务时间可以是确定型也可以是随机型，随机型要知道 它的概率分布；
服务时间的分布对时间相对稳定。
END,THANKS!
建
逗留时间=的等待时间+服务时间
模
排队过程的一般模型：
输入过程：顾客到达排队系统的过程，有如下特征： 顾客源的组成可以是有限的也可以是无限的； 顾客来的方式可以是一个一个，也可能是成批的来； 顾客到达的时间间隔可以是确定型也可以是随机型； 顾客到达是相互独立的； 输入过程是平稳的。
排队规则：顾客到达后的排队方式、形状和队列数目
建
模
原理关键词： 随机 分布 模拟
建模方法：
方法1 利用理论分布，基于对问题的实际、合理的假设， 选择适当的理论分布模拟随机变量。
方法2 基于实际数据的频率作近似模拟。
随机性存储模型是研究不确定性因素下随机库存模
型中的多时期存储控制系统，着重分析连续存盘的存储 控制系统在不同情况下确定的安全库存量的最优采购策 略。可分为需求为离散型随机变量的存储模型和需求为 连续型随机变量的存储模型。
设P(x)为顾客对煤炭需求量xkg的概率，显然
0 P(x)dx1
供应部门收益的期望值：
Q
g ( Q ) E [ y ( x ) ] 0 ( 1 x 4 9 Q ) P ( x ) d Q x ( 1 Q 5 1 x ) P 0 ( x ) dx
两边对Q求导，再令
dg (Q ) dQ
0
,则得
模糊综合评判方法： 1. 模糊综合评判提点法击添加文本 2. 确定因素集、评判集、模糊评判矩阵
点击添加文本
线性规划是数学规划的一个重要组成部分，
它起源于工业生产组织管理的决策问题，在数学
上它用来确定多变量线性函数在变量满足线性约
线
束条件下的最优值。
性
规
划
模
型
原理关键词： 多变量 线性函数 最优值
一般线性规划的数学模型：
层次分析法的应用：
企业合理利用资金问题； 填报志愿； 选择外出旅游的理想交通工具等
基本思想：
先将n个样本各自看成一类，共有n类，然后规定样本
之间的距离和类与类之间的距离。开始时，由于n个样本各
自成一类，故类与类之间的距离就是样本间的距离，将距
离最小的一对并成一个新类，计算新类与其他类的距离，
统
再将距离最近的类合并。
点击添加文本
建模步骤：
1.建立模型：找出目标函数及相应的限定条件
2.模型的求解：可利用Lin点go击软添件加进文行本求解模型。
3.结果分析
4.灵敏度分析：改变个别相关系数观察最优解是否会
发生变化。
点击添加文本
非线性规划问题可看作是线性规划问题的一 种自然推广，凡是目标函数和约束条件中包含有 非线性函数的数学规划问题都称为非线性规划问 题。主要分为有约束非线性规划和无约束线性规 划。